ПРЕДИСЛОВИЕ

Аппарат дискретной математики является основой решения многих практических задач сбора, хранения, передачи и обработки информации. Вычислительные процедуры в рассматриваемых областях используют операции с элементами различной природы. В то же время, проведение вычислений, по существу, означает занятия алгеброй, т.е. выполнение над элементами некоторого множества «алгебраических операций», наиболее известным примером которых являются «четыре действия» элементарной математики.

Последовательные расширения понятия алгебраической операции и понятия «числа», при которых «форма» вычислений сохранялась одной и той же, но природа математических объектов, над которыми производились вычисления, существенно менялась, позволили постепенно выявить руководящий принцип современной математики: математические объекты сами по себе не столь важны - существенны отношения между объектами.

Алгебра достигла этого уровня абстракции раньше других областей математики и уже давно стало привычным рассматривать ее как науку об алгебраических операциях, независимую от математических объектов, к которым эти операции могут применяться.

Эта идеология полезна всем будущим специалистам в области информатики. Например, в объектно-ориентированном программировании используются такие понятия, как «класс объектов» и «структура», сформированные и используемые в алгебре намного раньше, чем в информатике.

Кроме того, для успешного освоения различных прикладных дисциплин необходимо знание конкретных алгебраических структур. Так, для понимания различных криптографических протоколов, (например, RSA), надо иметь представление о сравнениях и кольце целых чисел. Вопросы помехоустойчивого кодирования требуют изучения таких структур, как группы и кольцо многочленов над конечными полями. В цифровой обработке сигналов и обработке изображений широко используется дискретное преобразование Фурье в конечных полях.

Поэтому изучение различных алгебраических структур является настоятельной необходимостью для будущих специалистов в области информационных технологий.

4

Этим проблемам и посвящено пособие по курсу дискретной математики, ориентированное на студентов специальности «Прикладная математика» кафедры «Информатика и системы управления» НИЯУ МИФИ. Руководящей идеей учебного пособия было не просто ввести сумму необходимых понятий, но также и показать, как эти понятия работают и как они связаны друг с другом.

В курсе «Дискретная математика» предусмотрено выполнение домашнего задания и контрольной работы по разделу «Алгебраические структуры». Для выполнения этих работ вполне достаточно знания основных результатов, сформулированных в виде соответствующих теорем (доказательство которых можно рассматривать как дополнительный материал, ориентированный на интересующихся студентов). Обязательный минимум для студентов при подготовке к выполнению заданий включает параграфы 1.1., 1.2., 2.1., 2.2., 3.1., 4.1., 4.3., 4.5. и упражнения.

Учитывая ограниченные возможности в использовании студентами соответствующей литературы, в пособии предпринята попытка адаптации к целям курса известных существующих учебников и монографий. Среди использованной литературы необходимо особо выделить следующие источники:

1.Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. М.:

Мир, 1976.

2.Верещагин Н.К., Шень А. Начала теории множеств. М.:

МЦНМО, 2002.

3.Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1973.

4.Гроссман И., Магнус В. Группы и графы. М.: Мир, 1971.

5.Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т.2 М.: Мир, 1977.

6.Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Т.1. М.: Мир, 1988. Для компактности записи в тексте широко используются кван-

торы всеобщности х («для всех х») и существования х «существует х», а также операторы импликации «следует» и эквивалентности «тогда и только тогда, когда».

Поскольку значительная часть методов построения и использования алгебраических структур подробно рассматривается на практических занятиях по курсу «Дискретная математика», то некоторые вопросы, например, изображение графов групп, изложены в учебном пособии несколько фрагментарно.

5

1. МНОЖЕСТВА

1.1. Операции, отображения и преобразования

Понятие множества является базовым для всех разделов дискретной математики. В теории множеств основным является понятие принадлежности (отношение некоторого элемента к множеству), позволяющее выделять частные множества и строить новые множества по уже заданным. Обычно используются два подхода.

Табличная форма задания множества предусматривает явное указание всех элементов определяемого множества. Так, например, {0, 1, 2, 3} обозначает совокупность целых чисел от 0 до 3.

Задание признаком определяет множество по свойству, которым обладают все элементы данного множества и только они. Так, свойство быть целым неотрицательным числом, меньшим четырех, определяет множество, заданное выше в табличной форме.

На основе принципа свертывания множества можно определять свойствами. Пусть ϕ(x) – некоторое свойство объекта x (или условие на объект x), тогда существует множество, элементами которого являются в точности все объекты, обладающие данным свойством (или удовлетворяющие ему) ϕ(x). Множество, определяемое свойством ϕ(х), обозначается {x: ϕ(x)}.

Пример 1.♦ Пусть ϕ(x) - условие “x А и x В”. Множество объектов x, принадлежащих А и В, обозначают {x: x А и x В}. ♦

Рассмотрим основные понятия связанные с заданием множеств. Множества состоят из элементов. Запись x М означает, что x принадлежит множеству М (является элементом множества М). Множество называется конечным, если оно содержит конечное число элементов, а в противном случае называется бесконечным.

Множеством является и, так называемое, пустое множество , не содержащее ни одного элемента. Пустое множество можно задать любым противоречивым свойством, например:

= {x: x ≠x}.

Множество А называется подмножеством М x А x М. Отношение между М и любым его подмножеством называется включением и обозначается символом : М А ( или А М).

Любое множество является подмножеством самого себя: М М.

6

Пустое множество считается подмножеством любого множества М ( , { } и { ,{ }} – это три различные множества). Отношение включения транзитивно, т.е. Р А и А М Р М.

Каждое подмножество А множества М, отличное от М и , называется собственным подмножеством, а соответствующее ему включение называется собственным и обозначается или : А М или М А. Отношение собственного включения также транзитивно.

Важно отличать отношения принадлежности: и включения: . Например, пустое множество не имеет элементов: x x , в то время как содержит само себя в качестве подмножества.

Введем некоторые теоретико-множественные операции.

а) Равенство А=В двух множеств А и В. Множества равны, если они содержат одни и те же элементы (т.е. если А В и В А).

б) Пересечение А∩В двух множеств состоит из элементов, принадлежащих обоим множествам: А∩В = {x: x А и x В}. Если А∩В = , то А и В являются непересекающимися множествами.

в) Объединение А В состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В: А В = {x: x А или x В}.

г) Разность А\В состоит из элементов, которые принадлежат А, но не принадлежат В: А\В = {x: x А и x В}.

д) Симметрическая разность А В состоит из элементов, принадлежащих только множеству А или только множеству В:

А В = {x: (x А и x В) или (x В и x А)}.

