Гаврилов Оборудование для работы с ускоренными пучками 2010

2.3. Особенности матриц симметричных систем

Представляет интерес отметить некоторые свойства матриц симметричных систем, которые часто встречаются при создании реальных установок. Под симметрией здесь следует понимать симметрию относительно некоторой плоскости, перпендикулярной направлению движения пучка.

Рис. 2.4. Симметричная система

Рассмотрим систему, состоящую из двух секций, симметричную относительно средней плоскости 2–2 (рис. 2.4). Предположим, что пространство от начала до плоскости симметрии системы опи-

где индексы определяют параметры траектории в соответствующих точках. После плоскости симметрии движение описывается уравнением

где матрица β относится к участку системы между плоскостями

2–2 и 3–3.

Оказывается, что между матрицами Т и β и их элементами существует связь. Установим эту связь. Предварительно установим связь между матрицей Т и обратной матрицей М, которая описывает движение от плоскости 2–2 и плоскости 1–1, а именно:

41

откуда находим

Сравнивая элементы вновь полученной матрицы с элементами единичной матрицы, получим систему четырех уравнений:

Из (2.37) видно, что для образования обратной матрицы необходимо в матрице Т поменять местами диагональные элементы Т11

42

и Т22, а знаки перед остальными элементами изменить на обратные. Определитель матрицы М равен определителю матрицы Т, т.е. единице.

Переходим непосредственно к установлению вида матрицы β. Для этого сравним движение от плоскости 2–2 в прямом и обратном направлениях. Очевидно, что как в первом, так и во втором направлениях для описания будет служить одна и та же матрица М (2.37). Различие будет состоять в записи векторов в плоскости 2–2. Действительно, преобразование в плоскости 1–1 будет иметь один вид:

Для преобразования уравнения (2.39) используем очевидное

43

Следовательно, если имеется симметричная система и известна матрица преобразования для первой половины системы, то матрица преобразования для второй половины может быть образована переменной мест элементов главной диагонали. Полная матрица симметричной системы равна

Учитывая равенство единице определителя матрицы Т, пере-

пишем (2.43)

Кроме того, из (2.43) или (2.44) видно, что элементы по главной диагонали равны.

2.4.Связь между оптическими параметрами системы

иэлементами матрицы перехода

Описание различных магнитных систем часто производят в индексах геометрической оптики, вводя фокусное расстояние, фокальную и главные плоскости. Напомним некоторые свойства геометрической оптики. Будем рассматривать идеальные оптические системы, которые любую точку предмета преобразуют в точку без искажения. К идеальным системам относятся системы с переменным значением показателя преломления (как правило, неосуществимые) и плоские зеркала. Кроме того, к ним можно отнести системы, обладающие осью симметрии, когда распространение лучей происходит в параксиальной области.

В параксиальной области свойства оптической системы определены положением четырех кардинальных точек: двумя фокусами и главными точками. Фокусами служат точки пересечения лучей, падающих на систему параллельно оси в прямом и обратном направлениях. Главные точки – это точки пересечения главных плоскостей с осью системы. По данным четырем точкам можно построить ход лучей света (в данном случае это будут траектории заряженных частиц).

44

Определим месторасположение главных плоскостей через параметры матрицы Т системы, в которой имеются главные входная и

выходная плоскости. Фокусное расстояние, равное F = − 1 , было

T21

определено раньше. Расстояние от входа первого элемента до входной главной плоскости и от выходной главной плоскости до выхода последнего элемента представляют отрезки свободного пространства, так как в них траектории сохраняют направления, имеющие место вне системы. Эти отрезки можно описать матрицами следующего вида

где d – длина отрезка свободного пространства. Расстояние между главными плоскостями будем описывать матрицей

где F – фокусное расстояние системы (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Главные плоскости в системе

На этом участке сосредоточено действие всего элемента. В геометрической оптике матрица (2.46) описывает тонкую линзу, которая изменяет только угол. Приемом, когда «толстая» линза может быть представлена в виде произведения трех матриц: тонкой линзы и свободных участков, пользуются сравнительно часто. Таким образом, представим матрицу в виде произведения трех матриц, а именно:

45

где Lвх – расстояние от входа системы до входной плоскости, на котором траектория сохраняет свой первоначальный вид (например, она остается параллельной оси); Lвых – расстояние от выхода до выходной главной плоскости. Здесь необходимо подчеркнуть, что величины Lвх и Lвых могут принимать как отрицательные, так и положительные значения. Положительные значения следует отсчитывать от краев внутрь системы, а отрицательные – от краев вне системы. Кроме того, необходимо учесть, что главные плоскости преобразуются одна в другую при единичном увеличении.

