Михайлов Аналитическая геометрия 2008

Вектор

единичной

длины

называется

ортом

и

обозначается

символом

e .

ea

- это орт вектора

a .

a

Очевидно что,

a

a

ea , откуда следует, что e

(3.1)

a

3.2 Линейная зависимость векторов

Линейной

комбинацией векторов

a1 , a2 , , an

будем называть

выражение вида

1

a1

2

a2

n an

(3.2)

Где 1 , 2 , ,

n

- произвольные числа.

Определение 3.4. Вектора a1

, a2

, , an называются

линейно

зависимыми,

если

найдутся

такие

вещественные

числа

1 , 2 , , n , из

которых хотя

бы одно отлично от нуля, с

которыми линейная комбинация обращается в нуль, т.е.

1

a1

2

a2

n a

0

(3.3)

Определение

3.5.

Вектора

a1

, a2

, , an называются

линейно

возможно только при равенстве нулю всех чисел

1 ,

2 , , n .

Теорема 3.1. Если вектора a1

, a2 , , an

линейно зависимы, то

любой из них может быть представлен линейной

комбинацией

остальных.

Доказательство. Пусть в линейной комбинации

1

a1

2 a2

n a

0

(3.4)

1

0 . Разделим все члены выражения (3.4) на

1

и перенесѐм

вправо от знака равенства все члены выражения,

кроме a1 .

2

3

n

a

a

a

a

(3.5)

2

3

n

1

1

1

1

Введем обозначения

2

,

3

, ,

n

.

2

3

n

1

1

1

a1

2 a2

3 a3

n

an .

(3.6)

Теорема

доказана, а

поскольку выбор

1

0

был сделан

значения n .

Следствие 1. Если в системе векторов a1

, a2

, , an

один из

Доказательство.

Пусть вектор

a1

представлен

линейной

комбинацией

остальных

векторов

(См.

выражение (3.6)).

Перенесем a1 направо. Получим линейную комбинацию

1

a1

2 a2

3 a3

n

a

0

(3.7)

В которой заведомо один коэффициент отличен от нуля

1

1 .

Следствие 1 доказано.

Следствие 2. Если в системе векторов a1

, a2

, , an

ни один из

a2

a1

(3.8)

Очевидно, что вектора a1

и

a

2

коллинеарны.

На основании

что в системе векторов a1

, a2

, a3

вектор

a3

, не параллельный

линейной комбинации

(3.9)

a

b

c 0

хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Пусть

0 .

Тогда из соотношения (3.9) следует

,

c

a

b , где

(3.10)

принадлежит плоскости, в которой лежат

Следовательно, вектор c

вектора

a и

b , так как получен их сложением.

Компланарность векторов доказана.

2)

Достаточность.

Доказательство линейной зависимости

a,b

и c коллинеарных и нулевых, так как в этом случае линейная

теоремы 3.1 достаточно убедиться в том, что в системе векторов

a,

b,

c,

d любой из векторов может быть представлен линейной

Приведем эти вектора к

общему

началу.

Построив

параллелепипед на векторах

и

a,

b

c можно подобрать

значения коэффициентов ,

и

так,

чтобы вектор

d

оказался

диагональю параллелепипеда. Тогда, очевидно

d

a

b

c .

Аналогичное представление можно

получить для

любого

В соответствии с этим определением, для любого вектора

d

найдутся

такие

вещественные

числа

,

и

,

что

будет

справедливо равенство

(3.11)

d

a

b

c

Принято называть равенство (3.11) разложением вектора d

по

а числа

,

и

координатами

вектора

базису a, b, c

d

относительно данного базиса.

Теорема

3.4.

Разложение

по

вектора d

базису a,

b,

c

(3.12)

d

a

b

c

Вычтем второе разложение из первого. Получим в итоге

(3.13)

a

b

c 0

0

0

0

(3.14)

Единственность разложения доказана.

Теорема

3.5.

При сложении

двух

векторов

d1

и

d 2 их

складываются.

координаты относительно любого базиса a, b, c

При умножении вектора d1

на

число

все его координаты

умножаются на это число.

Доказательство. M M

1

2

Пусть d1

1 a

1 b

1

c , d2

2

a

2

b

2

c .

соотношения:

d1

d2

1

2

a

1

2

b

1

2

c

(3.15)

d1

1

a

1

b

1

c

(3.16)

Теорема доказана.