Обычно для наглядности множества А и В представляются пересекающимися кругами (круги Эйлера или диаграммы Венна), заполненными точками (элементами множеств). Тогда результаты применения введенных теоретико-множественных операций интерпретируются как соответствующиеся области этих кругов.

Отметим следующие тождества:

А В = (А\В) (В\А), В = (В\А) (В∩А), А = (А\В) (В∩А),

= (А\В) ∩ (В\А) (антикоммутативность разности), А В = В А (коммутативность объединения), А∩В = В∩А (коммутативность пересечения), А А = А (идемпотентность объединения), А∩А = А (идемпотентность пересечения).

7

Отношение включения можно выразить через операции ∩ и : А∩В = В А В, А В = А В А.

Для случая трех множеств полезны следующие тождества:

А (В С) = (А В) С (ассоциативность объединения), А∩(В∩С) = (А∩В)∩С (ассоциативность пересечения), А∩(В С)=(А∩В) (А∩С)(пересечение распределяет объединение), А (В∩С)=(А В)∩(А С)(объединение распределяет пересечение), А\(В С)=(А\В)∩(А\С) (разность антираспределяет объединение), А\(В∩С)=(А\В) (А\С) (разность антираспределяет пересечение).

Пример 2.♦Докажем тождество А (В∩С) = (А В)∩(А С). (В∩С) В А (В∩С) А В. (В∩С) С А (В∩С) А С. Отсюда А (В∩С) (А В)∩(А С).

С другой стороны, x (А В)∩(А С) x (А В) и x (А С).

x А x А (В∩С). x А x (А В), x (А С) x В и x С.

Отсюда x В∩С x А (В∩С) (А В)∩(А С) А (В∩С). Обе части доказываемого равенства включают друг друга, т.е.

равны, что и требовалось доказать.♦ Часто бывает полезным введение некоторого «большого» мно-

жества, т.е. такого, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами. Такое множество U называют универсальным множеством или универсумом.

Пример 3.♦В элементарной геометрии в качестве универсума U принято считать множество всех точек плоскости, тогда различные фигуры можно считать подмножествами выбранного универсума. В элементарной арифметике в качестве универсума U принято рассматривать множество Z всех целых рациональных чисел.♦

Если задан универсум U, то вводится операция дополнение. Для множества М, являющегося подмножеством U, его дополнение, обозначаемое как -М, есть множество всех элементов универсума U, не принадлежащих множеству М: -М = {x: x U и x M}.Таким образом, дополнение - частный случай разности: -М = U\M.

Среди тождеств, относящихся к операции дополнения, отметим следующие (правила де Моргана):

- (-М ) = М, (А В) = (-А)∩(-В),

-(А∩В) = (-А) (-В).

8

Пример 4. ♦ Докажем тождество - (А∩В) = (-А) (-В).

x -(А∩В) x U, x (А∩В) x А или x В. x А x -А, x (-А) (-В). x В x -В, x (-А) (-В) (А∩В) (-А) (-В).

Пусть x (-А) (-В), x -А x U, x А x А∩В x - (А∩В). x -В x U, x В x А∩В, x -(А∩В) (-А) (-В) - (А∩В)

Обе части доказываемого равенства включают друг друга, т.е. равны, что и требовалось доказать.♦

Определение.♦ Множество всех подмножеств множества М называется булеаном М и обозначается Β(М): Β(М)={Х: Х M}.♦

Операции ∩, и \ применимы и к элементам Β(М). Особо следует отметить следующее: a М {a} Β(М), a Β(М). Иногда возникает потребность в проведении итерации процесса образования и рассмотрения Β(Β(М)), Β(Β(Β(М))) и т.д.

Определение.♦ Всякое подмножество булеана ΓΒ(М), такое, что каждый элемент a основного множества М принадлежит хотя бы одному элементу Γ, называеися покрытием множества М. Объединение всех элементов Γ (подмножеств М) совпадает с множеством М. Частным случаем покрытий являются разбиения - такие покрытия М, при котором каждый элемент множества М принадлежит точно одному из элементов Г. Элементы некоторого раз-

биения называются классами разбиений.♦

Отметим два частных случая разбиений - тривиальные разбиения: множества М ={а1, а2,…, аn}: множества Г1={M}, состоящее из одного класса и Г2={{а1},{а2},{а3},…,{аn}}, состоящее из всех одноэлементных подмножеств.Пусть Р1 и Р2 – два разбиения множества М. Разбиение Р2 считается тоньше, чем разбиение Р1, или что Р1 грубее, чем разбиение Р2, если всякий класс В Р2 полностью содержится в некотором классе А Р1. Тривиальное разбиение Г1 грубее любого другого разбиения, а разбиение Г2 – самое тонкое из всех разбиений.

Пример 5. ♦ Пусть задано множество М = {a,b,с} и надо построить булеан, покрытия и разбиения множества М. Булеан множества М содержит 23 элементов и имеет вид:

Β(М) = { ,{a},{b},{с},{a,b},{a,с},{b,с},{a,b,с}}.

Примерами покрытий М будут следующие семейства множеств: ({a,b},{a,с}), ({b},{ а,b,с}), ({a},{b},{a,с}), ({a,b},{а,b,с})

9

Примерами разбиений М будут следующие семейства множеств: ({a},{b},{с}), ({a},{b,с}), ({a,b,с}).

Тривиальными разбиениями М являются ({a},{b},{с}) и ({a,b,с}). Разбиение ({a},{b,с}) тоньше, чем разбиение ({a,b,с}), а разбиение ({a},{b},{с}) тоньше всех остальных разбиений множества М.♦

Определение.♦ Отображением множества А в множество В

называется соответствие, по которому каждому элементу x А сопоставляется однозначно определенный элемент y В, называемый образом элемента x, a x, в свою очередь, называется прообразом элемента y. Отображение множества А в множество В обозначается

ϕ: А→В.♦

Образ элемента x А при отображении ϕ будем обозначать ϕ(х). Множество А называется множеством отправления отображения

ϕ, а множество В – множеством прибытия ϕ.

Отображение одного множества в другое можно задавать разными способами: описательно (указывая правило, по которомуx А ставится в соответствие его образ ϕ(х) В), таблицами, гра-

фиками и стрелочными схемами.

Построение таблицы отображения ϕ: А→В любых множеств А и В (как числовых, так и нечисловых) осуществляется путем записиx А в строках таблицы пар вида (a,ϕ(a)). Такая таблица полностью задает отображение лишь тогда, когда множество конечно,

т.е. А={a1, a2,…, an}.

Для построения графика отображения ϕ: А→В любых числовых и нечисловых множеств А и В используется координатная сетка, абсциссами которой являются элементы множества А, а ординатами – элементы В. График отображения ϕ представляет собой множество точек, «координатами» которых являются всевозможные пары вида (a,ϕ(a)), где a A и ϕ(a) В.

