Гаврилов Оборудование для работы с ускоренными пучками 2010
.pdfквадрупольной линзе. Поэтому квадрупольные линзы относятся к классу линз с сильной фокусировкой, а соленоиды – со слабой. В элементах с продольным полем основная часть его не оказывает прямого фокусирующего воздействия.
3.3. Принцип действия магнитной квадрупольной линзы. Поля и градиенты
Остановимся на принципе действия квадрупольной линзы. Одна линза может собрать пучок в какой-то одной плоскости и рассеять в перпендикулярном этой плоскости направлении. Действительно, если траектория частицы проходит через точку 1 (см. рис. 3.1) параллельно оси z, то за счет возникновения силы Лоренца на частицу будет действовать сила, стремящаяся приблизить траекторию к оси системы. В точке 2 направление поля, а следовательно, и силы Лоренца изменится на обратное, поэтому в плоскости x0z действие квадрупольной линзы будет фокусирующим. Нетрудно показать, что в направлении оси y действие линзы будет рассеивающим. В связи с этим плоскости x0z и y0z называются соответственно собирающей и рассеивающей. Аналогично можно рассмотреть траекторию частицы, проходящую в других плоскостях. Таким образом, входящий в магнитную квадрупольную линзу пучок с круглым поперечным сечением будет деформироваться, превращаясь во все более вытягивающийся эллипс.
При сравнении квадрупольных и осесимметричных линз видно, что в то время как последние воздействуют на пучок заряженных частиц равномерно со всех сторон по азимуту и могут создать симметричное изображение точки или круга, квадрупольные линзы создают линейное изображение круглого пучка. Чтобы собрать пучок в двух взаимно перпендикулярных направлениях, применяют не одну, а несколько линз, например, две, три и т.д. При этом рассеивающие и собирающие плоскости соседних линз, как правило, сдвинуты на 90 .
Относительное размещение квадруполей со сдвигом плоскостей на 90 не является единственным. Оси линз можно разместить
61
относительно друг друга и под отличными от 90° углами. Этот вопрос будет рассмотрен позже.
Квадрупольную линзу называют квадруполем, систему из двух линз – дублетом, из трех – триплетом и т.д. Нетрудно сделать вывод, что при определенных условиях, накладываемых на расстояние между квадруполями, при заданной апертуре дублет в целом образует собирающую систему. Этот вывод справедлив и для систем, состоящих из большого, чем дублет, числа квадруполей.
При выводе уравнений движения заряженных частиц в квадруполях и системах из них необходимо знать выражение для потенциала магнитного поля. В пренебрежении полями рассеяния для системы полюсов в виде бесконечно длинных гипербол магнитный потенциал в приосевой области (линейное приближение) равен:
V = Gxy , |
(3.2) |
где G – градиент поля является постоянной величиной. При x = y = = 0, V = 0.
Составляющие магнитного поля равны |
|
|||||||
B = |
∂V |
= Gy , |
(3.3) |
|||||
|
x |
|
|
∂x |
|
|
||
B |
y |
= |
∂V |
= Gx . |
(3.4) |
|||
|
|
|
∂y |
|
|
|||
Из (3.3) и (3.4) находим, что |
|
|
|
|
|
|||
|
|
∂Bx |
= G , |
(3.5) |
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
∂y |
|
|
|||
|
|
|
∂By |
|
= G . |
(3.6) |
||
|
|
|
∂x |
|||||
|
|
|
|
|
||||
Для такой модели составляющие градиента равны, постоянны |
||||||||
и положительны по всей апертуре, так как |Bx| |
растет вдоль оси y, а |
|||||||
|By| – вдоль оси x. Это видно из рис. 3.1 и справедливо для параксиальной области. Магнитная индукция Ву линейно возрастает с расстоянием от оси.
Действительно, в цилиндрической системе координат имеем
B = G x2 |
+ y2 |
= Gr . |
(3.7) |
r |
|
|
|
62
На вершине полюсов Br = Gr0 , где r0 – радиус вписанного в апертуру круга. Гиперболы полюсов имеют следующие уравнения
xy = ± |
r0′ |
. |
(3.8) |
|
|||
2 |
|
|
|
В(3.8) знак плюс относится к первому и третьему квадрантам,
аминус – ко второму и четвертому.
