Кулик Елементы теории принятия решений 2010

Теорема 2.1 (см. [2, с.16]). Для любых положительных чисел x1,…, xn и положительных чисел a1,…, an, удовлетворяющих условиюa1+…+ an=1, справедливо неравенство

в котором знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда x1=x2=…=x n ▄

Доказательство Теоремы 2.1 с помощью метода математической индукции дано в работе [2, с.16-19]. Числа a1,…, an называются нормированными весами. В случае, когда этими весами являются числа ai=1/n (i=1, 2,…, n), то неравенство (2.9) превращается в неравенство (2.8а).

Можно показать (см. [2, с.19-20]), опираясь на Теорему 2.1, что справедливаследующая Теорема2.2.

Хорошо известно, что наименьшее значение суммы z1+…+zn положительных чисел, когда их произведение равно числу A=const>0,

132

есть n A1n и достигается тогда, когда z1=z2=…=zn. Если в Теореме 2.2 (см. соотношение (2.12)) положить βi=γi=1, где i=1, 2,…, n; то получимсразу этот результат [2, с.16].

Применение Теоремы 2.2 иногда требует некоторой изобретательности[ 2, с.23].

Пример 2.Б (см. работу [2, с.21-22]). Найти наибольшее значение функции

k=1, 2,…, n. Понятно, что x1=1–(z1)–1. Далее последовательно полу-

чаем, что

x1=(z1) –1–1,x 2=(z1) –1· ((z2) –1–1)

или

xk=(z1) –1· (z2) –1 ·…· (zk-1) –1 · ((zk) –1–1) где, k = 2, 3,…, n.

Суммируя эти равенства, получим x1+…+xn=(z1)–1· (z2)–1 ·…· (zn)–1–1 .

k=1, 2,…, n ( числа xk образуют геометрическую прогрессию со знаменателемq = 2(1n)) ▄

133

Регулярныепозиномы (см.работы [1, 2] идр.)

Специалисты выяснили (см. [2, с.25]), что в классе позином от n переменных есть очень важный их подкласс, наименьшее значение которых можно найти очень просто. Такие позиномы получили всреде учёных название регулярных позиномов (РП).

Регулярный позином (случай одной переменной x) [2, с.25] — позином

i=1

Регулярный позином (случай n переменных xi) [2,с.26] —пози - ном

т.е. если коэффициенты позинома являются решением однородной системылинейных уравнений.

Отметим следующее [2, с.26]. Приведённое выше определение регулярного позинома от n переменных xi равносильно следующему: позином g( x1,…, xn) естественным образом порождает n позиномов одной переменной

которыеназывают компонентами данного позинома.

134

На практике полезна следующая Теорема 2.3, доказательство которойдано в работе [2, с.27-28].

Теорема 2.3 (см. [2, с.27]). Если позиномы g и h — регулярные, то позиномы h+ g и h · g ( в частности, λ ·g , где константа λ>0) есть такжерегулярные позиномы ▄

Отметим следующее [2, с.28]. Если позином g(x1,…, xn) — регулярный позином, то любая его целая положительная степень m (т.е. позином {g(x1,…, xn)}m )есть также регулярныйпозином.

Минимизациярегулярных позиномов (см. работы [1, 2] идр.)

Минимальное значение регулярного позинома в области его определения находят с помощью следующей Теоремы 2.4, доказательствокоторой данов работе [2, с.31-32].

Теорема 2.4 (см. [2, с.31]). Наименьшее значение регулярного позинома равно сумме его коэффициентов и достигается при x1=x2=…=xn=1, т.е.

ма регулярного позинома. Однако можно показать, что регулярный позином одной переменной g(x) имеет ЕДИНСТВЕННЫЙ минимумв точке x=1.

ВАЖНО ПОМНИТЬ [2, с.33]. Можно показать, что если наименьшее значение некоторого позинома g(x1,…, xn) равно сумме его коэффициентов,то это —регулярныйпозином .

МинимизацияНЕрегулярных позиномов (см. работы [1, 2] идр.)

Теоремы 2.5, доказательство которой опирается на Теорему 2.4 и данов работе [2,с.40-44].

135

Теорема 2.5 (см. [2,с.40]).

А). Каждоеположительное решение

g(x1,…, xn) (т.е. точкой, в которой он достигает наименьшего значения).