Пример 6.♦Пусть А = {г, а, е, л}, В = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и задано отображение ϕ: А→В, которое каждой букве множества А ставит в соответствие ее порядковый номер в слове «алгебра», являющееся своеобразным «ключом» преобразования. Графиком данного отображения являются пары {(г,3), (а,1), (е,4), (л,2)}.♦

С помощью стрелочных схем (графов) отображение ϕ: А→В задается следуюшим образом. Элементы множеств А и В определяются различными точками плоскости (обычно элементы множе-

10

ства А располагаются слева, а множества В справа). Каждую точку, обозначающую элемент a A, соединяют направленной слева направо стрелкой с точкой, обозначающей элемент ϕ(a) В.

Обозначим число элементов конечного множества М через |М|, т.е. |{a,b,c,f}|=4 и |{1,7,10}|=3. Рассмотрим отображения ϕ: А→В, когда множества конечны: |А|=n, и |В|=m. Существует конечное число различных отображений |А→В| (т.е. действущих по-разному хотя бы на один элемент множества А). |ϕ| легко подсчитать на основе использования табличной формы задания отображения ϕ. Каждую из n клеток нижнего ряда таблицы можно заполнить m разными способами независимо от способа заполнения других кле-

ток, т.е. |ϕ|=mn. Рассмотрим некоторые классы отображений. Определение.♦Отображение ϕ:А→В называется отображением

на все множество В или сюръекцией, если b B а A: ϕ(а) = b.♦ Если множества А,В конечны и ϕ: А→В - сюръекция, то нижний ряд ее таблицы включает все элементы В, а на графе отображения в каждую точку-элемент множества В, входит хотя бы одна стрелка. Сюръекция конечного множества А на множество В существует не всегда. Очевидно, что для этого необходимо выполнение неравен-

ства |A|≥|B|.

Пример 7. ♦Пусть А=R, B=R+ - два множества всех действительных и всех положительных действительных чисел. Зададим

отображение ϕ: R→ R+, положив х R+ ϕ(х)=х2. Отображение ϕ будет сюръекцией, так, как. у R+ х R: ϕ(х)=у. Для этого достаточно положить х=√ у.♦

Определение.♦Отображение ϕ: А→В называется отображением в множество или инъекцией, если разные элементы множества А переводятся этим отображением в разные элементы множества В,

т.е. х1,х2 А, х1≠х2 что ϕ(х1) ≠ ϕ(х2). ♦

Если множества А и В конечны и ϕ: А→В – инъекция, то в нижнем ряду ее таблицы каждый элемент множества В встречается лишь один раз, на каждой горизонтальной прямой графика имеется не более одной вершины сетки, а на графе не более одной стрелки входит в каждую точку, обозначающую элемент множества В.

11

Если множества А и В конечны и существует инъекция ϕ: А→В то должно выполняться неравенство |A|≤|B|. Всего существует |ϕ|=m(m-1)…(m-n+1) различных инъективных отображений.

Пример 8. ♦Отображение ϕ: Z→2Z множества целых чисел Z в множество всех четных чисел определим следующим образом:

z Z ϕ(z)=6z. ϕ(z) - инъекция, т.к. z1,z2 А, z1≠z2 6z1≠6z2.♦

Определение.♦Если отображение ϕ: А→В является одновременно инъективным и сюръективным, то оно называется взаимно однозначным отображением множества А на множество В или

биекцией множества А на множество В.♦ Если существует биекция конечного множества А на конечное

множество В, то должны выполняться неравенства A|≥|B| и |A|≤|B|. Следовательно, биекция ϕ: А→В |A|=|B|. Обобщая формулу для числа инъективных отображений на случай |А|=|В|=n, имеем всего n!=n*(n-1)*…2*1 различных биекций ϕ: А→В.

Пример 9. ♦Отображение х Z ϕ: х→2х есть биекция множества целых чисел Z на множество 2Z четных чисел.♦

Теорема 1 (принцип включения и исключения). Пусть даны под-

множества A1,…,An некоторого конечного множества М, тогда

| 1…nAi| = Σ1…n|Ai| - Σ1≤i<j≤n|Ai∩Aj| + Σ1≤i<j<k≤n|Ai∩Aj∩Ak| -…+ + (-1)n-1Σ|A1∩A2∩…∩An|.

♦Используем математическую индукцию по n. Для n=1 теорема справедлива. Пусть для A1,…,An-1 справедливо утверждение

| 1…n-1Ai| = Σ1…n-1|Ai| - Σ1≤i<j≤n-1|Ai∩Aj| + Σ1≤i<j<k≤n-1|Ai∩Aj∩Ak| - - … + (-1)n-2Σ|A1∩A2∩…∩An-1|.

Применяя его к сумме (A1 A2 … An-1)∩An = 1…n-1(Ai∩An), получаем следующее выражение

| 1…n-1(Ai∩An)| = Σ1…n-1|Ai∩An| - Σ1≤i<j≤n-1|Ai∩Aj∩An| + …+ + (-1)n-2Σ|A1∩A2∩…∩An|

и далее имеем

| 1…nAi| = |( 1…n-1Ai)∩An| = | 1…n-1Ai| + |An| - | 1…n-1Ai∩An| = = Σ1…n|Ai| - Σ1≤i<j≤n|Ai∩Aj| +…+ (-1)n-1Σ|A1∩…∩An|.

Теорема доказана.♦

12

Пример 10.♦Пусть даны множества |Х|=n и |Y|=m. Найдем число всех различных сюръективных отображений ϕ: Х→Y. Пусть

Y={у1,у2,..,уm}. Обозначим Ai множество отображений ϕ: Х→Y, для

которых уi ϕ(Х). Тогда, очевидно, что ϕ(Х) Y ϕ 1…mAi. Как известно, число всех отображений ϕ: Х→Y равно mn. Таким

образом, достаточно определить мощность A1 A2 … Am. Для произвольной последовательности 1≤р1<р2<…< рi≤m пересечение Aр1∩Aр2∩…Aрi есть множество всех отображений ϕ: Х→Y, таких,

что ур1,ур2,…,урi ϕ(Х). Мощность этого пересечения составляет (m-i)n, т.е. имеется столько отображений ϕ: Х→Y\{ур1,ур2,…,урi}.

Множество {ур1,ур2,…,урi} можно выбрать С(m,i)=m!*((m-i)!*i!)-1

способами. Следовательно, на основании теоремы 1 имеем

Sm,n = mn - | 1…m-1Ai| = mn - Σ1…m-1(-1)i-1С(m,i)(m-i)n= = Σ0…m-1(-1)iС(m,i)(m-i)n,

т.е. число различных сюръективных отображений ϕ: Х→Y равно

Sm,n = Σ1…n(-1)iС(m,i)(m-i)n. ♦

Определение. ♦Отображение ϕ: М→М множества в себя на-

зывается преобразованием множества М.

