Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Михайлов Аналитическая геометрия 2008

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

1.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

y y	m	x	x		k x	x	(5.12)
y y		x	x		k x	x	(5.12)
1	l			1		1
	l
Если принять обозначение				y1	k x1	b ,	уравнение примет
следующий вид:
	y		k	x	b .		(5.13)

Здесь y b координата точки пересечения прямой L с осью Oy , в чем легко убедиться, подставив в (5.13) уравнение оси

Oy − x 0.

Косинус угла между прямыми, а также условия перпендикулярности и параллельности прямых очевидным образом связаны с соответствующими соотношениями между

векторами: нормальным − n

, и направляющим − q .

cos

(5.14)

A12

B12

A22

B22

cos

(5.15)

l12

m12

l22

m22

Условия перпендикулярности двух прямых:

B1 B2

0 .

(5.16)

Условия параллельности прямых:

, или

(5.17)

(Нуль в знаменателях этих пропорций означает, что соответствующие числители тоже обращаются в нуль.)

В случае двух прямых с угловым коэффициентом

		, tg	tg				tg 2 tg 1			k2 k1	. (5.18)
2	1			2	1
						1- tg 1 tg 2			1 k1k2

Условие параллельности k2						k1 ,			(5.19)
условие перпендикулярности						k2	1		(5.20)

								k1

Чтобы получить нормальное уравнение прямой из начала координат опустим перпендикуляр на прямую L . (Рис. 5.4). Пусть P − точка пересечения перпендикуляра с прямой L ,


длина отрезка	OP	p , орт нормали en	cos ,sin . Чтобы

точка M x, y лежала на прямой, необходимо и достаточно,

чтобы проекция вектора			OM x, y			на нормаль равнялась
p .

Ïð n OM	en	OM	x cos			y sin		p	(5.21)
Уравнение
		x cos	y sin			p	0		(5.22)
есть нормальное уравнение прямой.
		y
					Q
L								M 0

				P
				P
						M
						M
	en
								x
		O
			Рис. 5.4
Пусть d −	расстояние от точки					M 0	x0 , y0		до прямой.

Отклонение точки от прямой d , если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и d , если точка и начало координат лежат по одну сторону от прямой.

PQ OQ p x0 cos y0 sin p (5.23)

Здесь


OQ Ïð n OM 0 en OM 0		x0	cos	y0 sin	(5.24)
Нормальное уравнение прямой
x cos	y sin		p	0
и общее уравнение прямой
Ax	By	C	0

определяют одну и ту же прямую, следовательно существует

такое число	, что
A	cos	,	B	sin ,	C p , p			0 . (5.25)
cos2	sin2	1	2	A2	B 2		1		(5.26)
			2


						A2		B 2

Из третьего равенства выражения (5.25) следует, что знак противоположен знаку C . Число называется нормирую-

щим множителем.

Для получения нормального уравнения прямой достаточно умножить общее уравнение на нормирующий множитель .

Определение 5.3. Множество прямых, принадлежащих

плоскости	,	пересекающихся в		точке	S 0 ,	называется
пучком прямых.
Теорема 5.3. Уравнение
	A1x	B1 y C1	A2 x	B2 y C2	0	(5.27)

есть уравнение пучка прямых, пересекающихся в точке S , если и не обращаются в нуль одновременно, а уравнения

A1 x B1 y C 0 и A2 x B2 y C 0

(5.28)

суть уравнения двух прямых, пересекающихся в точке S 0 . Любая прямая, проходящая через точку S 0 , определяется уравнением (5.27) при некоторых значениях чисел и .

Доказательство. Преобразуем уравнение к следующему виду:

A1 A2 x B1 B2 y C1 C2 0 (5.29)

Это уравнение прямой, если выражения в скобках не равны нулю одновременно. Предположим противное: пусть обе первые скобки равны нулю. Тогда, из

следует

из

следует

В итоге

(5.30)

Это условие параллельности прямых (5.28), что противоречит условиям теоремы. Тем самым доказано, что уравнение (5.27) всегда определяет некоторую прямую.

Эта прямая проходит через точку S0 x0 , y0 , так как

подстановка еѐ координат обращает в нуль каждое из уравнений (5.28), а следовательно, и уравнение (5.27).

