Здесь q1, q2,…, qn и r2, r3,…, rn - многочлены из Fq[х]. Так, как deg(g) конечна, то процедура нахождения НОД должна закончиться после конечного числа шагов. Если старший коэффициент последнего ненулевого остатка rn равен b,то НОД(f,g) = b-1rn.

Для нахождения НОД( f1, f2,…, fn) при n>2 и при ненулевых многочленах fi сначала определяем НОД( fi, fj ), а затем находим НОД(НОД( f1, f2 ), f3 ) = НОД( f1, f2, f3 ) и т.д.

Пример 75. ♦ Применим алгоритм Евклида для нахождения

НОД(f,g) следующих двух многочленов из кольца F3 [х]: f(х) = 2x6 + x3 + x2 + 2 и g(х) = x4 + x2 +2x. 2x6 + x3 + x2 + 2 = (x4 + x2 +2x)*(2x2 +1) + x +2, x4 + x2 +2x = (x +2)*(x3 + x2 +2x +1) +1,

x +2 = 1*( x +2).

Следовательно, (f, g) = rn =1 и многочлены f , g взаимно просты.♦ Обратимыми элементами в кольце Fq[х] являются делители постоянного многочлена 1 и, следовательно, ими являются все нену-

левые постоянные многочлены и только они.

Поскольку кольцо многочленов Fq[х] над полем Fq допускает алгоритм деления, то отсюда следует, что каждый идеал кольца многочленов Fq[х] является главным.

Напомним, что многочлен над Fq назывется нормированным, если его старший коэффициент равен 1.

Теорема 29. Кольцо Fq[х] над конечным полем Fq является кольцом главных идеалов, т.е. для любого идеала ≠( ) кольца Fq[х] найдется однозначно определенный нормированный многочлен

g Fq[х], такой, что =(g).

♦ Кольцо Fq[х] является целостным кольцом, поскольку Fq – поле. Пусть ≠( ) – идеал кольца Fq[х], h(х) – ненулевой многочлен наименьшей степени, содержащийся в , b – старший коэффициент многочлена h(х) и g(х) = b-1h(х). Тогда g является нормированным многочленом, содержащимся в .

Для произвольного многочлена f , применяя алгоритм деле-

ния, найдем такие q,r Fq[х], что f=qg+r и deg(r)< deg(g) = deg(h).

Поскольку является идеалом, то r = f–qg . Из определения h следует, что должно быть r=0. Поэтому многочлен f делится на g, следовательно, = (g).

86

Если существует другой нормированный многочлен g1 Fq[х],

такой, что = (g1), то g = с1g1 и g1 = с2g, где с1,с2 Fq[х]. Отсюда следует g=с1с2g, так что с1с2 =1, т.е. с1 и с2– постоянные многочле-

ны. Оба многочлена g и g1 нормированы, поэтому g = g1 и единственность g установлена, что и требовалось доказать.♦

Теорема 30. Пусть f1, f2,…, fn - многочлены из Fq[х], не все равные. Тогда существует однозначно определенный нормированный многочлен d Fq[х],обладающий следующими свойствами:

1.многочлен d делит каждый многочлен fi, 1 ≤ i ≤ n;

2.любой многочлен g Fq[х], который делит каждый из многочленов fi , делит и многочлен d;

3.многочлен d может быть представлен в виде:

d = b1f1+ b2f2+…+ bnfn , где b1,b2,…,bn Fq[х].

♦Множество , состоящее из всех многочленов вида с1f1+с2f2 + +…+ сnfn , где с1,с2,…,сn Fq[х], является идеалом кольца Fq[х]. Поскольку не все fi равны нулю, то ≠( ) и из теоремы 29 следует, что =(d) для некоторого нормированного многочлена d Fq[х]. Свойство 3 многочлена d и его представление в виде суммы многочленов сразу вытекают из определения d.

Если же допустить существование другого нормированного многочлена d1 Fq[х], удовлетворяющего свойствам 1 и 2, то на основании этих свойств получим, что многочлены d и d1 делят друг друга и (d)=(d1). Поэтому из теоремы 29 в силу единственности многочлена, порождающего главный идеал, следует равенство d и d1. Теорема доказана.♦

Нормированный многочлен d называется наибольшим общим делителем многочленов и обозначается в виде НОД (f1, f2,…, fn). Если НОД( f1, f2,…, fn) = 1, то многочлены f1, f2,…, fn называются

взаимно простыми. Эти многочлены называются попарно взаимно простыми, если НОД( fi , fj ) = 1 для 1 ≤ i< j ≤ n. НОД многочленов можно вычислить с помощью алгоритма Евклида.

