Кулик Елементы теории принятия решений 2010
.pdfЗаметим, что программа В обладает положительным допустимым
вектором δ = (δ1,...,δm ) =(1, 1/2, 2), |
где δi>0, так как он является |
||||||||
решениемсистемы |
(С.1). |
|
|
|
|
|
|||
Такимобразом,выполнены условия Теоремы 2.8. |
|
|
|||||||
Из( 2.23а) и (2.38) следует, что |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
|
1 |
|
5 |
|
|
λk=1 =∑ηi = ∑ |
ηi =∑ηi =η2 +η3 = |
+2= |
>0. |
||||||
|
|
||||||||
1 |
{ |
} |
i=2 |
2 |
2 |
||||
i J |
i |
2,3 |
|||||||
Согласноусловию (2.39) для оптимальныхвекторов
t = (t1,t2 ) и η= (η1, η2 , η3 )
выполнимоследующее равенство:
λ1 (1− g1 (t1, t2 )) = 0,
т.е.
(η2 + η3 ) (1− t14t2−4 +t1−1t21/ 2 )= 0 .
Далее,поскольку (k=1)
λk > 0 , т.е. λk ≠ 0,
или
[η2 +η3 ]= 5/ 2 > 0 ,
то получаем
t14t2−4 +t1−1t21/ 2 = 1.
Такимобразом, точка минимума
(t1, t2 )
удовлетворяет ограничению( A.3) в форме равенства. Другими словами, точка минимума задачи (A.1) ÷ (A.3) лежит на кривой, определяемойуравнением
x4 y−4 + x−1 y1/ 2 =1,
x >0, y >0. 6). Итем самым задача решена▄
171
Вопросы изадания для самопроверки и контроля
Вопросы
1.КакВы понимаете, чтотакоерациональноерешение(пояснитенапримерах)?
2.Приведите общую постановку задачи математического программирования
(приведите пример сведения практической задачи к ней).
3.Как Вы понимаете, что такое одночленный позином, позином, коэффициенты позинома( приведите примеры позиномов)?
4.Можно ли найти max (min) значение позинома( приведите пример практической задаче, сводящей к минимизации позинома)?
5.Как Вы понимаете, что такое геометрическая программа (приведите общую постановку задачи геометрического программирования)?
6.Приведите общую постановку задачи геометрического программирования
(приведите пример сведения практической задачи к ней)?
7.Как Вы понимаете, что такое регулярный позином от одной переменной (приведите примеры таких позиномов)?
8.Как Вы понимаете, что такое регулярный позином от нескольких переменных (приведите примеры таких позиномов)?
9.В чем состоит суть Теоремы 2.1 для задач принятия решений (поясните на примерах)?
10.В чем состоит суть Теоремы 2.2 для задач принятия решений( поясните на примерах)?
11.В чем состоит суть Теоремы 2.3 для задач принятия решений (поясните на примерах)?
12.В чем состоит суть Теорем 2.4, 2.5 для задач принятия решений (поясните на примерах)?
13.В чем состоит суть Теоремы 2.6 для задач принятия решений (поясните на примерах)?
14.В чем состоит суть Теоремы 2.7 для задач принятия решений (поясните на примерах)?
15.В чем состоит суть Теоремы 2.8 для задач принятия решений (поясните на примерах)?
16.В чем состоит разница задач минимизации регулярных позиномов и НЕрегу-
лярных позиномов (поясните на примерах)?
17.Как решают задачу минимизации позиномов в общем случае( поясните на примере)?
18.Как Вы понимаете, что такое двойственная программа и двойственная функ-
ция (поясните на примере)?
19.В чем состоит суть Теоремы двойственности для задач принятия решений (поясните на примерах)?
20.Как можно (приближённо) оценить минимальное значение произвольного позинома (поясните на примерах)?
172
Задания
a) Найти минимум позинома f(x)= |
1 |
1 |
, где R≠0 в об- |
|
+ Rx |
R |
|||
|
x |
|
|
|
ластиего определения (см. [2, с. 125]).
Ответ: xmin=1; min f(x)= f(xmin)= f(1) = 1 +
x>0
b) Найти минимум позинома f(x)= x−1 + xsin2 (α) + xcos2 (α) областиего определения (см. [2, с. 125]).
R.