Еще раз необходимо подчеркнуть, что все приведенные выражения справедливы для идеальной квадрупольной линзы, т.е. такой линзы, у которой полюса асимптотически устремляются в бесконечность, а поля резко обрываются на торцах. В действительности полюса приходится обрезать, чтобы разместить обмотки. Это приводит к тому, что градиент G не будет постоянен. Кроме того, на торцах реальной линзы поле спадает постепенно (производные
∂∂Bzy и ∂∂Bzx
альном случае. Одновременно с этими производными на торцах имеет место компонента Bz. Благодаря наличию этой компоненты возникает связь между вертикальным и горизонтальным движениями. Однако в линейном приближении связью между этими движениями можно пренебречь. Для учета реальной границы поля на торцах магнитной квадрупольной линзы введем понятие эффективной длины.
3.4. Эффективная длина магнитной квадрупольной линзы
Определение эффективной длины магнитной квадрупольной линзы удобно провести с помощью рис. 3.2, на котором показаны эффективная Lэф и геометрическая длина L0 линзы, реальное и идеализированное поля. Эффективная длина магнитной квадрупольной линзы равна
Lэф = |
1 |
+∞∫G(z)dz . |
(3.9) |
G |
|||
0 |
−∞ |
|
|
63
Рис. 3.2. Реальное (р) и идеальное (и) поля (градиенты) квадрупольной линзы
Интеграл выражения (3.9) равен площади, заключенной между осью z и кривой реального распределения градиента линзы, G0 – максимальный градиент в центре (по длине) линзы. Из рис. 3.2 видно, что градиент начинает спадать еще внутри линзы. Поле простирается на некоторое расстояние, пока практически не обратится в нуль. Таким образом, введение эффективной длины позволяет заменить картину реального поля фиктивным прямоугольным полем с градиентом G0, простирающемся на длине Lэф.
Эффективная длина вводится для упрощения при проведении аналитических расчетов. В этом случае необходимо границы линзы брать те, которые определены эффективной длиной. Для грубых оценок можно использовать геометрическую длину линзы L0, а для более точных – Lэф.
В общем случае интеграл (3.9) вычислить аналитически невозможно, а необходимость в этом имеется, поэтому иногда применяют аппроксимацию реальной кривой распределения градиента по длине линзы. В частном случае отдельные участки этого распределения можно представить следующими выражениями:
64
|
|
|
|
(z + |
L |
− z0 ) |
2 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L0 |
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
G |
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
−∞ < z ≤ |
− |
+ z |
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
G(z) = |
|
|
|
|
G0 |
, − |
|
0 |
+ z0 ≤ z |
≤ |
0 |
− z0 , |
|
|
|
(3.10) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
L0 |
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
(z − |
|
|
+ z |
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 + |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
L0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
G |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
− z ≤ z < +∞, |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где z0 – расстояние от края внутрь линзы, на котором градиент начинает спадать, а b – расстояние, на котором он уменьшается в четыре раза. Следует отметить, что параметры z0 и b зависят от многих факторов: от апертуры линзы r0 (очевидно, что чем больше
апертура, тем на большем расстоянии от краев линзы начинается спад градиента), от сорта материала, из которого изготовлен магнитопровод, от конструкции обмотки.
Например, для линз, выпускаемых в Советском Союзе, в НИИ ЭФА им. Д.В. Ефремова, типа МЛ16 (r0 = 13 см, L0 = 100 см) и
МЛ17 (r0 = 13 см, L0 = 60 см) параметры z0 и b приблизительно
равны 0,65r0 и 1,42r0 соответственно.
Подставляя выражения (3.10) в (3.9) и используя формулу для
интеграла |
|
dt |
|
|
|
|
t |
|
|
1 |
|
|
|
∫ |
|
|
|
= |
|
|
− |
arctg(t) +C , |
(3.11) |
||||
(1 |
+t |
2 |
) |
2 |
2(t |
2 |
+1) |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
получим выражение для эффективной длины |
|
||||||||||||
|
|
|
Lэф = L0 − 2z0 + 0,5πb . |
(3.12) |
|||||||||
Таким образом, по известным значениям z- и b, определяемым, например, экспериментально, можно найти эффективную длину магнитной линзы.
Замена реального поля аппроксимацией (3.10) позволяет определить траекторию заряженной частицы в аналитическом виде.
65
В заключение приведем (без вывода) несколько практических выражений для определения параметров квадрупольной линзы. Эти выражения можно использовать для предварительных оценок. Максимальный градиент достижимый в линзе с радиусом апертуры r0, равен
= 100
Gмакс r0 , (3.13)
где градиент выражен в Тл/м, а r0 – в см.