Определение.♦Многочлен f Fq[х] называют неприводимым над полем Fq или в кольце Fq[х], если степень deg(f) положительна и для g,h Fq[х] равенство f = gh может выполняться лишь тогда, когда либо g, либо h являются постоянным многочленом.

Многочлен положительной степени из Fq[х], не являющийся неприводимым в Fq[х], называется приводимым в Fq[х]. ♦

87

Неприводимость или приводимость данного многочлена зависит от того, над каким полем он рассматривается. Неприводимые многочлены играют важную роль в устройстве кольца Fq[х], так как любой многочлен из Fq[х] можно, и притом единственным способом, записать в виде произведения неприводимых многочленов.

Теорема 31 (о факторизации многочлена). Пусть Fq – конечное

поле. Тогда f Fq[х], deg(f)>0 можно представить f в виде произве-

дения: f=аf1е1f2е2… fnеn, а Fq, f1, f2,…,fn Fq[х] - различные нормированные неприводимые многочлены над Fq, а е1,е2,…,еn являются

натуральными числами. Это разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

♦ Возможность факторизации любого непостоянного многочлена f Fq[х] доказывается индукцией по степени многочлена f. Случай deg(f) = 1 тривиален, поскольку любой многочлен первой степени приводим в Fq[х].

Предположим, теперь, что требуемое разложение установлено для всех непостоянных многочленов из Fq[х] степени меньшей n.

Fq[х] (где а– старший коэффициент f ). Если же f приводим, то он допускает разложение f = gh, где g,h Fq[х], 1≤deg(g)<n, 1≤deg(h)<n. По предположению индукции можно провести факторизацию g и h, поэтому, то же самое можно сделать и с f.

Для доказательства единственности разложения предположим,

что f имеет два разложения указанного вида

f = а f1е1 f2е2 … fnеn = bg1d1g2d2 … gmd m.

Сравнение старших коэффициентов дает а = b . Неприводимый многочлен f1 Fq[х] делит правую часть равенства и поэтому он делит один из многочленов gj, 1≤j<r. Но gj также неприводим в кольце Fq[х], следовательно, gj = сf1, где с- постоянный многочлен. Поскольку оба многочлена gj и f1 нормированы, то gj = f1. Таким образом, можно в равенстве сократив gj и f1, применить тот же прием к полученному новому равенству. После конечного числа таких шагов убеждаемся, что оба предполагаемые разложения многочлена f совпадают с точностью до порядка сомножителей, что и требовалось доказать. ♦

88

Представление многочлена в виде произведения из теоремы 31 называется каноническим разложением многочлена f в кольце Fq[х]. Далее будет рассмотрен алгоритм Берлекэмпа, позволяющий находить каноническое разложение многочленов над конечным полем за конечное число шагов. Необходимо, заметить, что аналогичных процедур для факторизации натуральных чисел в настоящее время не существует.

Основным вопросом для многочленов из Fq[х] является вопрос о том, приводим или неприводим данный многочлен над полем Fq. Для различных задач дискретной математики особенно интересны многочлены, неприводимые над простым полем Fр.

Пример 76. ♦ Найдем все неприводимые многочлены степени 4 над полем F2. Необходимо отметить, что каждый ненулевой мно-

гочлен из F2[х] нормирован.

Всего существует 24=16 многочленов 4-й степени над F2. Такие многочлены приводимы они имеют делители 1-й или 2-й степени. Надо найти все произведения вида (а0+а1x+а2x2+x3)(b0+x) или

(а0+а1x+x2)(b0+b1x+x2), где аi,bj F2. Это будут все приводимые многочлены четвертой степени из F2[х].

