Гаврилов Оборудование для работы с ускоренными пучками 2010

Графический расчет фокусировки частиц дублетом МКЛ.

Расчет дублета из МКЛ будет проведен с помощью графиков, полученных на основе решения уравнений движения и граничных условий.

Рис. 4.4. Пояснения к условиям фокусировки в дублете

Рассмотрение начнем с плоскости ДФ. Для первой линзы невозможно представить решение уравнения движения одним выражением. Причина будет выяснена позже. Траектория частицы в первой линзе может быть выражена следующими выражениями:

при k1a1′ <1.

102

Во второй линзе

где z3 = a2′ + d + 2l (см. рис. 4.4), а l – длина каждой линзы. На ос-

новании граничных условий, предусматривающих на границе равенство отклонений частицы от оси и углов наклона, имеем после дрейфового участка до первой линзы слева для расходящегося пучка следующие компоненты

Приравнивая уравнения (4.57) и (4.58) и затем исключив из них Y1 и y0′ , получим при k1a1′ >1

Из равенства (4.59) следует, что оно справедливо только при k1a1′ >1 , поэтому для случая при k1a1′ <1 необходимо воспользоваться решением уравнения движения (4.55) и поступить так же, как получено выражение (4.59). В результате находим при k1a1′ <1

На выходной границе второй линзы (двигаясь от изображения к линзе) имеем

Теперь предстоит самое главное: найти условия фокусировки в ДФ-плоскости, т.е. согласовать на выходной границе первого квадруполя решения (4.54) и (4.55) с (4.56). На этой границе должно выполняться равенство отклонений (у) и производных от них (у′). После первой линзы найдем:

103

Идя в обратном направлении через вторую линзу и дрейфовый участок, найдем

Из сравнения уравнений (4.62)–(4.65) после несложных преобразований при k1a1′ >1 получим

Для случая при k1a1′ <1 имеем аналогичные уравнения

В связи с тем, что ϕ1′ , ξ1′ и ϕ′2 являются функциями возбужде-

ния линз k1 и k2 согласно выражениям (4.59)–(4.61), то уравнения (4.66) и (4.67) дают связь между k1 и k2.

В ФД-плоскости справедливы те же самые рассуждения, осуществляя которые можно прийти к аналогичным (4.54)–(4.66) формулам.

Условия фокусировки (4.66) и (4.67) для ДФ-плоскости можно упростить и представить в более наглядном виде (см. рис. 4.4, а). Действительно, уравнения (4.66) и (4.67) можно представить в следующем виде:

для ФД-плоскости.

Здесь x1′, x2′, х1 и х2 являются функциями (k1,2l) при заданных относительных параметрах (к длинам линз) a1, a1′, b2, b2′ .

104

Решение уравнений (4.68) и (4.69) находим графическим путем. Действительно, если построить четыре функции в зависимости от (kl), а именно:

то на этом общем графике (рис. 4.5) можно построить прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат. Горизонтальные стороны этого прямоугольника, параллельные оси абсцисс, своими концами должны лежать на кривых у1 – у4.

Рис. 4.5. Графическое определение возбуждающих сил

Величины kl, соответствующие вертикальным сторонам прямоугольника, лежащим концами на кривых у1, у3 и у3, у4, дают значения возбуждающих сил первой и второй линз.

105

На отрезке между точками 3 и 4 (см. рис. 4.3) фазовый эллипс вновь занимает каноническое положение. Необходимо подчеркнуть, что все показанные на этом рисунке фазовые эллипсы имеют один и тот же центр, лежащий в начале координат.

4.2. Триплеты

Рассмотрим систему квадруполей, состоящую из трех линз. В ней, как и в дублете, может быть осуществлена стигматическая и астигматическая фокусировки. Эта система по сравнению с дублетом обладает большей свободой в выборе параметров. При стигматической фокусировке задание геометрических параметров дублета однозначно определяет фокусные расстояния, возбуждение и увеличение линз. В триплете такое ограничение не наблюдается, так как за счет варьирования параметров всех трех линз можно изменять коэффициент увеличения.

Симметричные триплеты. Триплет – это система магнитных квадрупольных линз, состоящая из последовательности трех соосных квадруполей. В общем случае квадруполи имеют различную оптическую силу. Однако чаще всего используются симметричные триплеты (рис. 4.6). Симметризация триплетов может быть осуществлена двумя путями: первый состоит в том, что внешние линзы равной силы размещены на одинаковых расстояниях от центральной линзы, имеющей длину в два раза большую, а второй – в том, что вся система триплетов состоит из трех одинаковых по длине квадруполей, но поле центрального вдвое выше. В обоих случаях направление полей в квадруполях чередуется.