Если сравнить элементы матрицы (2.47) с элементами матрицы (2.1), то в результате получим выражения для расположения глав-

Первоначально может показаться, что выражение (2.51) накладывает ограничение при определении Lвх и Lвых. Однако если учесть, что определитель матрицы Т равен единице, то нетрудно показать, используя (2.48) и (2.49), что (2.51) есть определитель,

46

равный единице, записанный в преобразованном виде. Переходя снова к терминологии геометрической оптики можно отметить, что выражения (2.48)–(2.51) позволяют определить положение главных плоскостей для системы, описываемой матрицей в общем (без всяких ограничений) виде, так называемой толстой линзы (или системы). Введение главных плоскостей позволяет рассматривать систему, оперируя только с входными и выходными параметрами, совершенно не касаясь формы траектории внутри системы, между главными плоскостями. Еще раз необходимо отметить, что для описания движения моноимпульсного пучка, как правило, используются квадратные матрицы второго порядка.

2.5.Квадратные матрицы третьего

ичетвертого порядков

Представление движения в магнитных транспортирующих каналах не ограничивается квадратными матрицами второго порядка. Если приходится работать с пучками частиц, которые движутся с разбросом по импульсу, то для описания движения таких пучков удобно использовать квадратные матрицы третьего порядка. В этих матрицах появляются элементы, связанные с разбросом по импуль-

При δ = 0 (2.53) переходит в (2.2).

Матрицы, входящие в уравнения (2.52) и (2.53), обычно используют для рассмотрения радиального движения в отклоняющих

47

магнитах, так как разброс по импульсам δ, как и в магнитных системах ускорителей, оказывает воздействие только на радиальное движение. В рассматриваемом приближении вертикальное движение от этого параметра не зависит.

Вид нижней строчки матрицы (2.52) обусловлен тем, что разброс импульса не может быть изменен статическим магнитным полем, в котором отсутствует ускорение. Разброс в импульсе оказывает влияние на координату и угол расходимости пучка. В связи с этим влиянием вводят понятие линейной и угловой дисперсии, которые наблюдаются при движении неоднородного по импульсу пучка в отклоняющих системах.

В том же аспекте, в каком были рассмотрены квадратные матрицы второго порядка, изучим свойства матриц, описывающих движение немоноимпульсных частиц. Промежуточные выкладки будут опущены, так как они похожи на те, которые были проделаны ранее.

Из (2.52) нетрудно установить, что для матрицы Т определитель равен единице. Обратная матрица М, характеризующая преоб-

Когда Т13 = Т23 = 0 (2.54) переходит в (2.37). Это наглядно видно, если воспользоваться записью, аналогичной (2.53).

Если рассмотреть симметричную систему, то матрица преобразования для второй половины системы выражается через элементы матрицы (2.52), характеризующей преобразование на первой половине:

48

С помощью (2.55) при Т13 = Т23 = 0 нетрудно перейти к матрице (2.42). Матрица для всей симметричной системы равна произведе-

нию (2.55) и (2.52):

Из (2.56) видно, что полная матрица П для симметричной системы не зависит от матричного элемента Т13. Это обстоятельство вместе с дополнительными условиями, например, Т23 = 0 и др., позволяет получить на выходе параметры пучка, не зависящие от разброса по импульсу. Более подробно этот вопрос будет разобран при рассмотрении так называемых ахроматических систем – систем, в которых скомпенсированы линейная и угловая дисперсии.

Наконец, необходимо отметить, что в процессе изучения изохронных систем (изохронная система между двумя точками – это система, в которой сохраняется временная структура пучка), будут рассмотрены квадратные матрицы четвертого порядка, которые имеют следующий вид:

Матрицы типа (2.57) воздействуют на вектор, в котором, кроме компонент х, х′ и δ, в качестве четвертой компоненты введена разница в длине пути частиц в транспортирующих системах l. Например, разница длины пути частиц, движущихся не по оси, и длины пути осевых частиц. Определитель матрицы (2.57) равен единице.

Обратная матрица М матрицы Т имеет следующий вид (читателю предлагается проделать промежуточные выкладки):

49

Общая матрица симметричной системы имеет следующий вид:

(2.59)

Подводя итог, следует подчеркнуть, что рассмотренные свойства матриц будут в дальнейшем использованы в конкретных случаях для определения параметров элементов систем.

2.6. Движение пучка частиц и фазовое пространство

В заключение рассмотрим изменения фазовых объемов в магнитооптических системах. Начнем с простейших, например, прямоугольника, треугольника или ромба. На рис. 2.6 показаны контуры (ромб) фазового пространства, занимаемого пучком частиц 1 (АВСD) и его трансформация в результате прохождения частиц через участок, являющийся или дрейфовым пространством, или тонкой линзой, которые характеризуются соответствующими матрицами перехода (2.45) и (2.46).

Рис. 2.6. Трансформация фазового пространства в дрейфовом участке и тонкой линзе

При прохождении дрейфового участка угол наклона траектории остается постоянным, а изменяется размер пучка. Форма фазового пространства после прохождения дрейфового участка обозначена на рис. 2.6 цифрой 2 (А′ВС′D) – это параллелограмм. Координатами

50