Исключив их из полного набора многочленов 4-й степени над

F2, получим: f1 = x4 + x +1, f2 = x4 + x3 +1 и f3 = x4 + x3 + x2 + x +1,

которые являются искомыми неприводимыми многочленами. При больших n или р данный переборный алгоритм неприемлем, поэтому в дальнейшем мы рассмотрим более мощные методы.♦

Остановимся подробнее на строении факторкольца Fq[х]/(f), где f - произвольный ненулевой многочлен из Fq[х]. Это кольцо Fq[х] состоит из классов вычетов [g]=g+(f), g Fq[х], а операции вводятся для a, b Fq[х] следующим образом:

(a+(f))+(b+(f)) = (a+b)+(f) [a]+[b] = [a+b], (a+(f))*(b+(f)) = (ab)+(f) [a]+[b] = [ab].

Два класса вычетов g+(f) и h+(f) совпадают в том и только том случае, когда g ≡ h (mod f), т.е. когда многочлен g-h делится на f. Это равносильно требованию, чтобы g и h давали один и тот же остаток при делении на f. В классе вычетов g+(f) содержится единственный многочлен r Fq[х], для которого deg(r)<deg(f). Этот многочлен просто является остатком при делении g на f.

89

Процесс перехода от g к r называется приведением по модулю f. Единственность r вытекает из того, что при существовании другого многочлена r1 g+(f), такого, что deg(r1)<deg(f), разность r-r1 должна делиться на f. Поскольку deg(r - r1)< deg(f), то это возможно

лишь при r = r1.

Различные элементы, образующие факторкольцо Fq[х]/(f) теперь можно описать явно: это классы вычетов r+(f), где r пробегает все многочлены из Fq[х] степени, меньшей чем deg(f). Таким образом, если конечное поле Fр является простым и его степень deg(f) = n ≥0, то число элементов факторкольца равно числу многочленов степени, меньшей n, в кольце Fр[х], т.е.pn.

Пример 77. ♦ Пусть задан многочлен f(x)=x2+x+1 F2[х]. Факторкольцо F2[х]/(x2+x+1) в этом случае состоит из 22 элементов [0],[1],[x],[x+1]. Табл.10 описывает операции сложения и умножения в этом кольце. Напоминаем, что вычисления в этом кольце

Из табл.10 видно, что факторкольцо F2[х]/(x2+x+1) есть конечное поле. Это первый пример поля, число элементов которого не является простым числом.

Теорема 32. Пусть f Fq[х]. Для того, чтобы факторкольцо Fq[х]/(f) было полем, необходимо и достаточно, чтобы многочлен f был неприводим над полем Fq.

♦Чтобы доказать, что рассматриваемое кольцо является полем, достаточно показать, что каждый ненулевой элемент кольца имеет мультипликативный обратный. Пусть s(x) Fq[х] и deg(s)<deg(f).Т.к. многочлен f неприводим, то НОД(s, f) есть некоторый постоянный

многочлен с Fq[х]. По теореме 30 имеем

с=af +bs, a,b Fq[х] 1=с-1a f + с-1bs.

90

Для классов вычетов будет справедливо следующее равенство

[1] = [с-1a f ] +[с-1bs] или [1] = [ ] +[(с-1b)s], т.е. с-1b является об-

ратным к s и кольцо Fq[х]/(f) является полем.

Предположим, что условие неприводимости f нарушено. Пусть deg(f)≥2 и f разложим над Fq. Тогда f = rs для некоторых r,s Fq[х]

и deg(r)≥1, deg(s)≥1.Если Fq[х] является полем, то элемент r имеет обратный элемент r–1 и тогда [s] = [(r–1r)s] = [r–1(rs)] = [r–1 f] =[ ] .

Но это противоречит исходному предположению, т.к. s предполагался ненулевым и, следовательно, при разложимости f факторкольцо Fq[х] не может быть полем. Теорема доказана и дает конструктивный метод построения конечных полей. ♦

Ранее были введены понятия подполя и расширения конечного поля и было определено, что простым называется поле, не содержащее собственных подполей. Любое поле порядка р (при простом р) является простым полем. Пересечение любой непустой совокупности подполей данного конечного поля Fq снова является подполем Fq. Пересечение всех подполей поля Fq называется простым подполем. Очевидно, что оно является простым полем.