Для линзы, у которой каждый полюс окружен NI – ампервитками, при отсутствии рассеяния и в предположении бесконечно большой магнитной проницаемости (μ → ∞) железа полюсов имеем
G = |
8π 10−3 |
NI |
, |
(3.14) |
|
r |
2 |
|
|||
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
где NI – число ампер-витков.
Из (3.14) видно, что при фиксированных значениях r0 и N изменение градиента можно осуществлять за счет изменения тока в обмотках катушек, т.е. за счет возбуждения обмоток. Рассеиваемая в квадрупольной линзе мощность при возбуждении постоянным током равна
P = 6,1 |
ρl |
G2r4 |
, |
(3.15) |
|
||||
|
S0 f |
0 |
|
|
|
|
|
|
где Р – мощность в ваттах, ρ – удельное сопротивление обмотки в Ом см; l – средняя длина витка в см; S0 – суммарная площадь окон для обмоток; f – коэффициент заполнения окна; G – в Гс/см.
Из (3.15) видно, что с увеличением r0 очень возрастает мощность, что крайне нежелательно.
3.5.Движение заряженных частиц
вмагнитных квадрупольных линзах. Матрицы перехода
На заряженную частицу, движущуюся параллельно оси z (см. рис. 3.1) с постоянной скоростью υ, которая из-за малости поперечных скоростей υх и υу, приблизительно равна υz, действуют силы
Fx = −eυBy = −eυGx , |
(3.16) |
66
Fy = eυBx = eυGy . |
(3.17) |
В этих выражениях были использованы формулы (3.3), (3.4). Из (3.16) и (3.17) видно, что силы, действующие на движущую-
ся в магнитной квадрупольной линзе заряженную частицу, пропорциональны градиенту G и отклонению от оси z. Уравнение движения вдоль оси х имеет вид:
M |
d 2 x |
= F |
= −eυG |
|
. |
(3.18) |
|
dt |
|
|
|||||
|
2 |
x |
|
x |
|
|
|
Из-за постоянства скорости масса М вынесена из под знака дифференцирования. Заменим левую часть (3.18) с учетом того, что υ= υz , а именно:
|
d 2 x |
|
d dx |
dz d dz dx |
≈ υ |
2 d 2 x |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(3.19) |
||
|
dt |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
2 |
||||||||||
|
|
|
dt dt |
|
dt dz dt dz |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Подставляя (3.19) в уравнение (3.18), получим уравнение дви- |
||||||||||||||||||||||||
жения |
|
|
|
|
|
d 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
eG |
|
x = 0 . |
|
|
|
|
|
|
(3.20) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
dz2 |
|
Mυ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Введем обозначение |
|
|
eG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k2 |
|
= |
|
> 0 . |
|
|
|
|
|
|
(3.21) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение (3.20) описывает движение около оси y (x = 0). В нем не была учтена связь с движением по направлению, параллельному оси y, которое возникает, если частица отклоняется от оси x и на нее начинает действовать сила, обусловленная появлением составляющей Вх. В линейном приближении это вполне допустимо. Аналогично выводу уравнения (3.20) можно получить уравнение для вертикального движения, а именно:
d 2 y − k2 y = 0 . dx2
Используя начальный вектор x0 |
|
при |
x0′ |
|
|
(3.22)
z = 0, который характе-
ризует параметры траектории на входе в квадрупольную линзу, можно найти с помощью (3.20) матрицу, характеризующую преоб-
67
разование траектории в квадрупольной линзе, и выходной вектор
x
, которой равен
x′
x |
|
|
|
1 |
|
|
x0 |
|
|
|
|
= |
|
cos θ |
|
sin θ |
|
, |
(3.23) |
||||
k |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x′ |
|
|
|
|
x0′ |
|
|
||||
|
|
−k sin θ |
cos θ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где θ = kL, а L – длина линзы. Здесь пока не уточняется, какая дли-
на: L0 или Lэф.
Матрица преобразования в вертикальной плоскости имеет следующий вид:
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ch θ |
|
sh θ |
(3.24) |
||
k |
||||||
|
|
|
. |
|||
|
|
ch θ |
|
|
||
k sh θ |
|
|
||||
Фокусные расстояния линзы в ортогональных плоскостях рав-
ны:
F = |
|
1 |
= |
|
L |
|
; |
(3.25) |
|
|
|
|
|
|
|||||
c |
k sin θ |
|
θsin θ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
F = − |
1 |
= − |
|
L |
. |
(3.26) |
|||
|
|
|
|||||||
д |
|
k sh θ |
|
|
θsh θ |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
Знак минус в (3.26) показывает, что при дефокусировке будет образовываться мнимое изображение.
