Наумов Моделирование нестационарных и аварийных 2007

общее решение которой может быть представлено в виде суммы экспонент:

где Аj, Bij – коэффициенты, определяемые из начальных условий; Тj

– периоды, которые могут быть найдены из характеристического уравнения системы (1.3) (уравнения «обратных часов»):

В суммах (1.4а), (1.4в), содержащих число слагаемых, равное числу исходных уравнений, всегда имеется шесть слагаемых с отрицательными периодами и одно слагаемое, содержащее экспоненциальный множитель с периодом, знак которого совпадает со знаком введенной реактивности. Именно это слагаемое определяет асимптотическое развитие нестационарного процесса, а соответствующий период называется асимптотическим. По истечении времени, за которое слагаемые с малыми отрицательными периодами полностью исчезают, плотность нейтронов и концентрации эмиттеров всех групп изменяются по одинаковому экспоненциальному закону с общим асимптотическим периодом.

Уравнения кинетики с одной эффективной группой запаздывающих нейтронов в применении к кинетике реактора без внешних источников нейтронов имеют вид:

11

Соответствующее характеристическое уравнение “обратных часов” сводится к формуле:

Уравнение (1.7) имеет два корня, соответствующие асимптотическому Т0 и переходному Т1 периодам. Если ρ значительно меньше β, выражения для Т0 и Т1 имеют вид:

а общее решение системы (1.6) можно представить в виде:

где n(0) – значение плотности нейтронов в критическом реакторе до введения реактивности ρ.

Второе слагаемое в выражении (1.9) – быстро затухающая функция. Ее вклад в общее решение тем меньше, чем меньше величина введенной реактивности. Если рассматривается переходный процесс в течение достаточно длительного интервала времени, существенно большего по сравнению с переходным периодом Т1, этим слагаемым можно пренебречь. Для анализа переходных про-

12

цессов на протяжении больших интервалов времени может быть использована еще более простая модель, носящая название «приближение мгновенного скачка», или «приближение нулевого времени жизни мгновенных нейтронов». Эта модель может быть получена, если в первом уравнении системы (1.6) производную в ле-

вой части dndt приравнять нулю. Соответствующее приближенное решение при постоянной реактивности имеет вид:

t

nn((0t)) = ββ−ρeT0 ,

что формально соответствует отбрасыванию второго слагаемого в выражении (1.9). «Приближение мгновенного скачка» может быть использовано и в более общем случае, в модели с шестью группами запаздывающих нейтронов:

Первое уравнение системы (1.10) позволяет установить простую связь между плотностью нейтронов и концентрацией ядер-эмит- теров:

Λ ∑ λ i C i

В модели с одной эффективной группой запаздывающих нейтронов связь между плотностью нейтронов и концентрацией ядерэмиттеров имеет вид:

13

Соотношения (1.11а) и (1.11б) идентичны, если выполняется условие:

i

Выражение (1.12) определяет способ усреднения постоянной распада ядер-эмиттеров для модели с одной эффективной группой запаздывающих нейтронов, дающий возможность получить точное значение асимптотического периода Т0 с помощью приближенной формулы (1.8а). Поскольку относительные концентрации ядерэмиттеров различных групп зависят от величины введенной реактивности, средняя постоянная распада λ тоже есть функция реактивности. Если введенная реактивность ρ << β, то средняя постоянная распада λ слабо зависит от ρ и может быть принята равной средней величине λ при нулевой реактивности. В этом случае λ 0,08068. Обычно модель с одной эффективной группой запаздывающих нейтронов используется на практике и может обеспечить достаточно точное описание нестационарных процессов именно в случаях, когда ρ << β.

Подкритический и критический реактор с внешним источником

Для контролируемого пуска реактора необходим внешний источник. Для качественного анализа переходных процессов при выходе реактора в критическое состояние может быть использовано «приближение мгновенного скачка» с одной эффективной группой запаздывающих нейтронов.

14

Пусть в исходном состоянии подкритического реактора мощность внешнего источника равна S, а подкритичность (отрицательная реактивность) равна –ρ0. Тогда плотность нейтронов в реакторе равна

Если в момент времени t = 0 в реактор введена дополнительная реактивность ∆ρтак, что ρ1 = –ρ0 + ∆ρ < 0, то по истечении определенного времени в реакторе установится новая асимптотическая плотность нейтронов:

при этом установлению асимптотической плотности n1 будет предшествовать переходный процесс

где T – асимптотический период переходного процесса в соответствии с формулой (1.8а):

T= β+ρ1 ,

−ρ1λ

при отрицательной реактивности имеющий отрицательный знак. Величина n'1 представляет собой мгновенное (в рамках принятой

модели) увеличение плотности нейтронов, связанное с мгновенным изменением реактивности:

15

Последовательно вводя в реактор небольшими порциями положительную реактивность, можно сколь угодно близко подойти к критическому состоянию. При этом, как видно из приведенных формул, на каждом шаге увеличения реактивности (уменьшения реактивности по модулю) будет наблюдаться увеличение асимптотической плотности нейтронов, но при этом будет увеличиваться и период переходного процесса. Соответственно будет возрастать и время установления асимптотической плотности нейтронов.