3.3 Вектор в декартовой прямоугольной системе

координат

Определим проекцию вектора a

M1M 2

на ось Ox

Проекции точек M1

и M 2 на ось Ox - точки M1x и M 2x . Это

точки пересечения с осью Ox

плоскостей

1

и

2 ,

проведенных через точки M1

и M 2

перпендикулярно оси

Ox . Проекцией вектора

Ïð Ox M1M 2

на ось

Ox называется

величина отрезка M1x M 2 x .

Ïð Ox M1M 2

X

x2

x1 .

(3.17)

Здесь x1

и

x2

- координаты

точек

начала

и

конца

отрезка M1x M 2 x .

С другой стороны, если перенести вектор M1M 2

(оставляя

Вектор a может быть разложен по базису i , j , k , то есть:

X

Z

(3.22)

a

i Y

j

k .

Коэффициенты

разложения

X ,Y, Z

определены

однозначно, так

как

равны

проекциям вектора

на оси

a

координат. Если

совместить

начало вектора

с

началом

a

координат (Рис. 3.4), то вектор

a

OA . Проекции вектора a

Az

A

k

O

y

j

i

Ay

Ax

OA OAx OAy OAz

(3.23)

a

x2

x1 i

y2 y1

j

z2

z1

k

(3.24)

a

i

cos

j cos

k

cos

a

ea

Здесь

- орт вектора

. Разложение орта по базису

ea

a

(3.25)

ea

i cos

j cos

k cos

cos2

cos2

cos2

ea

1

,

(3.26)

а также

X 2

Y 2

Z 2

a

(3.27)

x

2

x

2

y

2

y 2

z

2

z

2

1

1

1

Принято

называть

cos

, cos

и

cos

направляющими

косинусами вектора

,

и

- углы между вектором и

a ,

осями Ox,

Oy и Oz .

cos

X

, cos

Y

, (3.28)

X 2

Y 2

Z 2

X 2

Y 2

Z 2

cos

Z

(3.28*)

X 2

Y 2

Z 2

cos

(4.1)

a

b

a

b

cos

Ïð

Ïð

(4.2)

a

b

a

b

a

b

b

a

a

b

достаточным условием равенства нулю cos

является

условие

2 k , то есть

cos 2 k

0

(4.3)

1)

,

a b

b

a

2)

− число,

a

b

a b , где

3)

a

b

c

a

c

b

c

4)

0 , если

0 ,

a

a

a

a

a

0 , если a 0 .

Теорема 4.2. Проекция вектора

на вектор

равна

b

a

скалярному произведению вектора b

на орт вектор a .

Доказательство. Из соотношения (4.2) следует, что

a b

a

Ïð a b

b

ea

b

a

a

(4.4)

Теорема 4.2. Если вектора

и

представлены в виде

a

b

разложений по базису i , j, k ,

a

X1 i

Y1 j Z1

k ,

b

X 2

i

Y2 j

Z2

k ,

(4.5)

a

b X1 X 2 Y1 Y2 Z1 Z2

(4.6)

a b

X1 X 2 i i

X1Y2 i j

X1Z

2 i k Y1 X

2 j i

(4.7)

Y1Y2

j

j

Y1Z2 j

k

Z1 X 2

k

i

Z1Y2 k

j

Z1Z2 k k X1 X 2

Y1Y2

Z1Z2 ,

поскольку

(4.8)

i

i

j

j

k

k

1,

а остальные скалярные произведения ортов

i ,

j, k , ввиду их

ортогональности, обращаются в нули.

Следствие 1.

Ïð

X

cos

Y

cos

Z

cos

.

(4.9)

b

b

e

2

1

1

2

1

a

a

2

Здесь орт вектора a

cos

cos

cos

.

(4.10)

e

i

1

j

1

k

1

a

Следствие 2.

X1 X 2

Y1Y2

Z1Z2

a b

cos

.

(4.11)

a

b

X12

Y12

Z12

X 22

Y22

Z22

Определение 4.2. Векторным произведением вектора a

называется вектор

, обозначаемый символом

на вектор b

c

c

a b и удовлетворяющий трем требованиям:

(Квадратным скобками обозначают векторное произведение.)

1)

вектор c ортогонален к каждому из векторов

a

и b ,

2)

длина вектора

равна

произведению

модулей

c

перемножаемых векторов на синус угла между ними.

,

(4.12)

c

a

b sin