A1 x0 B1 y0 C1 A2 x0 B2 y0 C2 0 . (5.31)

Покажем, что любая прямая, принадлежащая пучку определяется уравнением (5.27) при некоторых значениях


чисел	и .	Фиксируем точку			M1 x1 , y1 ,			отличную от
точки	S0 x0 , y0	. Эти две		точки		определяют прямую,
принадлежащую пучку, единственным образом.
Подставив координаты точки M1 в уравнение									(5.27),
получим уравнение относительно неизвестных								и .
	A1x1	B1 y1	C1	A2 x1		B2 y1	C2	0 .	(5.32)
В этом уравнении круглые скобки не могут обратиться в
нуль	одновременно,		так	как	точка		M1	не	может

принадлежать двум различным прямым, так как не совпадает с точкой S 0 (5.28).

Пусть

A1x1	B1 y1	C1	0 ,
Тогда
	A2 x1	B2 y1	C2	(5.33)
	A1 x1	B1 y1	C1	(5.33)
	A1 x1	B1 y1	C1
Из (5.33) значения	и	определяются с точностью до

произвольного общего множителя.

Можно представить уравнение пучка прямых в другом

виде, разделив (5.27) на		0	и положив			:	(5.34)
виде, разделив (5.27) на		0	и положив			:
A1x B1 y C1		A2 x	B2 y	C2	0
Уравнение (5.34) не эквивалентно (5.27), так как не
позволяет получить прямую A2 x			B2 y	C2	0 .
Случай	0 предоставляется рассмотреть читателю.
Типовые задачи.
Задача 5.1.
Дана прямая	A1 x B1 y	C1 0 и точка M 0 x0 , y0 .					(5.35)

. Составить уравнение прямой, походящей через данную точку параллельно заданной прямой.

Решение.


Нормальный вектор прямой n1					A1 , B1 ,	он	же	будет
нормальным вектором искомой прямой.
Чтобы «свободная точка»		M x, y принадлежала					искомой
прямой, вектор	M 0 M	x	x0	, y	y0	должен		быть

перпендикулярен вектору n1 .			Условие перпендикулярности
векторов

n1 M 0 M	A1 x	x0		B1	y y0	0		(5.36)

есть искомое уравнение. Раскрыв скобки и введя обозначение C2 A1 x0 B1 y0 запишем найденное уравнение в общем виде

	A1 x B1 y	C2 0	(5.37)
Задача 5.2.
Дана прямая	A1 x B1 y C1	0 и точка M 0 x0 , y0 .	(5.35)

. Составить уравнение прямой, походящей через данную точку перпендикулярно заданной прямой.

Решение.

Нормальный	вектор			прямой					будет
Нормальный	вектор			прямой			n1	A1 , B1	будет
направляющим вектором для искомой прямой.
Чтобы «свободная точка»					M x, y принадлежала искомой
прямой, вектор	M 0 M				x	x0 , y	y0	должен	быть

параллелен вектору n1			. Условие параллельности векторов
		x	x0		y	y0			(5.38)
		A1				B1			(5.38)
		A1				B1

есть искомое уравнение в каноническом виде. Умножив

(5.38)	на	произведение		A1 B1	0	и введя обозначение
C3	B1 x0		A1 y0 запишем искомое уравнение в общем виде
			B1 x	A1 y C3	0 .	(5.39)
Условия		A1	0 или B1	0 означают, что соответствующие

числители обращаются в нуль.

Заметим, что в случае перпендикулярности прямых коэффициенты при переменных x и y меняются местами, а у

одного из них меняется знак.
Задача 5.3.
Задано
A1x B1 y C1	A2 x	B2 y	C2 0 ,	(5.40)
уравнение пучка прямых и прямая L3 :
A3 x	B3 y	C3	0 .	(5.41)

Составить уравнение прямой, принадлежащей пучку, параллельной прямой L3 .

Решение.

Преобразуем уравнение (5.40)

y C1

C2 0

(5.42)

A2 ,

параллелен вектору n3

A3 , B3

Условие параллельности векторов

(5.43)

содержит

единственную

неизвестную

величину

Определив

и подставив его в уравнение (5.40), получим

искомое уравнение.

Задачи № 213, 223, 234, 236, 248, 261, 271, 292,

310, 312,

313, 315, 323, 334, 337, 349, 354.

§ 6 Плоскость в трехмерном пространстве

Теорема 6.1 Если в пространстве выбрана некоторая

прямоугольная система координат, то уравнение первой

степени относительно переменных x, y, z

A x

B y

C z

(6.1)

Определяет в этой системе координат некоторую плоскость.