Теорема 33. ♦ Простое подполе конечного поля Fq изоморфно полю Fр при некотором простом числе р и в соответствии с этим характеристикой поля Fq является р. ♦

Определение. ♦ Пусть К – некоторое подполе конечного поля Fq и θ Fq. Если элемент θ удовлетворяет нетривиальному полиномиальному уравнению аnθn+…+ а1θ + а0 = , где аi К и не равны нулю одновременно, то θ называется алгебраическим над К. Рас-

ширение L поля К называется алгебраическим расширением К, если каждый элемент поля L является алгебраическим над К.♦

Пусть элемент θ Fq – алгебраический над К. Рассмотрим множество = { f К[x]: f (θ) = }. Легко проверить, что – идеал кольца К[x], причем ≠ { }, т.к. θ – алгебраический элемент над

К.

Тогда согласно теореме 29 существует однозначно определенный нормированный многочлен g К[x], такой, что совпадает с главным идеалом (g). Важно отметить, что многочлен g неприводим в К[x].

Действительно, во-первых, deg(g)>0, т.к. многочлен g имеет корень θ, а во-вторых, если

91

g(х) = h1(х)h2 (х) в К[x], где 1≤deg(hi)<deg(g), i=1,2,

то из =g(θ)=h1(θ)h2(θ) вытекает, что либо h1, либо h2 принадлежат идеалу и, значит делится на g, что невозможно.

Определение. ♦ Если элемент θ конечного поля Fq является алгебраическим над подполем К поля Fq, то однозначно определенный нормированный многочлен g К[x], порождающий идеал = {f К[x]: f(θ)= } кольца К[x], называется минимальным многочле-

ном элемента θ над подполем К. Под степенью элемента θ над подполем К понимают степень его минимального многочлена♦ Теорема 34. Если элемент θ конечного поля Fq является алгебраическим над подполем К поля Fq , то его минимальный много-

член g над К имеет следующие свойства:

1.многочлен g неприводим в кольце К[x];

2.для многочлена f К[x] равенство f (θ) = выполняется в том

итолько том случае, когда многочлен g делит f;

3.многочлен g - нормированный многочлен наименьшей степени

в кольце К[x], для которого θ является корнем.

♦Свойство 1 уже установлено, а свойство 2 следует из определения g. Что же касается свойства 3, то достаточно заметить, что любой нормированный многочлен из К[x], для которого θ является корнем, кратен g, и значит, либо равен g, либо имеет степень, превышающую степень g. ♦

Минимальный многочлен алгебраического элемента θ и степень θ зависят от поля К, над которым рассматривается этот элемент.

Если L – расширение поля К, то L есть векторное (линейное) пространство над полем К. Элементы поля L (т.е. “векторы”) образуют по сложению абелеву группу. Кроме того, каждый “вектор” α L может быть умножен на «скаляр» (оператор) r К. В этом случае произведение rα L (rα - произведение в смысле операции поля L элементов r,α L). Наконец, выполняются законы r(α+β)=rα+rβ, (r+s)α=rα+sα, (rs)α=r(sα), 1α=α, r,s К; α,β L.

Определение. ♦ Пусть L есть некоторое расширение поля К. В случае, если L, рассматриваемое как векторное пространство над К, имеет конечную размерность, оно называется конечным расширением поля К. Размерность векторного пространства L над К называется степенью поля L над К и обобзначается как [L:К]. ♦

92

Теорема 35. Все конечные расширения поля К являются алгебраическими над К.

♦Пусть L является конечным расширением поля К, [L:К]=m и θ L. Тогда m+1 элементов 1,θ,…,θm поля линейно зависимы над К, поэтому имеет место равенство аmθm +…+ а1θ+ а0 = с коэффици-

ентами аi К, одновременно не равными нулю. Но это и означает,

что θ – алгебраический элемент над К.♦

Теорема 36. Если L – некоторое расширение поля К и М – конечное расширение L, то M является конечным расширением К и справедливо равенство [M:К] = [M:L][L:К].

♦Пусть [M:L]=m, [L:К]=n, {α1,…,αm} - базис векторного пространства M над L, {β1,…,βn} - базис векторного пространства L над K. Тогда любой элемент α М является линейной комбинацией

α = γ1α1+…+ γmαm , где γi L, 1≤i≤m, и, записывая каждое γi через базисные элементы βj, получим α=Σγiαi=Σ(Σrijβj)αi=ΣΣrijβjαi, где

коэффициенты rij К, 1≤i≤m, 1≤j≤n.

