Кулик Елементы теории принятия решений 2010

тогда и только тогда имеет положительное решение, когда позином (2.5а) достигает в области x1 >0, …, xn >0 своего наименьшего значения.

При этом любое положительное решение системы (2.33а) даёт точку (глобального) минимумапозинома (2.16а) ▄

Приведём вариант теоремы двойственности для случая отсутствия вынужденныхограничений (ср. с [1, с.90-91]).

Теорема 2.7в (см. иср. [2, с.90-91]).

А). Если

позином( 2.5а) достигает в области x1 >0, …, xn >0 своего наименьшегозначения G0 ,

то

Б). Обратно, если

двойственная функция (2.26) v(δ1,...,δm ) достигает на

Приведём вариант теоремы двойственности для случая наличиявынужденных ограничений( ср.с [1,с.90-91]).

Теорема 2.8 (см. [2, с.107-109]). Пусть программа В обладает по-

Тогда:

а). Существует минимизирующий вектор прямой программы и существует максимизирующий вектор η= (η1,..., ηm ) двойственной программы.Более того,

б). Координатывекторов t и η связаны соотношениями

Следовательно, если

λk > 0 ,

то соответствующее ограничение gk (x) ≤1 прямой программы (программы А) является активным, т.е. выполняется в форме равенства gk (x) =1.

Введёмследующие важные обозначения.

gi(x1,…, xn), гдеi= 0, 1,…, p, программы А.

143

Введём матрицуA из n — строк и m — столбцов, где

p

m = ∑mk ,

k =0

следующимобразом:

A0

Каждому члену позиномов программы А соответствует только одна двойственная переменная δi (i=1÷m), и наоборот. Отметим следующее[ 2, с.94, 108]. При решении систем уравнений (2.33б) и (2.37) можно выполнить логарифмирование этих систем. Это позволитупростить (линеаризовать) систему уравнений.

Перейдём к рассмотрению кратких методических указаний к задачам,связанным позиномами и их минимизацией.

145

2.2. Методические указания

На практике, при минимизации регулярных позиномов в области их определения, удобно придерживаться следующей последовательности действий, которая может меняться в зависимости от конкретныхусловий задачи:

0).Вводят , еслитребуется, необходимыеобозначения. Приводят, если требуется, исходную функцию к представле-

нию в виде позинома (см. условия (2. 5а) и (2.5б) ), т.е. стараются увидетьв исходной функции именно позином.

Формулируют на языке геометрического программирования то, что требуется найти (возможно, придётся переформулировать исходную задачу).

1). При необходимости проверяют, что минимизируемая функция является именно позиномом (см. условия (2.5а) и (2.5б) ), а возможные вынужденные ограничения в постановке исходной задачиотсутствуют (т.е. нет (2.7) или (2.16в )).

2). При необходимости проверяют (см. условия (2.14а) и (2.14б)), что минимизируемый позином является именно регуляр- ным позиномом.

3). Находят( см. Теорему 2.4) точку минимума регулярного позинома.

4). Находятминимальное значение регулярного позинома.

5). Анализируя полученные результаты, например точку минимума или минимальное значение позинома, стараются получить конечныйответ напоставленный в задаче вопрос.

ВАЖНО ПОМНИТЬ. Если (см. Теорему 2.1) f и g — позиномы, то их сумма f+ g и произведение f · g ( в частности λ ·f, где константа λ >0) естьтакже позином.

ВАЖНО ПОМНИТЬ. Если (см. Теорему 2.3) позиномы g и h — регулярные, то позиномы h+g и h · g (в частности λ ·g , где константаλ>0) естьтакже регулярные позиномы.

ВАЖНО ПОМНИТЬ. Регулярность позиномапозволяет с по - мощью Теоремы 2.4 достаточно быстро определить его минимум исаму точку минимума.

146

На практике, при минимизации НЕрегулярных позиномов в области их определения, удобно придерживаться следующей последовательности действий, которая может меняться в зависимости от конкретныхусловий задачи:

0). Вводят, еслитребуется, необходимые обозначения. Приводят, если требуется, исходную функцию к представле-

нию в виде позинома (см. условия (2. 5а) и (2.5б)), т.е. стараются увидетьв исходной функции именно позином.

Формулируют на языке геометрического программирования то, что требуется найти (возможно, придётся переформулировать исходную задачу).

1). При необходимости проверяют, что минимизируемая функция является именно позиномом (см. условия (2.5а) и (2.5б)), а возможные вынужденные ограничения в постановке исходной задачиотсутствуют (т.е. нет (2.7) или (2.16в )).

2). При необходимости проверяют (см. условия (2.14а) и (2.14б)), что минимизируемый позином НЕ является именно регулярным позиномом.

3). Находят( см. Теорему 2.5) точку минимума НЕрегулярного позинома. Для этого составляют систему алгебраических уравнений (2.15б) и затем стараются найти её решение. Если решение найдено, тостала известна точкаминимума позинома.

4). Находят минимальное значение НЕрегулярного позинома длянайденной точки минимума.

5). Анализируя полученные результаты, например точку минимума или минимальное значение позинома, стараются получить конечныйответ напоставленный в задаче вопрос.