Пример 11. ♦Пусть М - множество точек плоскости. Тогда преобразованиями являются каждое из известных геометрических отображений М на себя: симметрия относительно фиксированной точки или прямой, параллельный перенос, гомотетия и поворот вокруг фиксированной точки.♦

Для преобразований произвольного множества можно рассмотреть введенные выше классы отображений - инъекции, сюръекции и биекции, которые для конечных множеств совпадают. Поэтому для конечных множеств рассматривают лишь биекции.

При исследовании отображений ϕ: М→М природа элементов конечного множества М несущественна. Поэтому, обычно оперируют не с самими элементами М, а с их индексами, т.е. используют множество M={1,2,3,…, n}. В этом случае, задавая преобразование таблицами, будем записывать их в следующем виде:

13

1 2 3 … n

a1 a2 a3 …an

Такое обозначение характеризует преобразование однозначно и не вызывает недоразумений. Например, если M = {1, 2, 3, 4, 5}, то

являются таблицами разных преобразований множества М. Например, таблицу а) следует читать так: «преобразование ϕ,

заданное таблицей а), переводит 1в 2, 2 - в 2, 3 - в 4, 4 - в 2, 5 - в 5». Порядок записи элементов верхней строки такой таблицы не существенен. Так преобразование, заданное таблицей в), можно

обозначить также следующими таблицами:

Каждое преобразование конечного множества полностью описывается своей таблицей, поэтому, обычно и само преобразование, и его таблицу обозначают одинаковыми символами. Некоторые преобразования множества имеют специальные названия.

Тождественным называется преобразование ε, при котором все элементы М остаются на месте, т.е. a М: ε(a)=a. Таблица преобразования конечного множества М имеет вид:

ε = 1 2 3 … n-1 n1 2 3 … n-1 n

Постоянное преобразование каждому элементу множества М ставит в соответствие некоторый фиксированный элемент этого множества. Если |М| = n, то таблица постоянного преобразования для этого множества имеет вид:

1 2 3 … n-1 na a a … a a

Подстановкой (перестановкой) называется биективное отображение конечного множества М на себя. Следовательно, ϕ является подстановкой на М a,b М, a≠b ϕ(a)≠ϕ(b). Это означает, что подстановка ϕ может быть определена таблицей вида

1 2 3 … n-1 ni1 i2 i3 … in-1 in

где i1, i2, i3, …,in-1, in – отличные друг от друга элементы из М.

14

Поскольку количество различных перестановок из n натуральных чисел равно n!, то общее количество подстановок из n элементов также равно этому числу.

Инъекции, сюръекции и биекции замкнуты относительно умножения преобразований, т.е. произведение инъекций является инъекцией, для сюръекций – сюръекция и для биекций – биекция.

Пусть преобразования ϕ и ψ являются инъекциями множества

Мв себя и ω = ϕψ. Тогда имеем, что a,b M ϕ(a)≠ϕ(b), ψ(a)≠ψ(b). Подействуем преобразованием ω на элементы a и b и вычислим

произведения преобразований. Тогда имеем ω(a) = ψ(ϕ(a)) = ψ(a1),

ω(b) = ψ(ϕ (b)) = ψ(b1), где a1=ϕ(a), b1=ϕ(b). В свою очередь, по-

скольку ψ - инъекция, то ψ(a1)≠ψ(b1) a,b M и a≠b имеем ω(a)≠ω(b), т.е. ω - инъекция.

Пусть теперь преобразования ϕ и ψ являются сюръекциями. Убедимся, что a M b M: ω(b)=a. Поскольку ψ - сюръекция, тос M: ψ(с)=a. Из сюръективности ϕ следует b M: ϕ(b)=с, т.е. элемент b является искомым и преобразование ω - сюръекция.

ω(b )= ψ(ϕ (b)) = ψ(с) = a.

Отсюда следует, что произведение биективных преобразований – биекция. Для конечных множеств все три класса преобразований совпадают, т.е. произведение двух произвольных подстановок на множестве М снова является подстановкой на множестве М.

Пример 13. ♦Определим количество инверсий на множестве М={1,2,…,n}, т.е. подстановок Рn, для которых выполняется усло-

вие ϕ(i)≠i, i=1…n.

Обозначим через Dn множество всех инверсий на М и через Ai множество отображений вида Ai ={ϕ Рn: ϕ(i)=i, i=1…n}. Перестановка ϕ - инверсия ϕ Ai. Согласно теореме 1 тогда следует, что

ких, что ϕ(рj)= рj, 1≤j≤i и, следовательно, мощность этого пересечения составляет |Aр1∩Aр2∩…Aрi|=(n-i)!.

15

Последовательность 1≤р1<р2<…<рi≤n можно выбрать

С(n,i)=n!*((n-i)!*i!)-1 способами, поэтому в итоге получаем: |Dn | = n!- Σ1…n(-1)iС(n,i)(n-i)! = Σ0…n(-1)iС(n,i)(n-i)! =

=Σ0…n(-1)in!*((n-i)!*i!)-1(n-i)! = Σ0…n(-1)in!*(i!)-1 =

=n!*Σ0…n(-1)i (i!)-1 = n!*(1-1/1!+1/2!+1/3!+…+(-1)n/n!).

Сумма в скобках является отрезком ряда е-1=Σ0…∞(-1)i(i!)-1. Это означает, что инверсии составляют е-1 0.368… от числа всех перестановок.♦

Аналогично операции образования суперпозиции числовых функций можно построить операцию умножения преобразований.

Определение.♦Пусть заданы некоторые преобразования ϕ,ψ

произвольного множества М. Произведением преобразований ϕ и ψ называется преобразование ω: a М: ω(a)=ψ(ϕ(a)). Чтобы найти образ a М под действием ω, нужно найти образ элемента a под действием ϕ: b=ϕ(a) М. Затем надо найти образ элемента b под действием ψ: c=ψ(b) М. Элемент с и есть образ а под действием ω. Произведение преобразований ϕ и ψ обозначается через ϕψ♦

Пример 14. ♦Пусть ϕ: х→ х+2 и ψ: х→х+5, где х R. Тогда, ϕψ=ψϕ-преобразование, которое каждое число х переводит в х+7.♦ Рассмотрим алгоритм вычисления произведения подстановок

Шаг 1. Столбцы втаблице ψ переставляются такимобразом, чтобы верхняястрока таблицысовпадалас нижнейстрокой таблицы ϕ

ψ′ = i1 i2 i3 … in-1 in .

k1 k2 k3 … kn-1 kn

Шаг 2. Строится новая таблица, верхней строкой которой является верхняя строка таблицы ϕ, а нижней – нижняя строка таблицы ψ′. Эта таблица и будет таблицей преобразования ϕψ.