в
Ответ: xmin=1; |
min f(x)= f(xmin)= f(1)= 1+1 +1=3. |
||||||||||||||
|
x>0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
1 |
k |
|
|
|
|
||||||
c) Найти минимум позинома |
f(x)= ∑ |
|
|
x + |
|
|
|
|
|
в области |
|||||
2 |
k |
|
x |
|
|||||||||||
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
его определения (см. [2, с. 38]). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
1 |
|
1 |
k |
|||
Ответ: xmin=1; min f(x)= f(xmin)= f(1)= |
∑ |
|
|
1+ |
|
=n . |
|||||||||
|
k |
|
1 |
||||||||||||
x>0 |
|
|
|
|
k =1 |
2 |
|
|
|
|
|
||||
−1
d)Найти минимум позинома f (x) =2x S +
вобласти его определения (см.и ср. [2,
Ответ: xmin=1; min
x>0
2 −2
2xS + x S , где S≠0
с. 26, 127]).
f(x)= f(xmin)= f(1) =5.
−4 5 −2
e) Найти минимум позинома f(x) =2x R +2xR + x R , где R≠0 вобласти его определения (см.и ср. [2, с. 26, 127]).
Ответ: xmin=1; min f(x)= f(xmin)= f(1) =5.
x>0
173
f) |
Найти минимумпозинома |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 −1 |
5 |
|
2 |
−2 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x,y) =2x R y S +2x |
R |
y |
S |
+ x R y S , |
|
|
|
|
|
|
||
|
где R≠0; S≠0 в области егоопределения (см. [2,с. 26, 127]). |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Ответ: xmin=1; ymin=1; |
|||||||
|
min f(x,y)= f(xmin ,ymin)= f(1,1) =5. |
||||||||||||
|
x>0, y |
>0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g) |
Найти минимум позинома |
f(x) |
= Axα + Bx−β , |
где |
A>0; |
||||||||
|
B>0; α>0; β>0 в области его определения (см. [2, с. 47]). |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
A |
−1 |
1/(α+β) |
; |
|
|
Ответ: xmin= Bβα |
|
|
|
||||||||
|
min f(x)= f(xmin) = ( |
α+β) |
Aβ−1 |
β/(α+β) Bα−1 |
α/(α+β) . |
||||||||
|
x>0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h) Компания (см. и ср. [2, с. 94-96]) заключила контракт на перевозку некоторого количества Q. Для морских перевозок компания решает на время τ арендовать судно (рудовоз).
Пусть L — длина рейса в обе стороны (обратно судно идет порожняком), V —скорость судна( полагаем постояннойво время плавания), аτ=Q·T –1·L· V –1.
Затраты на морские перевозки складываются из следующих компонент: расходов S1 на аренду судна, оплату S2=k2·τ (k2 — коэффициент пропорциональности) труда экипажа изакупку S3 топлива.
Пусть
c1=k1·Q·L=const; c2=k2·Q·L=const; c3=k3·Q·L =const.
Стоимость месячной аренды судна определяется по эм-
пирическойформуле
d= k1·T 1.2,
где T —тоннаж судна, а k1 — коэффициент пропорциональности.
