5. Способы вычисления весовых коэффициентов, учитывающих важность частных критериев.

В многокритериальных задачах возникает необходимость объективной оценки важности частных критериев, включаемых в аддитивный, мультипликативный или минимаксный критерий оптимальности.

Наибольшее распространение для этого получили методы экспертных оценок. Рассмотрим основные из них - ранжирования и метод приписывания балов.

1. Метод ранжирования.

Экспертиза проводится группой из lэкспертов. Каждого эксперта просят расставить частные критериив порядке их важности: первый - наиболее важный критерий, второй - следующий по важности и т. д.

Затем критериям присваиваются ранги: - для наиболее важного критерия,

- для следующего,

………….

- для наименее важного,

где I- номер критерия,k- номер эксперта.

Отсюда весовые коэффициенты:

2. Метод приписывания баллов.

Эксперты оценивают важность частного критерия по шкале 0-10. разрешается оценивать дробными величинами или приписывать одну величину нескольким критериям.

Пусть - баллi- ого критерия уk- ого эксперта. Отсюда вычисляется величина, показывающая относительную важность этого критерия уk- ого эксперта (вес критерия).

Затем определяем весовые коэффициенты:

Линейное программирование.

1. Математическая постановка задачи лп.

При постановке задач ЛП возможны различные случаи: 1) целевая функция должна быть максимизирована или минимизирована; 2) ограничения на переменные могут быть заданы равенствами (уравнениями) или неравенствами; 3) требование неотрицательности распространяется на все или не на все переменные.

Одна и та же задача ЛП может быть записана в различных формах, которые являются эквивалентными. В частности, задача минимизации ,совпадает с задачей максимизации функции,.

В зависимости от вида системы ограничений различают три основные формы задачи ЛП:общая; стандартная; каноническая.

Общей задачей ЛП называется задача, в которой имеются ограничения в виде уравнений и неравенств, причем требование неотрицательности может быть наложено не на все переменные. Математически это записывается следующим образом:

или

при ограничениях

();

();k<m, гдеm- число ограничений.

(),

где ,,,,- заданные постоянные величины.

Стандартной задачей ЛП называется задача максимизации значения функциипри ограничениях, заданных неравенствами, и неотрицательности всех переменных:

при ограничениях вида

();

().

Для канонической задачи ЛП требуется максимизировать значение функции, причем все переменные неотрицательны, а ограничения заданы уравнениями:

при ограничениях

();

().

Замечание: В канонической задаче ЛП число переменныхвсегда больше числа уравнений (n > m).

Пояснения: еслиn=m, то получаем обычную систему линейных уравнений, которая имеет единственное решение в том случае, когда все уравнения линейно независимы, т. е. определитель системы не равен нулю. Еслиn<m, то часть уравнений линейно зависимы и их можно отбросить, либо противоречивы, и тогда система не имеет допустимых решений.

Рассмотрим способы преобразования задач из одной формы в другую.

1) эквивалентно

2) Ограничения в виде неравенств можно представить в виде уравнений. Для этого вводятся дополнительные неотрицательные переменные (), называемыеслабыми переменными. Возможные преобразования:

() заменяется на

или

() заменяется на

3) Если одно или несколько ограничений в исходной постановке задачи представлены в виде уравнений, то можно перейти к эквивалентной постановке задачи с ограничениями в виде неравенств.

Для этого каждое уравнение вида

заменяется двумя неравенствами:

;.

Если имеется mнеравенств(), то их можно заменить на (m+ 1) неравенств вида:

()

4) Если на переменную не наложено требование неотрицательности, то ее можно заменить двумя переменнымии, для которых;;.

В общем случае pтаких переменных() можно заменить на р + 1 неотрицательных переменных,(), для которых:, тогда();

();.

Пример: ограничения вида

()

можно заменить на ограничения:

();

();

.

Таким образом, задача ЛП всегда может быть приведена к каноническому виду, для которого разработаны алгоритмы решения.