ϕψ = 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 = 1 2 3 4 5 3 4 1 5 2 = 1 2 3 4 5♦3 4 1 5 2 1 5 4 3 2 3 4 1 5 2 4 3 1 2 5 4 3 1 2 5

Для каждой подстановки ϕ существует обратная подстановка ϕ-1, т.е. такая, что ϕϕ-1=ϕ-1ϕ=ε, где ε - тождественная подстановка. Эти подстановки получаются одна из другой перестановкой строк, т.е.

ϕ = 1 2 3 … n-1 n ϕ -1 = i1 i2 i3 … in-1 ini1 i2 i3 … in-1 in , 1 2 3 … n-1 n .

Пример 16.♦Пусть ϕ = 1 2 3 4 5 . Тогда будем иметь

3 4 1 5 2

ϕ-1 = 3 4 1 5 2 = 1 2 3 4 5 ϕϕ-1= 1 2 3 4 5 3 4 1 5 2 = ε.

Множество всех n! перестановок на множестве М={1, 2, …, n}, с определенной на нем операцией умножения перестановок, носит

название симметрической группы и обозначается Sn.

1.2. Бинарные отношения

Введем понятие упорядоченной пары < x,y> на множестве А как пары, имеющей в качестве первого элемента х A и в качестве второго элемент y A. Отметим, что <x,y> = <z,w> тогда и только тогда, когда x=z и y=w.

Определение.♦Произведением(декартовым произведением)

множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар, первый элемент которых принадлежит А, а второй - множеству В. Произведение этих множеств обозначается как А×В:

А×В = {< x,y>: x A и y B}.♦

Введем понятие бинарного отношения, под которым понимают множество, элементами которого являются упорядоченные пары.

Определение.♦Пусть М – множество и А - подмножество из М×М (это множество часто называют квадратом множества М и обозначают как М2 ). Два элемента x, y М считаются связанными бинарным отношением, определяемым А, если <x, y>A.♦

В общем случае для обозначения того, что два элемента x,y из М связаны бинарным отношением, пишут xRy, иногда используется

17

запись x=y, x≡y, x y и т.д. Необходимо отметить, что задание бинарного отношения R для пар элементов из М не означает, что это отношение должно выполняться для любой пары.

Пример 17. ♦Рассмотрим множество натуральных чисел N. Определим бинарное отношение R через подмножество А N 2, где А - множество упорядоченных пар натуральных чисел <p, q>, для которых p+q является четным числом.♦

Равенство является бинарным отношением: если М - некоторое множество и - диагональ множества М2 (множество элементов <x,x>, где x M ), то отношение <x, y> Δ есть не что иное как x=y.

Изучение бинарных отношений в множестве М не отличается от изучения подмножеств М2. Можно говорить о включении бинарного отношения R в другое бинарное отношение, а также о пересечении и объединении бинарных отношений. Дополнением к бинарному отношению R является бинарное отношение -R, такое, что -R = М2 \ R. Следовательно, a (-R) b <a,b>R.

Рассмотрим подробнее операции с бинарными отношениями. Определение.♦Пусть в множестве М заданы произвольные би-

нарные отношения R и S. Произведением бинарных отношений R и S называется бинарное отношение RS, задаваемое следующим об-

разом a(RS)b с М: aRс и сSb (т.е.<a,с>R,<c,b>S).♦

Умножение бинарных отношений ассоциативно (RS)T= R(ST),

так как а, b М: а(RS)Tb, аR(ST)b с, d M: aRc, cSd, dTb. В то же время умножение бинарных отношений не является коммутативной операцией. Бинарные отношения R и S лишь иногда могут быть перестановочными (RS = SR).

Теорема 2. Если в множестве М определены бинарные отноше-

♦Действительно, a[( Ri)S]b равносильно существованию такого элемента с, что a( Ri)с и сSb. Это, в свою очередь, равносильно существованию такого индекса i0, что aRi0с, сSb, т.е. a(Ri0S)b и поэтому a( RiS)b. В равенствах (1) объединения нельзя заменить пересечением. Из (1) следует, что если даны бинарные отношения

R, R*и S, причем R R*, то RS R*S и SR SR*. Включение R R*

равносильно равенству R R*=R* из которого следует равенство

(R R*)S = RS R*S = R*S, равносильное включению RS R*S. ♦

18

Определение.♦Для бинарного отношения R существует единст-

венное обратное отношение R-1: aR-1b bRa. Отсюда следует, что

(R-1)-1 = R и R S R-1 S-1.♦

Теорема 3. Если в произвольном множестве М определены бинарные отношения S,Т,Ri ( i пробегает множество индексов I), то

♦Действительно, а(∩Ri)-1b означает, что bRa, т.е. i I bRia.

Отсюда следует, что i I аRi-1b и поэтому а(∩Ri-1)b.Аналогично

доказывается утверждение (3). Наконец, в равенстве (4) а(ST)-1b

означает, что b(ST)a, т.е. с М: bSc,сTa аT-1с,сS-1b аT-1S-1b.♦

Определение. ♦ Единичным называется отношение Е, вводимое следующим образом: aEb a=b. Пустым называется отношение О, задаваемое как О= М2. ♦

Е определяется множеством всех пар вида <а,а>, а М. Очевидно, что Е-1=Е. Для любого бинарного отношения R справедливо RE = ER = R, О R и RO = OR = O.

Для характеристики бинарных отношений вводятся некоторые специальные свойства, присущие этим отношениям:

Рефлексивность: а М aRa; т.е. E R. Транзитивность: aRb, bRс aRc; т.е. RR R. Симметричность: aRb bRа; т.е. R-1 = R. Антисимметричность: aRb, bRа a=b; т.е. R∩R-1 E.

Теорема 4. Если бинарное отношение R обладает любым из свойств рефлексивности, транзитивности, симметричности или антисимметричности, то R-1 также обладает этим же свойством.

♦ В самом деле,

E R Е = Е-1 R-1 (для рефлексивности).

RR R R-1R-1=(RR) -1 R-1 (для свойства транзитивности). R-1=R (R-1) -1=R=R-1 (для симметричности).

R∩R-1 E R∩(R-1)-1=R-1∩R E (для антисимметричности).♦ Определение.♦Два множества называются равномощными, если

между ними можно установить биективное отображение.♦

19

Для конечных множеств данное определение означает, что они содержат одинаковое количество элементов, но определение имеет смысл и для бесконечных множеств.