Для доказательства теоремы теперь достаточно показать линейную независимость mn элементов βjαi , 1≤i≤m, 1≤j≤n над К.

Допустим, что ΣΣsijβjαi = , где коэффициенты sij К. Тогда

Σ(Σsijβj)αi= и из линейной независимости элементов α1, … , αm над L следует, что Σsijβj= для 1≤i≤m. Но так как элементы β1,…,βn линейно независимы над К (это базис), можно сделать вывод о том, что все sij равны .♦

Определение. ♦ Пусть K – подполе конечного поля Fq и М – произвольное подмножество поля Fq. Обозначим через К(М) пересечение всех подполей поля Fq , содержащих одновременно К и М.

Тогда К(М) называется расширением поля К, полученным присоединением элементов множества М. Поскольку М конечно, т.е.

М={θ1,…, θn}, обычно записывают К(М)=К(θ1,…,θn). Если М состоит из одного элемента θ Fq, то поле L = К(θ) называется про-

стым расширением поля К, а θ - образующим (порождающим)

элементом простого расширения L поля К.♦

Очевидно, что К (М) является наименьшим подполем поля Fq, содержащим одновременно К и М. Рассмотрим строение простого расширения К(θ) поля К, полученного присоединением к К некоторого алгебраического элемента θ. Пусть Fq - расширение поля К и

93

пусть θ Fq является алгебраическим элементом. Оказывается, что К(θ) является конечным расширением, а потому и алгебраическим расширением поля К.

Теорема 37. ♦ Пусть θ – алгебраический элемент степени n над подполем К конечного поля Fq и g – минимальный многочлен элемента θ над К. Тогда

1.простое расширение К(θ) изоморфно факторкольцу К[х]/(g);

2.[К(θ):К]=n и (1,θ,…,θn-1) - базис векторного пространства К(θ) над полем К.;

3.каждый элемент α К(θ) является алгебраическим над полем К, и его степень является делителем n.♦

Таким образом, элементами простого алгебраического расшире-

ния К(θ) поля К являются значения многочленов от х с коэффициентами из К при х=θ. Любой элемент поля К(θ) можно представить

ввиде аn-1θn-1+…+ а1θ+ а0 , где аi К, 1≤i≤n-1.

Втеореме 37 предполагается, что поле К и элемент θ принадле-

жат некоторому большому полю Fq. Это нужно для того, чтобы алгебраические выражения, содержащие θ, имели смысл. Простое алгебраическое расширение можно построить с самого начала и без ссылок на предварительно заданное большое поле.

Пусть Fq - конечное поле и f(х) Fq[х]. Тогда замена переменной х в многочлене f(х) произвольным элементом поля Fq превращает этот многочлен в корректно определенный элемент поля Fq.

Определение.♦Если f(х)=аmхm +…+ а1х + а0 Fq[х] и b Fq , то заменой х на b получим элемент f(b)=аmbm+…+а1b+а0 Fq,, являюшийся значение многочлена f(х) при х=b. Если в Fq[х] в полиномиальном равенстве заменить х произвольным фиксированным элементом b Fq , то получаем равенство в поле Fq (принцип подстановки). Если f(b)= , то b Fq называется корнем многочлена

f(х) Fq[х].♦

Следующая теорема устанавливает связь между корнями и делимостью многочлена.

Теорема 38. Элемент b Fq является корнем многочлена f Fq[х] тогда и только тогда, когда х-b делит f .

♦Применяя алгоритм деления, можно записать f(х)=g(х)(х-b)+c, где g Fq[х],c Fq. Подставляя элемент b вместо переменной х, по-

94

лучим f(b)=c, откуда получаем равенство f(х)=g(х)(х-b)+f(b), из которого легко следует доказываемая теорема. ♦

Определение. ♦ Пусть b Fq есть корень многочлена f Fq[х].

Кратностью корня b называется такое натуральное число k, что f(х) делится на (х-b)k, но не делится на (х-b)k+1. При k =1 корень на-

зывается простым, а при k >1 кратным. ♦

Теорема 39.♦Пусть f(х) Fq[х] и deg(f)=n ≥ 0. Если b1,…,bm Fq -

♦Отметим, что каждый многочлен (х-bj ) , 1≤j≤m, неприводим

над полем Fq, (х-bj )kj входит в качестве сомножителя в каноническое разложение многочлена f в каноническое разложение

входит и произведение (х-b1)k1…(х-bm)km оно является делителем f.