174
Затраты S3=k3·h· R( k3 — коэффициент пропорциональности) на топливо пропорциональны как общему пути, пройденному судном, т.е. h= Q·T –1·L, так и гидродинами-
|
ческому сопротивлению судна, |
которое в свою очередь |
||||||||||||||||||||
|
можно полагать пропорциональным величине R=T 2/3·V 2. |
|||||||||||||||||||||
|
ТогдаS 3=c3·T –1/3·V 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Необходимо принять решение (о скорости судна V и его |
|||||||||||||||||||||
|
тоннаже T), которое обеспечивает минимум затрат g(T,V) |
|||||||||||||||||||||
|
наперевозку груза. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С каким тоннажем следует выбрать судно и какое рас- |
|||||||||||||||||||||
|
поряжение следует отдать капитану этого судна относи- |
|||||||||||||||||||||
|
тельноскоростидвижения |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
5 |
|
18 |
|
1 |
|
c |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
6 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|||||||||||||||
|
Ответ: Tmin |
= 2 |
35 |
, V min = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
c2 27 , |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
c1 |
|
|
|
c3 |
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
= 54 |
|
|
c |
35c c 18 |
1/ 54 |
|||||||||||
|
|
|
g( Tmin , Vmin) |
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
35 |
18 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
18 |
|
|
|
|
|
||||
i) |
Найти минимум позинома g0 (x, y) = y + x4 y−4 |
при нали- |
||||||||||||||||||||
|
чии вынужденных ограничений |
g (x, y) = x−1 y1/ 2 |
≤1 |
|
|
(см. |
||||||||||||||||
|
[2,с. 111]). |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
min g0 (x, y) = g0 (6 2, 3 2 )= |
3 |
|
||||||||||||||||||
|
Ответ: |
. |
||||||||||||||||||||
|
3 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||
j) |
Оценить минимум |
позинома |
f (x, y) =15 |
1 |
+ x2 |
1 |
+ 1 y |
|||||||||||||||
|
x |
y |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||
|
в области его определения. Сравните полученный результат |
|||||||||||||||||||||
|
с точнымзначением минимума позинома (см. [2,с. 65]). |
|||||||||||||||||||||
|
Ответ: |
min |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 5≈7.4 ≤ |
||||||||||
|
f (x, y) = f 153 ,15 =3 |
|||||||||||||||||||||
|
|
x>0, y>0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
≤ min{12, 17} =12 .
175
Списокиспользуемой литературы (источники)
1.Даффин Р., Питерсон Э., Зенер К. Геометрическое программирование.—М.:
Мир, 1972.—312с.
2.Бекишев Г.А., Кратко М.И. Элементарное введение в геометрическое про- граммирование.—М .:Наука , 1980.—144с.
3.Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях.—М .: Мир, 1974.— 520с.
4.Кофман А., Анри-Лабордер А. Целочисленное программирование. Сер.:Методы и модели исслед. опер.—М.: Мир, 1977.—Т.3.—432с.
5.Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность.—М.: Мир, 1985.—512с.
6.Баранов В.И., Стечкин Б.С. Экстремальные комбинаторные задачи и их при-
ложения.—М .:Наука , 1989.—с160 .
7.Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.—М.: Наука, 1980.—519с.
8.Уайлд Д. Дж. Методы поиска экстремума.—М.: Наука, 1967.—268с.
9.Таха Х. Введение в исследование операций: в 2-х книгах.—М .: Мир, 1985.— (Кн.1.—479с.; Кн.2.—496с.).
10.Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология.—М.: Высшая школа, 2001.—208с.
11.Лопатников Л. И. Экономикоматематический словарь.—М.: Наука, 1987.— 510с.
12.Зенер К. Геометрическое программирование и техническое проектирование.—
М.: Мир, 1973.—111с.
13.Japanese Platinum. Образовательная коллекция [электронный ресурс] /1С,
ММТ, ДО.—Электр. дан., прог. 2003.—1 CD-дискROM |
.–Загл. с этикетки диска.— |
(Мультимедийные курсы иностранных языков). |
|
14.Кулик С.Д. Теория принятия решений (элементы теории проверки вероятных гипотез): учебное пособие.—М .:МИФИ , 2007.—152с.
15.Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства.—М .:Мир ,1965.—165с.
16.Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства.—М.: Мир,1965.—277с.
17.Коровкин П.П. Неравенства (ПЛМ, вып. 5).—М.:Наука ,1966.—56с.
18.Сивашинский И.Х. Неравенства в задачах.—М .:Наука , 1967.—303c.
19.Седракян Н.М., Авоян А.М. Неравенства. Методы доказательства.—М.: ФИЗ-
МАТЛИТ, 2002.—256с.
20.Маршалл А. Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и её приложения.—
М.: Мир,1983.—576с.
21.Черников С.Н. Линейные неравенства.—М.: Наука, 1968.—488 с.
22. Емельянов В.В., Курейчик В.В., Курейчик В.М. Теория и практика эволюционного моделирования.—М.: Физматлит, 2003.—с432 .
23. Рутковская Д., Пилинський М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы.—М.: Горячая линия-Телеком, 2006.—с452 .
24. Бухвалова В.В.,Рогульская А.С. Введение в геометрическое программирова-
ние [элект. ресурс].— Реж. доступ.: http://www.intuit.ru/department/se/intgeompr/.
176
Списокрекомендуемых источниковдля самостоятельной работы
1.Даффин Р., Питерсон Э., Зенер К. Геометрическое программирование.—М.:
Мир, 1972.—312с.
