Гаврилов Оборудование для работы с ускоренными пучками 2010

лей предназначена система. По ним судят о достоинствах и недостатках системы, используемой для транспортировки. Действительно, если начать сооружать канал для пучков определенных частиц и заданного импульса, т.е. канал, в котором элементы будут эксплуатироваться при фиксированном возбуждении, то, безусловно, в таком канале удобнее применять дублеты, не говоря уже о квадруполях, если это возможно. Если же в процессе работы канала придется регулировать его параметры, то лучше выбрать триплет, как систему с большим числом степеней свободы.

Очевидно, что по сравнению с дублетом триплет является более сложной и менее экономичной системой квадруполей. Расчет триплета носит более сложный характер, чем дублета. Как и дублет, триплет в общем случае есть астигматическая система. Чтобы осуществить стигматическую фокусировку, необходимо подобрать параметры триплета в определенном соотношении. Методика подбора схожа с методикой для дублета. Основное неудобство дублета заключается в том, что изменение параметров в одной плоскости влечет за собой изменение параметров в другой перпендикулярной плоскости. Сюда можно отнести изменение положения главных плоскостей.

Главные плоскости в дублете расположены по разные стороны от дублета на достаточном расстоянии: в ФД-плоскости они расположены ближе к источнику, а в ДФ-плоскости – ближе к изображению. В триплете главные плоскости размещены вблизи середины центрального квадруполя на малом расстоянии. Это еще раз говорит о том, что имеется возможность представить триплет тонкой линзой.

С другой стороны, предположим, что дублет представлен тонкой линзой, тогда положение тонкой линзы в двух взаимноперпендикулярных направлениях будет различно, и, таким образом, изменение возбуждения повлечет за собой изменение не только фокусирующей силы линзы, но и положения ее главных плоскостей в пространстве (см. рис. 4.2) согласно выражениям (4.50) и (4.51).

Это представляет неудобство при работе с пучками, имеющими различное значение импульса. Если же в симметричном триплете

111

выполняется и условие (4.78), то положение главных плоскостей этой линзы будет зафиксировано независимо от возбуждения.

Дополнительно можно отметить, что если в дублете коэффициенты увеличения в ортогональных плоскостях существенно различались, то в симметричном триплете наоборот, коэффициенты увеличения в плоскостях ДФД и ФДФ в общем случае близки по величине. В симметричном триплете подбор фокусирующих сил в ортогональных плоскостях может осуществляться независимо.

4.3. Квадруплеты (квартеты)

Следующая по сложности система из МКЛ, которая будет рассмотрена, состоит из четырех линз. Такая система называется квадруплетом или квартетом. Как и среди триплетов, наибольшее распространение получили симметричные квадруплеты. Симметричный квадруплет преобразует пучок без промежуточных изображений. Схема симметричного относительно центральной плоскости квартета в приближении тонких линз показана на рис. 4.7.

Рис. 4.7. Траектория частиц в симметричном квартете

В квадруплете имеются две пары линз (два дублета). Первая пара преобразует расходящийся пучок в параллельный, а вторая наоборот: параллельный пучок в сходящийся. Направление поля в квадруполях квартета попарно чередуется. Следует отметить, что

112

показанное на рис. 4.7 чередование квадруполей не является единственно возможным. Можно представить квадруплет с чередующимися квадруполями. Правда, в этом случае нарушится симметрия системы. Из рисунка видно, что траектории частиц в ортогональных плоскостях симметричны относительно центральной плоскости. Расстояние между дублетами квадруплета равно S. Между второй и третьей линзами пучок параллелен оси системы. Если сблизить дублеты до соприкосновения средних линз, то будет образована система, аналогичная симметричному триплету.

Вопрос, где могут быть применены симметричные квартеты? Симметричные квартеты бывают очень удобны, если необходимо передать изображение на большое расстояние. Подобная необходимость может возникнуть, скажем, при работе с пучком вторичных частиц, получаемых на мишени, помещенной внутри ускорителя. Крупногабаритную регистрирующую аппаратуру разместить вблизи ускорителя часто бывает трудно, поэтому прибегают к услугам квартетов, которые переносят пучок из одной точки в другую, расположенную вдали от ускорителя.

Симметричные квадруплеты могут работать самостоятельно или входить в транспортирующий канал как составные части, например, в транспортирующий канал сепаратора. Так, на рис. 4.7 изображена пара дублетов, однако может быть взята пара триплетов.

Остановимся на расчете симметричного квадруплета, предназначенного для переноса пучка из одной точки в другую. Первый дублет, обеспечивающий преобразование точечного расходящегося от плоскости 1 пучка в параллельный, начинающийся от плоскости 2, будем описывать матрицей

Свободное пространство между дублетами длиной S (между плоскостями 2 и 3) будет описано матрицей дрейфового участка. Участок между плоскостями 3 и 4 будем описывать матрицей (2.42)

113

в которой из-за симметрии системы элементы по главной диагонали, переставлены местами. одновременно следует наложить условие Т22 = 0, при выполнении которого расходящийся пучок будет преобразован в параллельный. Общая матрица квадруплета

Из (4.93) видно, что при S = 0 получим матрицу для симметричной системы П, приведенную в (2.43). При условиях Т22 = 0 и

–Т12Т21 = 1, последнее из которых вытекает из равенства единице определителя матрицы (4.92), получим

