7. Двойственная задача лп.

Рассмотрим две следующие задачи:

Задача 1

при ограничениях:

();

().

Задача 2

при ограничениях:

();

().

Эти задачи образуют так называемую двойственную пару задач ЛП. Первая задача называется исходной, а вторая – двойственной.

В этих задачах используются одни и те же константы, однако исходная задача является задачей максимизации, а двойственная – задачей минимизации. Число переменных двойственной задачи равно числу ограничений исходной и наоборот; знаки неравенств в ограничениях являются обратными; коэффициенты целевой функции одной задачи являются свободными членами ограничений другой.

Пример записи двойственной задачи:

Исходная задача

при ограничениях

Двойственная задача

при ограничениях

Между решениями исходной и двойственной задач существует точная связь, которую можно представить следующими свойствами:

1) Любое допустимое решение исходной задачи определяетоценку снизу для оптимального значения целевой функции двойственной задачи;

2) Любое допустимое решение двойственной задачи даетоценку сверху для целевой функции исходной задачи;

3) Для оптимальных решений прямой и двойственной задач значения целевых функций совпадают.

Если и- допустимые решения прямой и двойственной задач соответственно, то первые два свойства означают, что всегда выполняется неравенство

Для оптимальных решений исправедливо выражение

Чтобы доказать эти положения: 1) умножим каждоеi– е ограничение прямой задачи на, наоборот, каждоеj– е ограничение двойственной задачи на.

Так как () и(), то знаки не изменяются:

();

();

Суммируем все соотношения в каждой группе:

или.

Для доказательства полученного положения отметим, что неравенство выполняется также и для оптимального решения двойственной задачи, т. е.

При этом, как следует из постановки прямой задачи справедливо неравенство

Отсюда получаем, что .

Аналогичные рассуждения можно привести и для оптимального решения исходной задачи , для которого

Одновременно имеем, что . Отсюда также получаем, что.

8. Табличная форма двойственной пары задач лп.

Для одновременного представления прямой и двойственной задач также используется табличная формазаписи.

Введем слабые переменные в обе задачи двойственной пары:

();

()

()

при ограничениях:

();

()

()

Выберем в каждой задаче слабые переменные в качестве базисных, получим табличную форму для каждой из задач, а также совмещенную таблицу.

-1 …

0	-	-	…	-
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

=-F

=

=

=

Для исходной задачи каждому уравнению соответствует строка таблицы (подобно табличному симплекс – методу). Чтобы получить исходную формулировку каждый коэффициент в строке умножают на соответствующую переменную над таблицей. Затем полученные произведения складываются, и результат будет равен переменной справа от таблицы.

Двойственная задача определяется столбцами данной таблицы и формируется следующим образом:

0	-	-	…	-
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

1

==… =

Таким образом, прямая и двойственная задачи могут быть описаны единой таблицей, в которой установлено следующее соответствие переменных:

-1 …

0	-	-	…	-
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

1

==… =

() и()

Таблица такого вида называется сокращенной симплекс – таблицей,т. к. в ней отсутствуют столбцы (строки), соответствующие базисным переменным.

Рассмотрим особенности такой симплекс – таблицы.

1) Любое преобразование таблицы, соответствующее смене базиса исходной задачи, дает новую таблицу, которая описывает какисходную, так идвойственную задачи.

2) Элементы первой строки, соответствующие коэффициентам при свободных переменных в выражении для целевой функции исходной задачи, всегда совпадают со значениямибазисных переменных двойственной задачи.

3) Элементы первого столбца, соответствующие базисным переменным (свободным членам) исходной задачи, всегда совпадают с коэффициентами при свободных переменных в выражении для целевой функциидвойственной задачи.

4) Если элементы первой строки и первого столбца неотрицательны (возможно, кроме элемента на их пересечении), то достигнуто оптимальное решение как исходной, так и двойственной задач.

Рассмотрим полученное утверждение.

Для исходной задачинеотрицательные элементы первого столбца говорят о том, что базисное решение является допустимым. Если при этом положительны коэффициенты первой строки, то достигнут- см описание симплекс – метода.

Для двойственной задачи неотрицательные элементы первой строки говорят о том, что базисное решение является допустимым. Положительные элементы первого столбца означают получение. Минимизацияобусловлена процедурой заполнения таблицы. Первая строка соответствует, а первый столбец соответствует -.

Отсюда .