3.6. Оптические параметры магнитных квадрупольных линз
Для характеристики свойств квадрупольных линз используют параметры, которые встречаются в геометрической оптике. Эти параметры позволяют построить траекторию частиц в линзе. Фокусные расстояния определены выражениями (3.25) и (3.26).
На рис. 3.3 показаны оптические параметры квадрупольной линзы и траектория частицы в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Верхняя часть рисунка относится к горизонтальному движению в линзе, которая оказывает на пучок собирающее действие, а нижняя – к вертикальному. В вертикальной плоскости квадрупольная линза рассеивает.
68
Рис. 3.3. Оптические параметры магнитной квадрупольной линзы
Параметры собирающей линзы снабжены индексом «с», а рассеивающей – «д». На входе линзы имеем параллельный пучок с соответствующими размерами х0 и у0, отсчитываемыми от оси. В горизонтальной фокусирующей плоскости (х) рр – входная, р′р′ – выходная главные плоскости. В дефокусирующей плоскости (y) qq – входная и q′q′ – выходная главные плоскости. Фокусные расстояния Fс и Fд отсчитываются от главных плоскостей. Расстояния с и д равны расстояниям между серединой линзы и главными плоскостями. На рис. 3.3 показаны фокальные плоскости. В горизонтальной плоскости одним из фокусов служит точка 1, а главными точками – 2 и 3. Преобразуя выражения (3.25) и (3.26), найдем оптические силы линз:
1 |
|
= k sin θ = k2 L |
sin θ |
; |
|
(3.27) |
||
F |
θ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= −kshθ = −k 2 L |
shθ |
|
, |
(3.28) |
||
F |
|
|
||||||
|
|
|
θ |
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
которые при θ2 <<1 равны k2 L и −k 2 L .
69
Как будет показано далее, этот случай соответствует тонкой линзе. Теперь получим выражения для других оптических параметров. В силу того, что диагональные элементы матриц (3.23) и (3.24) одинаковы, следовательно, входные и выходные плоскости расположены на одном и том же расстоянии от краев линзы. Действительно, подставив в (2.48) и (2.49) элементы матриц (3.23) и (3.24), получим
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
θ |
|
||||||||
Lвых.с = Lвх.с |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
−cos |
θ)= |
|
|
tg |
2 ; |
(3.29) |
|||||||||||||
θsin θ |
θ |
||||||||||||||||||||||||||||||
Lвых.д |
= Lвх.д = |
|
|
|
L |
(ch θ−1)= |
L |
tg θ2 . |
(3.30) |
||||||||||||||||||||||
θsh θ |
θ |
||||||||||||||||||||||||||||||
В дальнейшем |
будут |
|
представлять |
интерес случаи, |
когда |
||||||||||||||||||||||||||
θ2 <<1. При θ2 <<1 вместо выражений (3.29) и (3.30) получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||
L |
|
= L |
|
|
|
≈ |
|
L |
|
1+ |
1 |
|
|
θ2 |
+ |
1 |
|
θ4 |
; |
(3.31) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
вых.с |
вх.с |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
120 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
L |
|
= L |
|
|
|
≈ |
L |
1− |
1 |
|
θ2 |
+ |
1 |
|
θ4 |
. |
(3.32) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
вых.д |
вх.д |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
120 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Иногда отсчитывают расположение главных плоскостей не от |
|||||||||||||||||||||||||||||||
краев линзы, а от ее середины. Эти расстояния равны |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= L |
|
|
− |
L |
. |
|
|
|
|
|
|
|
(3.33) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
c,д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с,д |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Подставляя в (3.33) выражения (3.31) и (3.32), найдем |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
c ≈ |
Lθ2 |
(1+ 0,1θ2 + 0,01θ4 ); |
|
(3.34) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
24 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
д ≈ − |
Lθ2 |
(1−0,1θ2 + 0,01θ4 ). |
(3.35) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
24 |
|||||||||||||||||||||||||||||
Положительный знак перед |
|
|
|
с означает, что передняя (входная) |
|||||||||||||||||||||||||||
главная плоскость вынесена от середины линзы по направлению пучка к заднему краю линзы, а задняя (выходная) симметрично сдвинута к переднему краю линзы. Отрицательный знак у д показывает, что для вертикального движения передняя (входная) плоскость смещена ближе к входному, а выходная – к заднему краю линзы. Таким образом, расположение главных плоскостей при вер-
70