ВАЖНО ПОМНИТЬ. Для составления i-го алгебраического уравнения системы (2.15б) надо каждый член позинома умножить только один раз на показатель степени при переменной xi именно в этом члене, затем результаты сложить и полученную сумму приравнять нулю. При этом i-е уравнение этой системы соответствует только переменной xi, а число слагаемых m в этом уравнении — числу членов позинома. С помощью Теоремы 2.5 и Теорем 2.7-2.8 можно найти минимум НЕрегулярного позинома.

147

На практике, при минимизации позиномов с помощью двойственной задачи, например при наличии вынужденных ограничений, удобно придерживаться следующей последовательности действий, которая может меняться в зависимости от конкретных условий задачи:

0). Вводят, еслитребуется, необходимые обозначения. Приводят, если требуется, исходную функцию к представле-

нию в виде позинома (см. условия (2. 5а) и (2.5б)), т.е. стараются увидетьв исходной функции именно позином.

Формулируют на языке геометрического программирования то, что требуется найти (возможно, придётся переформулировать исходную задачу).

1). При необходимости проверяют, что минимизируемая функция является именно позиномом (см. условия (2. 5а) и (2.5б)), а возможные вынужденные ограничения в постановке исходной задачиприсутствуют (т.е. есть (2.7) или (2.16в)).

3). Находят решение двойственной задачи (т.е. решение системы (2.19)) и минимум (см. Теоремы 2.7-2.8) исходной задачи (т.е.

программыА).

4). Находят точку t минимума позинома g0 (t ) исходной зада-

чи (т.е. программы А).

5). При необходимости уточняют и выполняют проверку (для используемых при решении задач теорем) важных предпосылок и положений.

6). Анализируя полученные результаты, например точку минимума или минимальное значение позинома, стараются получить ответ на поставленныйв задаче вопрос.

Отметим следующее. ЧислоЁ=m –n –1 называетсястепеньютрудности(n —число независимых переменных). Если Ё=0, то решение получить не очень трудно. Если Ё≠0, то возникают проблемы и значительные трудности, и в данной работе этот случай не рассматривается. Неравенства (2.16 б) и (2.34) — строгие, а (2.24) —

148

нестрогие. В Теореме 2.8 важно условие (2.35). Не следует забыватьпро условие (2.20), т.е. условие нормированности

∑m0 δi=1. i=1

ВАЖНО ПОМНИТЬ. Каждому члену позиномов программы А соответствует только одна двойственная переменная δi (i=1÷m ), и наоборот. Каждое вынужденное ограничение прямой программы (программыА) вносит в двойственную функцию

v(δ1,…δ, m)

соответствующий множитель (λk )λk . Если вынужденных ограничений нет, то нет и этихсомножителей (приp=0 см. (2.20)).

(2.16в), тоследует перейти к решениюдвойственной задачи;

•если в постановке задачи НЕТ вынужденных ограничений (2.16в), то следует сначала выполнить проверку позинома на регулярность, так как если он регулярен, то точка его минимума (см.Теорему 2.4) известнасразу,т.е. xmin=(1,1,1,…,1) .

Любое неравенство (в исходной формулировке задачи) h(x1,..., xn ) ≤ b , где h(x1,..., xn ) — некоторый позином, а b —неко - торое положительное число (т.е. b >0), можно представить как

(1/ b) h(x1,..., xn ) ≤ 1, где g ( x1, …, xn) = (1/ b) h(x1,..., xn ) есть (в

силу Леммы 2.1) позином. Опираясь на этот результат, задача геометрического программирования может быть сформулирована как

(2.16а, б,в).

Более подробные и важные сведения о неравенствах можно найти в работах [15, 16, 18- 21]. Для не очень подготовленного читателяможно рекомендовать [17].

Перейдём к некоторым примерам решённых задач, связанных с позиномами.

149

2.3. Некоторые примерырешённых задач

Для приобретения навыка работы с позиномами необходимо очень подробно и тщательно самостоятельно решить различные по сложности примеры задач (в крайнем случае, если нет такой возможности, то изучить очень подробные решения разобранных примеров).

Впервой группе примеров требуется найти минимум регулярных позиномов в области их определения без вынужденных ограничений. Сначала минимизируются функции с одной переменной,

азатем с несколькими переменными. Это самые простые по сложностизадачи.

Во второй группе примеров требуется найти минимум позиномов, (которые могут уже быть НЕрегулярными) в области их определения без вынужденных ограничений. Сначала минимизируются функции с одной переменной, а затем —с несколькими переменными. Эточуть труднее по сложностизадачи.

Втретьей группе примеров требуется найти с помощью двойственной задачи минимум позиномов (которые могут быть НЕрегулярными) уже при возможном наличии вынужденных ограничений. Сначала рассматриваются более простые задачи, а затем— более сложные посложности задачи.

1) проверку исходной функции и принятие решение о том, что исходнаяфункция являетсяименно позиномом;

2)проверку позиномана регулярность.

Первая проверка позволяет убедиться в том, что имеем дело именнос позиномами,а не с какими-тодругими функциями.

Вторая проверка позволяет (в случае положительного решения о регулярности) достаточно быстро найти минимум регулярного позинома иточку, вкоторой ондостигает минимума.

Перейдём к рассмотрению самих решений задач, связанных с позиномамии их минимизацией.

150