В приближении тонких линз составим матрицу преобразования триплета, которая позволит определить главные плоскости, фокусные расстояния и коэффициент увеличения. Первоначально составим матрицу для плоскости, в которой внешние линзы дефокусируют, а центральная – фокусирует частицы, т.е. для плоскости ДФД. Эту матрицу получим в результате перемножения пяти матриц

106

Рис. 4.6. Симметричный триплет

При перемножении матриц в (4.74) можно использовать свойства симметрии, перемножив первые две матрицы. Перемножение двух последних можно опустить, получив выражение для матрицы из первого выражения с переменой мест элементов по главной диагонали. Знаки перед элементами Р1 и Р2 показывают, что крайние элементы являются рассеивающими, а центральный – собирающим.

Из (4.74) найдем матрицу триплета

Оказалось, что триплет может быть представлен как тонкая линза с оптической силой Рдфд, окруженная дрейфовыми участками протяженностью S каждый. Матрица такой системы будет иметь следующий вид:

107

Поскольку (4.75) и (4.76) являются матрицами симметричных систем, элементы по главной диагонали одинаковы.

Выразим параметры S и Рдфд через параметры составляющих триплет линз. Сравнивая элементы матриц (4.75) и (4.76), получим:

Оказалось, что параметры Рдфд и S можно представить простыми выражениями. Для этого преобразуем уравнение (4.78), умножая его на d. В результате найдем

Следует отметить, что в выражение (4.80) не входит оптическая сила средней линзы. Это означает, что протяженность окаймляющих среднюю линзу в (4.76) участков зависит только от силы крайних линз. Кроме того, при малых значениях dP1, т.е.

величина S стремится к d и не зависит от оптических сил P1 и P2 .

Таким образом, при выполнении условия (4.81) симметричный триплет в плоскости ДФД может быть представлен эквивалентной тонкой линзой с оптической силой Рдфд и дрейфовыми участками, равными расстоянию между крайними и центральным квадруполями. При этом протяженность дрейфовых участков, когда расстояние между квадруполями значительно меньше фокусных расстояний крайних линз, остается постоянной величиной. Аналогичное утверждение справедливо и для плоскости ФДФ. Действительно, в этой плоскости выражения для оптической силы и дрейфовых участков можно получить, если изменить знаки перед Р1 и Р2 на обратные. В результате получим

108

При соблюдении условия (4.81) S1 = d.

На практике бывает необходимо обеспечить равенство оптических сил в обеих плоскостях триплета. Сравнивая (4.79) и (4.81), находим связь между оптическими силами центральной и крайних линз:

Это условие соответствует триплету, в котором оптическая сила крайних квадруполей вдвое меньше силы центральной линзы. Одинаковая в двух ортогональных плоскостях оптическая сила триплета равна

Знак минус здесь указывает на фокусирующее воздействие триплета в обеих плоскостях.

Может возникнуть вопрос о переопределенности системы уравнений при сравнении матриц (4.72) и (4.73), так как не было проведено сравнение элементов Т12. Несложные преобразования позволяют убедиться в их тождественности с учетом (4.80) и (4.83).

Найдем расположение главных плоскостей в рассматриваемом симметричном триплете. В плоскости ДФД (х) выходная плоскость

109

Расположение главных плоскостей в плоскости ФДФ установить не представляет труда, а именно: перед Р1 необходимо изме-

Из выражений (4.88)–(4.91) следует, что в ортогональных плоскостях относительно середины линзы главные плоскости занимают противоположное положение. Действительно, в плоскости ДФД выходная плоскость лежит ближе к выходу триплета, а в плоскости ФДФ – ближе к его входу. Однако по абсолютной величине расстояния от средней плоскости до главных плоскостей приблизительно равны, что нетрудно показать с помощью (4.90) и (4.91). В приближении (4.78) главные плоскости триплета совпадают с серединой системы.

Проводя сравнение симметричного триплета с одиночным квадруполем, нетрудно установить, что расположение главных плоскостей триплета в ДФД плоскости совпадает с расположением главных плоскостей квадруполя в Д-плоскости, а расположение главных плоскостей триплета в ФДФ-плоскости – с расположением последних в Ф-плоскости. При отсчете расположения главных плоскостей от середины триплета получим следующие выражения для параметров .

В плоскости х (ДФД) при выполнении условия (4.78) имеем

При условии (4.78) можно считать, что фокусировка параллельного пучка в симметричном триплете будет почти стигматической.

Сравнение дублетов и триплетов. При сравнении тех или иных систем руководствуются, прежде всего, тем, для каких це-

110