2.Бекишев Г.А., Кратко М.И. Элементарное введение в геометрическое про- граммирование.—М .:Наука , 1980.—144с.
3.Зенер К. Геометрическое программирование и техническое проектирование.—
М.: Мир, 1973.—111с.
4.Таха Х. Введение в исследование операций.—Изд. 7- е.— М.: Вильямс, 2005.— 912с.
5.Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства.—М.: Мир,1965.—165с.
6.Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства.—М .:Мир ,1965.—277с.
7. Коровкин П.П. Неравенства (ПЛМ,вып . 5).—М.: Наука,1966.—с56 .
8.Сивашинский И.Х. Неравенства в задачах.— М.: Наука, 1967.—303c.
9.Седракян Н.М., Авоян А.М. Неравенства. Методы доказательства.—М.: ФИЗ-
МАТЛИТ, 2002.—256с.
10.Маршалл А. Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и её приложения.—
М.: Мир,1983.—576с.
11.Черников С.Н. Линейные неравенства.—М.: Наука, 1968.—488 с.
12. Бухвалова В.В., Рогульская А.С. Введение в геометрическое программирова-
ние [элект. ресурс].— Реж. доступ.: http://www.intuit.ru/department/se/intgeompr/.
13. Судаков Р.С., Яцко А.И. Элементы прикладной теории геометрического программирования. — М.: Знание, 2004. — 126.
14. Емельянов В.В., Курейчик В.В., Курейчик В.М. Теория и практика эволюционного моделирования.—М.: Физматлит, 2003.—с432 .
15. Рутковская Д., Пилинський М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы.—М.: Горячая линия-Телеком, 2006.—с452 .
177
СПИСОКСОКРАЩЕНИЙ
________________________________________________________
АдК — аддитивный критерий; АС— активнаястратегия;
АСОИУ—автоматизи рованнаясистемаобработки информации управления;
АФИПС— автоматизированнаяфактографическая информационно-поисковаясистема;
БкИ —бесконечная игра;
ВГ — вероятная гипотеза; ВО— вынужденное ограничение;
Г — гипотеза; ГОСТ — государственныйстандарт;
ДГ — детерминированная гипотеза; ДН —" дурная" неопределённость;
ЗДН— заданный; ЗГП— задачагеометрическогопрограммирования ;
ЗПР— задачипринятия решений;
И— игра; ИО— исследованиеопераций;
ИС— информационнаясистема;
КВ — коэффициент важности; КГ— квантовая гипотеза; КИ — конечнаяигра; КС— конфликтная ситуация; КЭ— критерийэффективности;
178
ЛПР— лицо, принимающеерешение; ЛХ — личный ход;
МИФИ —Московский инженерно-физическийинститут; МКЗ — многокритериальная задача; МС— математическаястатистика; МпК — мультипликативныйкритерий; м.о. —математическое ожидание;
НД — нормирующийделитель ; НС— нейронная сеть;
НИЯУ — Национальный исследовательский ядерный университет;
НсК — нейросетевой критерий; НФ— неопределённый фактор;
ОКЗ —однокритериальные задачи; |
|
ОПР — орган принятия решения; |
|
ОпСтИг— оптимальнаястратегия |
игрока; |
ПМ— платёжнаяматрица; ПН—Парето -несравнимость; ПП— Парето-предпочтительность; ПЭ— показатель эффективности; ПЭл— пороговый элемент;
ПЭР —Парето -эффективные решения; ПЭф —Парето -эффективность;
РИ— решенигрые ; РП— регулярныйпозином;
179
СГ — статистическая гипотеза;
СССР —Союз Советских Социалистических Республик; ССИ— смешанная стратегияигрока; СИ— стратегия игрока; СФ— стохастическиефакторы; СХ — случайныйход;
с.к.о. —среднее квадратическое отклонение;
ТЗ— техническое задание; ТВ — теории вероятностей;
ТПР — теория принятиярешений; ТС— техническая система; ТСР — теория статистических решений;
Х — ход;
ЦН— целевое назначение;
ЧК — частный критерий; ЧОП— человек-оператор; ЧСИ— чистая стратегия игрока;
ЭО— эффективностьоперации; ЭТС — эффективность техническойсистемы.
180