Пример 18. ♦ Биективное отображение ϕ: x→5x показывает равномощность отрезков [0, 1] и [0, 5].♦

Любые два интервала на прямой и любые два круга на плоскости соответственно равномощны. Более сложной задачей является доказательство равномощности интервала (0,1) и луча (0,+∞).Отображение x→1/x является биекцией между (0,1) и (1,+∞), а x→(x-1) является биекцией между (0,+∞) и (1,+∞). Их композиция x→ [(1/x)–1] и является искомой биекцией между (0,1) и (0,+∞).

Равномощность есть бинарное отношение эквивалентности,

обладающее свойствами рефлексивности, транзитивности и симметричности. Для записи отношений эквивалентности чаще всего используются символы ≈ и ≡. Эквивалентность x,y М по отношению R записывается как xRy или x ≡ y (R), или x ≡ y (mod R). Последняя запись читается как “x равно y по модулю R”.

Отношение эквивалентности, заданное на множестве М, порож-

дает разбиение М на непересекающиеся классы эквивалентности. Определение.♦Классом эквивалентности в множестве М по отношению эквивалентности R называется множество всех х М, эквивалентных некоторому заданному элементу а М. Обозначим этот класс эквивалентности через [a] и будем говорить, что a есть представитель класса [a]. Класс эквивалентности является подмножеством М: [a] М, в то время как отношение эквивалентности R

задается подмножеством М2: R М2.♦

Пример 19. ♦ Множество целых чисел Z по отношению четности разбивается на два класса эквивалентности - четных чисел и нечетных чисел.♦

Теорема 5. Два класса эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают.

♦ Пусть х М, а [х] – класс, определяемый х по отношению R, и пусть y [x]. z≡y z≡x, так как y≡x (свойство транзитивности). Обратно, z≡x z≡y. Поэтому, если класс эквивалентности задан, то для его определения может быть взят любой его элемент.

Аналогично, пусть [x], [y] - классы эквивалентности множества М по R. Покажем, что если z М: z [x] и z [у] [х]=[у], т.е. клас-

20

сы [х] и [у] состоят из одних и тех же элементов множества М. Действительно, если z [x], z [у], то z≡x и z≡y. Тогда, если t [x], то t ≡ x ≡ y ≡ z t [у] и классы [x] и [y] совпадают.♦

Если в множестве М заданы отношения эквивалентности Ri, i I, то их пересечение будет эквивалентностью, но их объединение, в смысле объединения бинарных отношений, эквивалентностью уже не будет. Произведение RS двух эквивалентностей R и S является эквивалентностью, когда R и S перестановочны, т.е. RS = SR. Если это имеет место, то объединение отношений эквивалентности R и S совпадает с их произведением как бинарных отношений.

Переход от разбиения π множества М к определяемому им отношению эквивалентности, а затем к определяемому последним разбиению множества М снова дает рабиение π. Следовательно, между отношениями эквивалентности в множестве М и разбиениями множества М на непересекающиеся классы существует взаимно однозначное соответствие.

Определение.♦ Фактормножеством М/R множества М по от-

ношению эквивалентности R называется множество классов разбиения, соответствующего отношению R в множестве М.

Отображение ϕ:М→М/R (a→[a]) называется естественным отображением множества М на фактормножество М/R.♦

Пример 20. ♦ В геометрии примером эквивалентности является понятие параллельности, определенной на множестве прямых плоскости. Две прямые плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек, либо совпадают. Классы этой эквивалентности представляют собой то, что в планиметрии обычно называется “пучком параллельных прямых”, а множество всех этих пучков, т.е. фактормножество множества прямых по отношению параллельности, называется множеством направлений плоскости.

♦

Конечные эквивалентные множества равночисленны. Обобщением равночисленности на случай бесконечных множеств является понятие равномощности. Мощность бесконечного множества М является понятием, связанным с любым бесконечным множеством М′, эквивалентным М. Всем множествам, эквивалентным одному и тому же множеству М, отнесят один и тот же символ μ, рассматри-

21

ваемый как обозначение мощности множества М. Если два бесконечных множества М и М′ не эквивалентны, то их мощности μ и μ′ различны, т.е. μ ≠ μ′.

Подобно натуральным числам мощности бесконечных множеств можно сравнивать. Если множества М (мощности μ) и множество М′ (мощности μ′) не эквивалентны и множество М эквивалентно

некоторой части множества М′, то μ меньше μ′: μ<μ′, а μ′ больше

μ: μ′>μ.

Бесконечные множества имеют различные мощности. Среди различных мощностей бесконечных множеств имеется наименьшая мощность 0, которой обладает множество натуральных чисел N. Этой мощностью обладают все множества, равномощные N, и называемые счетными множествами. Счетные множества, представимы в виде {x1, x2, x3, …}, где xi – элемент множества, соответствующий числу i. Соответствие Х→N является биекцией, поэтому все xi различны. Так например, множество целых чисел Z счетно, так как все целые числа можно расположить в виде последователь-

ности: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3….

Рассмотрим подробнее некоторые утверждения о свойствах бесконечных множеств.

Теорема 6.

1.подмножество счетного множества конечно или счетно;

2.произвольное бесконечное множество содержит конечное подмножество;

3.объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.

♦1. Рассмотрим некоторое подмножество В счетного множест-

ва А={а0,а1,а2,…}. Удалим из последовательности а0,а1, … члены, не содержащиеся в В, сохранив порядок оставшихся. Оставшиеся члены последовательности тогда либо образуют конечную последовательность и подмножество В конечно, либо образуют бесконечную последовательность и тогда В счетно.

2.Пусть А бесконечно, тогда оно не пусто и содержит некоторый

элемент b0. Поскольку множество А бесконечно, оно не исчерпывается элементом b0. Возьмем из него какой-нибудь другой элемент b1. Продолжая этот процесс, получим последовательность b0, b1, … Построение не прервется ни на каком шаге, поскольку А бесконеч-

22

но. Построенное множество В={b0, b1, b2,…} и будет искомым счетным подмножеством А..

3. Пусть имеется счетное число счетных множеств А1,А2,…. Расположив в последовательность слева направо элементы каждого из

множеств Аi={а0, а1, а2, …} и поместив эти последовательности друг под другом получим набор строк

…

Строки можно представить в виде одной последовательности, проходя элементы строк по очереди, например, по диагоналям набора:

а00, а01, а10, а20, а11, а02, а03, а12, а21, а30, … Если Аi не пересекались,

то получим искомое представление объединения этих множеств. Если же Аi пересекались, то из построенной последовательности

надо убрать повторения. Если множеств Аi конечное число или ка- кие-то из них конечны, то в построенном наборе строк части членов не будет и останется либо конечное, либо счетное множество.♦ Пример 21. ♦ Множество всех текстов, использующих конечный алфавит счетно. Текстом можно считать любую конечную последовательность букв, пробелов, знаков препинания и т.п. То же самое можно сказать о множестве всех компьютерных программ.♦ Теорема 7. Если А есть бесконечное множество, а множество В

конечно или счетно, то объединение А В равномощно А.