Необходимо отметить, что матрицы Т, β и Р имеют различный вид в двух ортогональных плоскостях. Коэффициент увеличения квадруплета, равный элементу Р11, есть –1. До сих пор предполагалось, что отрезок S может быть выбран произвольно. Однако это справедливо для точечного источника. В действительности источник практически всегда имеет конечные размеры и не является точечным. Поэтому на выходе квартета угловая расходимость пучка будет отлична от угловой расходимости на входе. На самом деле, угловая компонента выходного вектора равна

Если же выбрать величину S из условия P21 = 0 , а именно:

114

а угловая расходимость по абсолютной величине на входе и выходе будет одинакова. С помощью матрицы (4.96) пучок испытывает так называемое «антитождественное» преобразование, когда вектор

Проведенное рассмотрение симметричного квадруплета не позволяет определить фокусное расстояние и расположение главных плоскостей. Для того, чтобы найти эти параметры, перемножим в соответствующим порядке матрицы (в приближении тонких линз) квадруполей, образующих симметричный квадруплет, и дрейфовых промежутков между ними.

В результате перемножения в плоскости ДФФД получим в случае одинаковых квадруполей следующую матрицу для симметричного квадруплета

откуда найдем, что в этой плоскости фокусное расстояние равно

Главные плоскости лежат от краев поверхности на следующих расстояниях

мают более простой вид: Lвх = Lвых ≈ d .

4.4.Периодические системы квадрупольных линз

До сих пор рассмотренные системы могут быть интерпретированы как частные случаи более общей периодической системы квадрупольных линз.

При изучении периодической системы квадрупольных линз могут быть выяснены несколько вопросов, например: об устойчиво-

115

сти движения частиц в данной системе вообще; определение устойчивости в зависимости от сдвига плоскостей симметрии (или асимметрии) соседних квадруполей и т.д.

Определение устойчивости не является абстрактным, так как имеет важное практическое значение. Действительно, при рассмотрении дублетов, триплетов и квадруплетов полагалось, что плоскости соседних квадруполей сдвинуты на 90º. При этом молчаливо утверждалось, что ортогональное расположение плоскостей соседних квадруполей обеспечивает наилучший вариант по устойчивости движения частиц. Вместе с тем это предположение требует доказательства. Данному вопросу будет посвящен этот параграф.

Однако, прежде чем перейти к рассмотрению устойчивости движения частиц в периодической системе квадрупольных линз, сделаем несколько замечаний. Периодические системы квадрупольных линз, как правило, используются для транспортировки пучков частиц на значительные расстояния. В таких системах основная задача состоит не в получении промежуточных изображений, а в стремлении удержать пучок внутри области с заданным диаметром, определяемым размерами ионопровода.

Задача о движении частиц в периодической системе квадрупольных линз аналогична задаче об устойчивости движения в периодической системе ускорителя. Следовательно, как и в ускорителях, свойства периодической системы из квадрупольных линз можно изучить с помощью матрицы, составленной для одного периода. Как и ранее, квадруполи будут рассмотрены в приближении тонких линз.

На рис. 4.8 показана периодическая система одинаковых квадрупольных линз Q с оптической силой Р = 1/F, расположенных на расстоянии d друг от друга. Плоскости соседних квадруполей повернуты на угол θ, который может изменяться от очень малого значения, соответствующего так называемой спиральной квадрупольной линзе, до 90º. Выбор θ >90° ценности не представляет, так как будет повторять встречающиеся случаи при θ<90°. Анализ устойчивости будем проводить одновременно для движения в двух ортогональных плоскостях x и y неподвижной декартовой системы координат.

116

координат, а оси квадруполя m повернуты относительно их на угол θ. Тогда идентично расположенная относительно полюсов квадруполя точка будет иметь следующие координаты (σ, q), выраженные через координаты неподвижной системы:

(4.103). В результате получим

(4.104) получим

Матрица перехода для структурного элемента в собственной системе координат, простирающегося от начала одного квадруполя до начала другого, равна произведению трех матриц:

118

Если периодическая система состоит из n структурных элементов, то ее матрица перехода будет равна Πn . Перемножая матрицы

(4.105), (4.100) и (4.101), получим

Для анализа устойчивости движения частиц в периодической системе квадрупольных линз достаточно исследовать матрицу (П) (4.107). Составим характеристический определитель

где φ и ψ являются действительными величинами, то движение заряженной частицы в периодической системе квадрупольных линз будет устойчиво. Величины φ и ψ найдем из сопоставления уравнения (4.109) и вновь составленного уравнения:

которое после преобразования принимает следующий вид

119

λ4 − 2(cos ϕ+ cos ψ)λ3 + 2λ2 (1 + 2cos ϕcos ψ) −

(4.112)

−2λ(cos ϕ+ cos ψ) +1 = 0.

Действительно, сравнение коэффициентов при одинаковых степенях в уравнениях (4.109) и (4.112) приводит к системе двух уравнений с двумя неизвестными (коэффициенты при нечетных степенях одинаковы как в одном, так и в другом уравнениях)

2c = cos ϕ+ cos ψ ,

4c2 − d 2 P2 = 4cos ϕcos ψ .

Решая эту систему, находим, что

cos ϕ = c + dP2 , cos ψ = c − dP2 .

Движение частиц будет устойчивым, если будет выполнено условие

(4.113).

На рис. 4.9 изображена область устойчивости (заштрихованная) на плоскости dP и θ. Там же для сравнения показана функция |cosθ|. Как видно из рисунка, наибольшая область устойчивости в периодических системах квадрупольных линз достигается при уг-

лах θ = π2 , соответствующих ортогональному расположению плос-

костей симметрии (или асимметрии) соседних квадруполей. Если

120