Б). Обратно, каждая точка( t1,…, tn) глобального минимума этого позинома (2.5б) g(x1,…, xn) удовлетворяет системе этих алгебраическихуравнений (2.15б) ▄

ВАЖНО ПОМНИТЬ [2, с.40]. Для составления i-го алгебраического уравнения системы (2.15б) надо каждый член позинома g(x1,…, xn) умножить только один раз на показатель степени при переменной xi именно в этом члене, затем результаты сложить и полученную сумму приравнять нулю. Заметим, что i-е уравнение системы соответствует только переменной xi, а число слагаемых m вэтом уравнении — числучленов позинома.

Идея минимизации НЕрегулярных позиномов основывается на идеи регуляризации, состоящей в том, чтобы для НЕрегулярного позинома построить некоторый регулярный позином с тем же минимумом (если он вообще достигается) и затем воспользоваться Теоремой 2.4. В итоге задача минимизации произвольного позинома (в области его определения) целиком и полностью сводится к нахождению положительного решения( если таковое существует) определённой системы алгебраических уравнений, связанных с данным позиномом (на практике поиск решения этой системы уравнений может быть очень не простым, а иногда легким) [2,

с.38-39].

136

Минимизацияпозиномов в общемслучае (см. [1, 2] идр.)

Для рассмотрения общего случая нахождения минимума пози-

ловие нормированности в (2.19) определено следующим выражением:

Минимальное значение позинома (2.16а) находят, опираясь на идею двойственности задач геометрического программирования с помощью Теоремы двойственности (см. точную формулировку и доказательство в [2, с.107-108] и в [1]). Суть этой теоремы состоит в том, что вместо решения прямой задачи (прямой программы)

137

можно решать двойственную задачу (двойственную программу),

так как имеется равенство минимума прямой программы макси-

муму двойственнойпрограммы, т.е.

где

P — множествовсех допустимых точек (x1,…x, n) или векторов x ;

D — множествовсех допустимых точек (δ1,…δ, m) иливекторов δ.

Прямая геометрическая программа (т.е. программа А) называется совместной, если она обладает допустимым решением, т.е. существует точка ( или вектор x =(x1,…, xn)), удовлетворяющая ограничениям (2.16б) и (2.16в).

Множество всех допустимых векторов x двойственной программы А обозначается символом P. Будем называть [1, с.90] программу А сильно совместной, если найдётся хотя бы один вектор

x* с положительным компонентами (2.16б), для которого все вынужденные ограничения (2.16в ) выполнены строго (см. [2, с.109]), т.е. имеют местобыть в (2.16в) толькострогие неравенства

двойственнымвектором δ.

Множество допустимых векторов δ двойственной программы В обозначается символом D. Принято, что программа В называется совместной, еслимножество D не пусто (D ≠).

В общем случае решение двойственной задачи геометрического программирования требует некоторых специальных методов, которые уже разработаны и опираются на алгоритмы выпуклого про-

граммированиия [2,с.110-111].

138

Подчеркнем, что числа c1, c2, …, cm в выражении двойственной функцииv(δ1,…δ, m) —это коэффициентыпозинома (2.16а).

Переменные δ1,…, δm называют двойственными переменными,

причёмδi≥0, гдеi=1,…, m [2, с.99].

ВАЖНО ПОМНИТЬ [2, с.99]. Каждое вынужденное ограничение

(ВО) прямойпрограммы вноситв двойственнуюфункцию v(δ1,…, δm)

соответствующий множитель (λk )λk . Если ВО нет, то нет и этих

m=m0

сомножителей (приp=0, ( см. (2.20)) λ0=∑δi =∑δi ≡1, (λ0 )λ0 =1):

Любое неравенство h(x1,..., xn ) ≤ b , где h(x1,..., xn ) — некоторый позином, а b —некоторое положительное число (т.е. b >0), можнопредставить как (1/ b) h(x1,..., xn ) ≤ 1, где

g(x1, …, xn) = (1/ b) h(x1,..., xn )

есть (в силу Леммы 2.1) позином. Опираясь на этот результат, задача геометрического программирования может быть сформулиро-

ванакак (2.16а, б,в) [2, с.97].

точке x , где x1 >0, …, xn >0 не меньше, чем значение двойственной

Теорема 2.7а (см. [2, с.87-88]). Если позином (2.5а) достигает в области положительных значений переменных xj своего наименьшего значения, то двойственная функция (2.26) достигает на множестве своего наибольшего значения. Болеетого,