(При условии, что коэффициенты						A, B. C не обращаются в
нуль одновременно).
Найдется	точка		M 0		x0 . y0 , z0	,	координаты		которой
удовлетворяют уравнению (6.1).
	A x0		B	y0	C z0	D	0 .		(6.2)
Вычитая	уравнение (6.2) из (6.1), получим								уравнение
(6.3), эквивалентное исходному уравнению.
A	x	x0	B	y	y0 C		z z0	0 .	(6.3)
Это уравнение есть условие ортогональности нормального
	A, B, C и вектора
вектора n	A, B, C и вектора
M 0 M		x x0 , y y0 , z z0						,

M 0

Рис. 6.1

начало

которого

в фиксированной

точке

M 0

x0 , y0 , z0 , а

конец в свободной точке M с произвольными координатами

y и

z . Вектор M 0 M может изменять длину и вращаться

вокруг

вектора

n , оставаясь перпендикулярным к нему.

Свободная

точка

M x, y, z , являющаяся концом вектора,

будет

при

этом

перемещаться

по

плоскости,

проходящей

через точку M 0

x0 , y0 , z0

перпендикулярно вектору

n .

Следовательно, уравнение (6.3) есть уравнение плоскости

нормальным

вектором

проходящей

через

n ,

фиксированную точку M 0 . Теорема доказана.

Уравнение (6.1), эквивалентное уравнению (6.3),

называется общим уравнением плоскости.

Рассмотрим неполные уравнения плоскости при условии

0 .

Уравнение

A x

y C z

определяет

плоскость, проходящую через начало координат.

2)	A	0 .	Уравнение B y	C z	D	0	определяет
плоскость,		параллельную оси Ox ,		так как		еѐ нормальный
		0, B, C перпендикулярен оси Ox .
вектор n		0, B, C перпендикулярен оси Ox .
3)	A	0, B	0 . Уравнение	C z	D	0	определяет

плоскость, перпендикулярную оси Oz , так как еѐ нормальный

	0, 0, C	параллелен оси Oz .
вектор n
Остальные		неполные	уравнения	плоскости

рассматриваются аналогично.

Уравнение плоскости «в отрезках» легко получить из уравнения (6.1), если перенести свободный член D направо от знака равенства, разделить на него левую часть уравнения

и сделать очевидные алгебраические преобразования:

(6.4)

Введем обозначения

c ,

уравнение

(6.4) примет следующий вид:

(6.5)

Уравнение (6.5) имеет

смысл при

условиях

0 и

0 .

Здесь числа a, b

равны

координатам

точек

пересечения плоскости с осями координат.

Убедиться в этом можно, решив систему уравнений, состоящую из уравнения плоскости (6.5) и уравнений осей координат, например оси Ox :

x	y		x	1

a	b		c		x
a	b		c
	y	0				1 x a .	(6.6)

					a
	z	0			a
	z	0

Доказательства для точек b и c проводятся аналогично.

	a
x	Рис. 6.2
	Рис. 6.2

Угол между плоскостями и условия параллельности и перпендикулярности плоскостей очевидным образом связаны с соответствующими условиями для их нормальных векторов

Пусть заданы уравнения двух плоскостей

1 : A1 x B1 y C1 z D1	0	(6.7)
2 : A2 x B2 y C2 z D2	0

Угол между плоскостями равен углу между нормальными векторами этих плоскостей. В данном случае это вектора


n1	A1 , B1 , C1 и n2	A2 , B2 , C2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.2013841.72 Кб76Медведева Основы теории множеств и теории отображений 2011.pdf
#
16.08.20135.06 Mб151Мелников Газовые лазеры с ядерной накачкой 2008.pdf
#
16.08.20131.12 Mб128Милованов Лабораторный практикум по СВЧ 2007.pdf
#
16.08.201311.87 Mб111Мирнов Енергия из воды 2007.pdf
#
16.08.20131.39 Mб68Мирошин Интегралные и дифференциалные операторы 2010.pdf
#
16.08.20131.81 Mб41Михайлов Аналитическая геометрия 2008.pdf
#
16.08.201314.52 Mб145Михайлов Ултразвуковое исследование сердца-ехокардиография 2011.pdf
#
16.08.20133.52 Mб179Михеев Датчики и детекторы 2007.pdf
#
16.08.20137.61 Mб173Михеев Исполнителные устройства автоматических 2008.pdf
#
16.08.20138.57 Mб193Мишулина Лабораторный практикум по курсу 2007.pdf
#
16.08.20133.86 Mб115Мишулина Основы теории вероятностей 2011.pdf