♦ Можно считать, что А и В не пересекается (пересечение А∩В можно исключить из В, но В останется по-прежнему конечным или счетным). Выделим в А счетное подмножество Р и обозначим разность А\Р через Q. Тогда надо доказать, что множество В+Р+Q равномощно множеству Р+Q (знак + символизирует объединение непересекающихся множеств). Поскольку В+Р и Р оба счетны, между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, которое легко продолжить до соответствия между В+Р+Q и Р+Q (каждый элемент множества Q соответствует сам себе).♦

Пример 22. ♦ Отрезок [0,1] и полуинтервал [0,1) равномощны. Полуплоскость (точки плоскости, лежащие по одну сторону от не-

23

которой прямой) равномощна плоскости. Это верно независимо от того, включаем ли мы граничную прямую в полуплоскость или нет♦

Теорема 8. Отрезок [0,1] равномощен множеству всех бесконечных последовательностей из нулей и единиц.

♦ Каждое число х [0,1] можно записать в виде бесконечной двоичной дроби. Первый знак дроби равен 0 или 1 в зависимости от того, принадлежит ли число х левой или правой половине отрезка [0,1]. Для выбора следующего знака, надо выбранную половину снова поделить пополам и определить, куда попадет х и т.д. Это же соответствие можно описать и в другую сторону. Последовательности х0, х1, х2, … соответствует число, являющееся суммой ряда х0*20+х1*2-1+х2*2-2+…+хi*2-i+… Описанное соответствие не является взаимно однозначным: рациональные числа вида m*2-n имеют два представления. Например, число 5/8 можно записать как в виде 0,101000…, так и в виде 0,1001111… Соответствие становится взаимно однозначным, если отбросить дроби с единицей в периоде (кроме дроби 0,11111…, которую надо оставить). Поскольку таких дробей счетное число, на мощность множества это не повлияет.♦

В доказательстве теоремы 8 можно было бы вместо двоичных дробей использовать и привычные десятичные дроби. В этом случае получилось бы, что отрезок [0, 1] равномощен множеству всех бесконечных последовательностей из цифр {0, 1, …, 9}.

Теорема 9. Квадрат (с внутренностью) равномощен отрезку. ♦Согласно декартову методу квадрат равномощен множеству [0,1]×[0,1] пар действительных чисел, каждое из которых принадлежит отрезку [0, 1]. В теореме 8 показано, что вместо чисел отрезка [0, 1] можно говорить о последовательности нулей и единиц. Построим отбражение точек квадрата (х, у) [0,1]×[0,1] на точки отрезка t [0,1] с помощью преобразования Д.Кенига. Точке квадрата (х, у)= (0. х0х1х2…, 0. у0у1у2…), записываемой в виде пары последовательностей нулей и единиц, ставится в соответствие точка отрезка t=0. х0у0х1у1х2у2…, также записываемая в виде двоичной последовательности. Построенное отображение будет биекцией .♦ Пример 23. ♦ Из теоремы 9 следует много утверждений о равномощности геометрических объектов: отрезок равномощен n-

24

мерному кубу, круг равномощен окружности, прямая равномощна плоскости, отрезок равномощен n-мерному кубу и т.д.♦

Определение равномощности множеств может быть проведено на основе следующего конструктивного подхода.

Теорема 10. (Ф.Бернштейн). Два множества А и В равномощны, если каждое из них равномощно некоторому подмножеству другого.

♦Пусть А≈(равномощно)В1 В и В≈А1 А, Подмножества А1 и В1 являются подмножествами А и В соответственно и притом собственные, т.к. иначе нечего было бы доказывать. Биективное отображение В на А1, очевидно, отображает В1 на собственное под-

множество А2 А1, так что А А1 А2 и А≈В1≈А2.

Таким образом, надо доказать следующее предложение:

А А1 А2, А≈А2, А≈А1, т.е множество, промежуточное между двумя равномощными множествами, само им равномощно.

Пусть при биективном отображении А→А2, подмножество А1 отображается на А3, А2 - на А4, А3 - на А5 и т.д. Очевидно, что при

этом А А1 А2 А3 А4 А5 …

Пусть D = А∩А1∩А2∩А3∩… есть пересечение всех Аn, тогда

А = D (А\ А1) ( А1\ А2) ( А2\ А3) …

А1= D ( А1\ А2) ( А2\А3) …

Действительно, чтобы доказать, например, первую формулу, надо только заметить, что элемент а А или принадлежит всем подмножествам Аn (и тогда D), или существует первое по порядку Аn, та-

кое что а Аn. Тогда а Аn-1 и а А\Аn (считаем, что А0=А).

Далее, т.к. А\А1≈А2\А3≈А4\А5≈ …, то получаем эквивалентность

(А\ А1) (А2\ А3) …≈ (А2\ А3) (А4\ А5) …

Если каждому элементу D поставить в соответствие его самого, то получится биективное отображение А→ А1, т.е. А≈ А1≈В, что и требовалось доказать.♦

Метод, изложенный в теореме 10, сильно облегчает доказательство утверждений, подобных следующим: все геометрические фигуры, содержащие хотя бы кусочек прямой или кривой, равномощны; бублик и шар в пространстве равномощны (достаточно заметить, что из бублика можно вырезать маленький шар, подобный большому, а из шара – маленький бублик).

25

До сих пор не рассматривались примеры неравномощных бесконечных множеств. Пример подобной ситуации дает “диагональная конструкция Кантора”

Теорема 11 (Г. Кантор). Множество действительных чисел не является счетным множеством.