Сравнивая показатели степеней получаем, что k1+…+km≤n. Неравенства m≤ k1+ …+km ≤n доказывают утверждение теоремы.♦

Определение. ♦ Формальной производной многочлена

f = f (х) = а0 + а1х + а2х2 + …+ аnхn Fq[х]

называется многочлен f′= f′(х) = а1 + 2а2х + …+ nаnхn-1 Fq[х].♦ Теорема 40. ♦ Корень b Fq многочлена f Fq[х] является крат-

ным он есть и корень производной f′ многочлена f.♦

Теорема 41. ♦ Пусть многочлен f К[x] неприводим над конечным полем К. Тогда существует простое алгебраическое расширение поля К, образующим которого является некоторый корень многочлена f.♦

Пример 78.♦ В качестве примера формального процесса присоединения корня рассмотрим простое поле F3 и неприводимый нал эти полем многочлен f (x) = x2 + x + 2 F3[х].

Пусть θ = [x] – некоторый “корень” многочлена f, т.е. класс вычетов x + (f) из факторкольца L = F3[х]/(x2 + x + 2). Другим корнем многочлена 2-й степени f в кольце L является элемент

2θ+2, поскольку f(2θ+2)=(2θ+2)2+(2θ+2)+2=θ2 +θ+2= .

Простое алгебраическое расширение L = F3[θ] состоит из девяти элементов: 0, 1, 2, θ, θ+1, θ+2, 2θ, 2θ+1, 2θ+2. При построении таб-

95

лицы операций сложения и умножения для L (табл. 11 и 12 соответственно) необходимо помнить, что вычисления проводятся в кольце L по двойному модулю – по модулю 3 и модулю многочлена x2 + x +2. Поскольку L – коммутативное кольцо, то достаточно найти лишь те элементы таблиц, которые стоят на главной диагонали и над нею.

В примере 78 можно было бы присоединить к полю F3 корень 2θ+2 того же многочлена f вместо θ.

96

3.2. Кольцо целых чисел

После рассмотрения теоретических вопросов построения колец многочленов перейдем к решению практических задач, связанных с решением модулярных уравнений в кольце целых чисел Z(+,*) и конечных полях Fq.

Определение. ♦ Если числам a,b Z отвечает один и тот же остаток r Z при делении их на данное число m Z, называемое модулем, то числа a и b называются сравнимыми по модулю m, что обозначается как a ≡ b (mod m).♦

Сравнимость чисел a и b по модулю m равносильна следующему:

1.возможность представить a и b в виде a = b+mt, где t Z;

2.делимость a-b на m.

Из определения сравнимости следует, что оно является отношением эквивалентности, т.е. рефлексивно, симметрично и транзитивно. Справедливы следующие утверждения.

1.Сравнения можно почленно складывать.

2.Слагаемые, стоящие в какой-либо части сравнения, можно переносить в другую часть, изменив знак на обратный.

3.К каждой части сравнения можно прибавить любое число, кратное модуля.

4.Сравнения можно почленно перемножать.

5.Обе части сравнения можно возводить в одну и ту же степень.

6.Обе части сравнения можно умножить на одно и то же число.

Теорема 42. Пусть дан многочлен c целыми коэффициентами f(х1, х2, …, хn) = ΣAα1,α2,…,αnх1α1х2α2…хnαn,

где αi – целые натуральные числа, 1≤ i ≤n, Aα1,α2,…,αn Z .

Если заменить Aα1,…,αk,х1,х2,…,хk числами Bα1,…,αk,y1,y2,…,yk соответственно, сравнимыми с прежними по модулю m, то новое значение многочлена будет сравнимо с прежним по модулю m

f(х1, х2, …, хn) ≡ f(y1, y2, …, y n)(mod m).

♦ Из Aα1,…,αk≡BαB 1,…,αk(mod m), х1≡ y1(mod m), …,хk≡ yk(mod m)

находим х1α1≡ y1α1(mod m), х2α2≡ y2α2(mod m), …, хkαk≡ ykαk(mod m), Aα1,α2,…,αkх1α1х2α2…хkαk ≡ Bα1,α2,…,αky1α1y2α2…ykαk (mod m), отку-

да суммируя получаем

97