Предположим, что на последнем этапе перед выходом в критическое состояние реактор характеризуется отрицательной реактивностью –ρk , соответствующей плотностью нейтронов

nk = −ΛρSk

и концентрацией ядер-эмиттеров

Ck = βΛnλk .

Последняя порция положительной реактивности ∆ρk = ρk, в результате реактор стал критическим (ρ = 0). В связи со скачкообразным вводом реактивности плотность нейтронов мгновенно увеличивается до значения

Период реактора при нулевой реактивности обращается в бесконечность, и реактор без источника был бы стационарным. Однако наличие источника приводит к ежесекундному увеличению ко-

16

личества нейтронов в реакторе, в результате чего плотность эмиттеров и плотность нейтронов увеличиваются по линейному закону:

Удаление источника в момент t1 приведет к некоторому скачкообразному уменьшению плотности нейтронов и дальнейшему сохранению ее на постоянном асимптотическом уровне, соответствующем достигнутой к этому моменту концентрации эмиттеров:

Линейное по времени нарастание плотности нейтронов в реакторе с источником является признаком выхода в критическое состояние. После удаления источника дальнейшее увеличение (или уменьшение) плотности нейтронов можно осуществить с помощью соответствующего изменения реактивности.

Линейное изменение реактивности

Случай, когда вводимая реактивность зависит от времени, представляет интерес для практических задач управления реактором. Более того, существующие правила ядерной безопасности строго ограничивают скорость ввода положительной реактивности и в принципе не допускают ее скачкообразного изменения. В аварийных ситуациях правила безопасности предписывают ввод отрицательной реактивности с максимальной скоростью, но даже в этом экстремальном случае скорость ввода реактивности ограничена скоростью перемещения стержней аварийной защиты. Простейший случай зависимости вводимой реактивности от времени – линейное

17

изменение реактивности: ρ(t) = αt, где α – постоянная скорость изменения реактивности.

Аналитическое решение задачи об изменении плотности нейтронов при линейном изменении реактивности может быть получено в модели с одной эффективной группой запаздывающих нейтронов в приближении «мгновенного скачка». В этом случае система уравнений (1.6) имеет вид:

Если до начала ввода реактивности реактор был стационарен и плотность нейтронов в нем равнялась n0, то при линейном изменении реактивности плотность нейтронов будет изменяться по следующему закону:

Если рассматривать процесс с нарастанием реактивности, то, как следует из (1.20), при достижении реактивности αt = β, плотность нейтронов обращается в бесконечность. Качественно это свидетельствует о достижении критичности на мгновенных нейтронах. Количественным оценкам по формуле (1.20) можно доверять только при αt << β, что является условием использования модели с одной эффективной группой запаздывающих нейтронов. В этом случае с помощью разложения в ряд Тейлора выражение (1.20) можно привести к виду:

18

где

Видно, что при линейном изменении реактивности плотность нейтронов изменяется по квазиэкспоненциальному закону с переменной частотой ω(t). Если ввести понятие «текущего периода»

Т(t) в соответствии с традиционным определением: T −1 = 1n dndt , то можно установить связь между T(t) и ω(t):

Если в момент t1 ввод реактивности прекращен, в реакторе устанавливается постоянный период T = 1/ω(t1) .

Качественное представление о поведении плотности нейтронов при плавном изменении реактивности можно получить из выражения (1.11а), полагая ρ функцией времени:

Из анализа выражения (1.23) следует, что:

•стационарная плотность нейтронов при нулевой реактивности полностью определяется концентрацией эмиттеров запаздывающих нейтронов;

•если реактивность изменяется во времени, то отсутствует пропорциональность между концентрацией эмиттеров и плотностью нейтронов, то есть концентрация эмиттеров и плотность нейтронов изменяются по различным законам;

•если реактивность изменяется по линейному закону, то, по крайней мере в первый момент после начала ввода реактивности,

19

пока концентрация эмиттеров существенно не изменилась, плотность нейтронов также изменяется по линейному закону;

• если реактивность введена и выведена за столь короткое время, что концентрация эмиттеров существенно не изменилась, плотность нейтронов претерпит временное изменение и вернется к исходному состоянию.

Относительный вклад различных групп эмиттеров в полную эмиссию запаздывающих нейтронов в нестационарном режиме зависит от соотношения между скоростью изменения реактивности и скоростью распада эмиттеров той или иной группы.

Обоснование условий применимости точечной модели кинетики

Точечная модель кинетики реактора базируется на предположении о разделении временной и пространственных переменных при описании нестационарных процессов. Иными словами, предполагается, что во всех точках активной зоны изменение плотности нейтронов во времени происходит по одному и тому же закону, при этом пространственное распределение плотности нейтронов остается неизменным. Именно для точечной модели кинетики введено классическое понятие реактивности и установлена связь между реактивностью и асимптотическим периодом реактора. Вместе с тем, в больших реакторах, характерный размер которых много больше длины миграции нейтронов, при наличии распределенной системы управления, могут возникать переходные процессы, связанные с изменением пространственного распределения плотности нейтронов. В рамках модели кинетики, при отсутствии обратных связей, пространственные переходные процессы рано или поздно приводят к формированию асимптотического пространственного распределения, при котором возможно разделение переменных и использование точечного приближения. Характерные свойства пространст- венно-временных переходных процессов могут быть продемонстрированы на одномерной модели однородного реактора с одной эффективной группой запаздывающих нейтронов.

20