♦ Множество R действительных чисел равномощно множеству всех последовательностей 0 и 1 (двоичной записи действительных чисел). Поэтому можно доказательство теоремы заменить доказательством несчетности множества бесконечных последовательностей 0 и 1. Предположим обратное, т.е. будем считать, что все последовательности 0 и 1 можно пронумеровать α0,α1,…. Составим бесконечную таблицу, строками которой и будут эти последовательности:

α0 = α00α01α02α03 … α1 = α10α11α12α13 … α2 = α20α21α22α23 …

α3 = α30α31α32α33 …

…

где через αij обозначен j-й член i-й последовательности. Рассмотрим последовательность, образованную стоящими на

диагонали членами α00,α11, α22, …, i-й член которой αii совпадает с i-м членом αi. Заменив все члены выбранной последовательности на противоположные, получим последовательность β, члены которой строятся по правилу: βi=1-αii. последовательность β отлична от любой из последовательностей αi (в позиции i) и поэтому отсутствует в основной таблице. Это противоречит первоначальному предположению о том, что таблица включает в себя все последовательности (действительные числа).♦

Мощность несчетного множества действительных чисел обозначается с и называется мощностью континуума . Множество последовательностей 0 и 1 равномощно множеству подмножеств ряда натуральных чисел. Каждому такому подмножеству соответствет свой «код», в котором единицы стоят на позициях из этого подмножества. Поэтому можно следующим образом переформулировать теорему Кантора:

Теорема 12. Множество натуральных чисел не равномощно множеству своих подмножеств.

26

♦ Пусть эти множества равномощны; тогда существует биекция

i→Ai между натуральными числами и подмножествами натурального ряда. Диагональная последовательность представляет собой

множество тех i для которых i Ai, а последовательность β, отсутствовавшая в перечислении (теорема 11), теперь будет дополнени-

ем Ai (В={i: i Ai}).♦

При этом оказывается несущественным, что мы имеем дело с натуральным рядом, и мы приходим к такому утверждению:

Теорема 13 (общая формулировка теоремы Кантора). Никакое множество Х не равномощно множеству всех своих подмножеств.

♦ Пусть ϕ - биекция между Х и его булеаном Β(Х). Рассмотрим элементы х Х, которые не принадлежат соответствующему им подмножеству. Пусть Z – образованное ими подмножество: Z={х Х: х ϕ(х)}.

Покажем, что подмножество Z не соответствует никакому элементу множества Х. Допустим противное, и что для некоторого элемента z Х Z=ϕ(z). Тогда z Z z ϕ(z) z Z. Первое утверждение справедливо по построению множества Z, второе – по предположению ϕ(z) = Z. Полученное противоречие показывает, что Z действительно ничему не соответствует и поэтому ϕ не является биекцией.♦

Любое множество Х равномощно некоторой части своего булеана Β(Х), так как каждому элементу x Х можно поставить в соответствие одноэлементное множество {x}. Тогда по определению сравнения множеств по мощности следует, что мощность множества Х всегда меньше мощности Β(Х).

Определение. ♦Бинарное отношение ≤ на множестве Х называется отношением частичного порядка, если оно обладает свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности (мы используем символ ≤ как знак отношения частичного порядка). Множество с заданным отношением ≤ называется частично упо-

рядоченным множеством. ♦

Два элемента x,y частично упорядоченного множества сравнимы, если x≤y или y≤x. Определение частичного порядка не требует,

27

чтобы любые два элемента множества были сравнимы. Добавив это требование, получим определение линейного порядка (линейно упорядоченного множества). Отметим, что на множестве из n элементов можно определить n! линейных порядков.

Пример 24.

♦На множестве целых положительных чисел Z+ можно определить частичный порядок, считая, что x≤y, если x делит y.

На булеане любого множества можно ввести частичный порядок по отношению включения подмножеств.

На алфавите можно ввести линейный порядок для букв

(a≤б≤…≤я) и линейный лексикографический порядок для слов: x≤y,

если слово х является началом слова y: например, “лес” ≤ “лесник”. Если ни одно из слов не является началом другого, то находится первая по порядку буква, в которой слова отличаются, и слово, где эта буква “меньше” в алфавитном порядке, и будет “меньше”.

Для множества Х картонных коробок введем порядок, считая x≤y, если коробка x целиком помещается внутри коробки y (или если x и y – одна и та же коробка). В зависимости от набора коробок этот порядок может быть или не быть линейным.♦

Пусть x, y – элементы частично упорядоченного множества Х. Считается, что x<y, если x≤y и x≠y. Отношение < называется от-

ношением строгого порядка, а отношение ≤ - отношением нестрогого порядка.

Элемент частично упорядоченного множества называется наибольшим, если он больше любого другого элемента множества, и максимальным, если не существует большего элемента. Если множество не является линейно упорядоченным, то это не одно и то же, поскольку наибольший элемент автоматически является максимальным, но не наоборот. (Одно дело коробка, в которую помещается любая из коробок, другое дело в случае, когда имеется никуда не помещающаяся коробка).

Наибольший элемент в частично упорядоченном множестве может быть только один, в то время как максимальных элементов может быть много.

Любые два максимальных элемента не сравнимы. В любом ко-

нечном частично упорядоченном множестве Х для х Х максимальный элемент y Х: y≥х.

28

Определение.♦Два частично упорядоченных равномощных множества называются изоморфными, если между ними существует биекция, сохраняющая порядок. Биекцию f: A→B называют изоморфизмом частично упорядоченных множеств А и В, если

a1,a2 А a1≤ a2 f(a1)≤ f(a2). Знак ≤ обозначает слева порядок в множестве А, справа – в множестве В.♦

Отношение изоморфности обладает рефлексивностью, симметричностью и транзитивностью, т.е является отношением эквивалентности. Все частично упорядоченные множества, разбиваются на классы эквивалентности изоморфных множеств.

Теорема 14. Конечные линейно упорядоченные множества из одинакового количества элементов изоморфны.

♦ Конечное линейно упорядоченное множество М всегда имеет наименьший элемент. Можно взять любой элемент и если он не наименьший, то взять меньший его. Если и он не наименьший, то взять еще меньший – и т.д.

В итоге получается убывающая последовательность x>y>z>…, которая рано или поздно должна оборваться. Присвоив наименьшему элементу номер 1, выберем среди оставшихся элементов наименьший и присвоим ему номер 2 и т.д. Тип порядка между элементами соответствует типу порядка между номерами, т.е. что множество М изоморфно множеству {1, 2, …, n}.♦

Пример 25. ♦ Множество всех целых положительных делителей числа 30 с отношением “быть делителем” в качестве отношения порядка изоморфно множеству всех подмножеств множества {a,b,c}, упорядоченному по отношению включения подмножеств.♦ Определение.♦Биективное отображение частично упорядоченного множества А в себя, являющееся изоморфизмом, называют автоморфизмом А. Тождественное отображение всегда является

автоморфизмом.♦ Пример 26. ♦Для частично упорядоченного множества целых

чисел Z (с естественным порядком) отображение ϕ: x→x+1 является автоморфизмом. Для множества натуральных чисел N та же формула не дает автоморфизма (нет взаимной однозначности).♦

Линейно упорядоченные множества могут быть равномощны,

но не изоморфны (в силу теоремы 14 эти множества должны быть бесконечными).

29