Михайлов Аналитическая геометрия 2008

p

2

x p

r d,

r

x

y 2 ,

d

2

(9.9)

2

Подставив r и d в равенство r

d и возведя во вторую степень

левую и правую части равенства, получим:

x2

p x

p2

y 2

x2 p

x

p2

.

(9.10)

4

4

После упрощений в выражении (9.10), получим каноническое

уравнение параболы:

y 2

2 p x .

(9.11)

Пусть

2 c ¬ расстояние между фокусами эллипса, а 2a ¬

длина главной оси, тогда e

c

¬ эксцентриситет эллипса. Для

a

гиперболы эксцентриситет определяется аналогично.

Для эллипса:

c

a 2 b2

b2

a 2

b2 , e

c

1

1

. (9.12)

a 2

a

a

жены по обе стороны от центра на расстоянии a

e

a

(т. к. e 1).

Для гиперболы:

c

a 2 b

b2

c

a 2 b2

, e

1

1. (9.13)

a

a

a

ложены по обе стороны от центра на расстоянии a

e

a

(т. к.

Если

¬ угол между осью Ox и отрезком FM (Рис. 9.5) , а p ¬

расстояние от фокуса кривой до директрисы, то

d p

r cos

,

r

r

e,

r

p e r e cos .

d p

r

cos

Откуда следует, что

r 1

e cos

p

e, r

p

e

(9.14)

1

e

cos

r

p e

(9.15)

1

e cos

a x2

2a xy

a

22

y 2

2a x

2a

23

y a

33

0 .

(9.16)

11

12

13

x

x0

~

x

(9.17)

~

y

y0

y

При повороте осей на угол

:

x

x cos

y sin

(9.18)

y

x sin

y cos

~

x , y очевиден из соотношений (9.17)

Смысл обозначений x, y и

и (9.18).

y

M

y

x

Подставив (9.17) в уравнение (9.16), получим:

~ 2

~

2

~~

~

~

a11 x

2xx0

x0

2a12 xy xy0

x0 y x0 y0

a22 y

2

~

2

2a13 x0

~

~

0

2 yy0

y0

x 2a23 y0

y a33

Перегруппируем члены уравнения:

~2

a11

~~

~2

a22

~

a12 y0

a13

x

2xya12

y

2x a11x0

~

a22 y0

a23

2

2

2a12 x0 y0

(9.19)

2 y a12 x0

a11x0

a22 y0

2a13 x0

2a23 y0

a33

0

Выберем

x0 и y0

так, чтобы коэффициенты при

~

x и

y

обратились в нуль. Для этого решим следующую систему

уравнений:

a11 x0

a12 y0

a13

0

(9.20)

a12 x0

a22 y0

a23

0

Решение системы существует только в случае

a11

a12

0 ,

a12

a22

поэтому начинать следует с вычисления значения .

(

0 для эллипса,

0 для гиперболы,

0 для

параболы.)

Последнее обстоятельство заставляет начинать преобразование

уравнения параболы с поворота осей координат.

Из выражения (9.19) очевидно, что коэффициенты при

старших степенях

x и y при переносе начала координат не

изменяются. Последние шесть членов выражения (9.19)

перегруппируем следующим образом:

x0 a11 x0

a12 y0

a13

y0 a12 x0

a22 y0

a23

(9.21)

a13 x0 a23 y0

a33

a33

нуль, а три оставшиеся члена выражения позволяют найти новое

~

преобразованного уравнения

значение свободного члена a33

кривой.

В итоге, уравнение (9.16) приобретает следующий вид:

~ 2

~ 2

~

0

(9.22)

a11x

2a12 x

y

a22 y

a33

f x, y

f x, y .

a sin2

a

22

a

sin

cos

a cos2

0 .

12

11

12

Разделив его на cos2

получим квадратное уравнение для tg :

a

tg2

a

22

a

tg

a

0 .

(9.23)

12

11

12

координат.

~

~

I1

a11

a11

a22

a22 a11

a22

~

~

I

2

a11

a12

a11

a12

a

a

22

a 2

a

a

22

(9.24)

a12

a22

~

~

11

12

11

a12

a22

~

~

a11

a12

a13

a11

a12

0

a11

a12

I3

a12

a22

a23

~

~

~

a12

a22

0

a12

a22

a33

~

a13

a23

a33

0

0

a33

I 2 0 для эллипса,

I 2

0 для гиперболы,

I 2

0 для параболы.

Используя инварианты, уравнение (9.22) можно записать так:

~ 2

~ 2

I3

a11 x

2a12 x

y

a22 y

0

(9.25)

I 2

I

8

2

36 0 ,

2

2

5

8x

2 y

8

0

,

2x

5 y

2

0

свободного члена

~

8

1

2

0

28

36 .

a33

~ 2

~

~

~ 2

36 0

(9.26)

8 x

4 x

y

5 y

2

tg 2

5

8

tg

2

0,

tg 2

3

tg

1

0,

2

tg

3

9

16

,

tg

3

5

,

tg 1

2,

tg 2

1

4

4

4

2

16

cos

1

1

1

,

sin

tg

2

.

1

tg 2

1

4

5

1 tg 2

5

Коэффициенты a11

и a22 найдем, используя инварианты:

I1

a11

a22

a11 a22

8

5

13,

a22

13

a11 ,

I

2

a a

22

a

2

36 a 13 a ,

a 2

13a

36 0,

11

12

11

11

11

11

a

13

169

144

13

5

,

a

9,

a

13 9 4.

22

11

2

4

2

2

11

(Если a

13

5

, то

a

4,

a

13

4

9 .)

22

11

2

2

11

9 x 2 4 y 2 36, или

x 2

y 2

1

(9.27)

4

9

4 x2

4 x y y 2

2 x 14 y 7 0 .

Значения коэффициентов уравнения:

a11 4, a12

2, a22

1, a13

1, a23

7, a33 7.

I

4

2

0 ,

2

2

1

2

tg 2

1

4

tg

2

0,

tg 2

3

tg

1

0,

2

tg

3

9

16

,

tg

3

5

,

tg

1 2,

tg

1

4

16

4

4

2

2

cos

1

1

1

,

sin

tg

2

.

1

tg 2

1

4

5

1

tg 2

5

(Последние формулы справедливы для

,

.)

2

2

Подставим в уравнение

x

x

cos

y

sin

x

2

y

,

5

y

x

sin

y

cos

2

x

y

.

5

Получим:

4

x 2

4x y 4 y 2

4

2x 2

2 y 2

3x y

5

5

1

4x 2

4x y y 2

2

x 2 y

14

2x y

7 0.

5

5

5

Перегруппируем члены уравнения:

x

2

4

8

4

x y

16

12

4

y

2

16

8

1

5

5

5

5

5

5

5

5

5

x

2

28

y

4

14

7

0.