2. Достаточное условие работы классического фильтра в полосе пропускания
1. Если у симметричного реактивного четырехполюсника в согласованном установившемся синусоидальном режиме сопротивление нагрузки положительно, то такой фильтр работает в полосе пропускания.
|
R I 2 |
U 2 |
R I 2 |
U 2 |
при Z |
|
Z |
|
Z |
|
R |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
H |
ВХ |
С |
|
|||||||
|
C C |
|
RC |
C 2 |
|
RC |
|
|
|
C |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Если сопротивления симметричного четырехполюсника (фильтра) ZXX и
ZКЗ «разнореактивны» (т.е. одно имеет чисто индуктивный характер, а второе чисто емкостной), то такой фильтр работает в полосе пропускания.
Для LC – фильтра, с учетом условия 1, можно записать |
ZC ZXX ( j ) ZКЗ ( j ) jX XX ( ) jX КЗ ( ) |
X XX ( ) X КЗ ( ) RC 0 |
Следовательно, для того чтобы подкоренное выражение было положительным, значения ХХХ и ХКЗ должны быть разными по знаку.
3. Фильтры нижних частот типа «k» и типа «m»
Классический реактивный фильтр называется фильтром типа k, если |
|||||||||||||||
произведение сопротивлений его продольного Z1(j ) и поперечного |
|||||||||||||||
Z2(j ) плеч на любой частоте равно постоянному положительному |
|||||||||||||||
числу, обозначаемому как k2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Z /2 |
|
Z1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z1 |
|
Z |
||
|
|
|
|
Z1( j ) Z2 ( j ) k |
2 |
|
2Z |
2Z2 |
|
||||||
|
1 |
|
Z2 |
ZH |
|
|
|
|
H |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы для расчета |
0 |
|
|
Z1Z2 |
|
|||
|
|
|
0,25Z 2 |
Z |
Z |
|
характеристических |
П |
1 Z |
|
/ 4Z |
|
|||
0Т |
2 |
|
|
1 |
2 |
||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
сопротивлений |
|
|
|
|
|
|
||||
|
L1/2 |
L /2 |
|
|
1 |
Z |
= Z |
C2 ZH = ZC |
ВХ |
C |
|
|
|
|
L1 |
Z |
= Z |
|
ZH = ZC |
ВХ |
C |
C2/2 |
C2/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
2 |
LC ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0Т |
(1 |
|
|
0 |
CР |
|
|
|
0Т 0 П |
|
0 П |
|
( |
|
|
|
) |
|
|||||
C |
|
|
|
|
|
|
C |
4 |
2 |
LC |
|
||||||||||||
|
|
LC |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L1/2 |
L /2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z = Z |
C2 |
ZH = ZC |
|
|
ZВХ = ZC |
|
|
|
|
|
|
|
ZH = ZC |
|
||||||
ВХ |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
C2/2 |
|
C2/2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
L (1 |
2 |
LC ) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
4 |
|
|
0Т |
|
0 CР |
LC |
0Т 0 |
П |
0 П |
C |
( |
4 |
2 |
LC |
) |
||||||||
|
C |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
К( ) |
|
|
|
|
|
|
|
0Т , 0П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0П |
|
|
|
|
j 0Т |
|
|
|
|
||
|
|
|
СР |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
LC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
C |
0Т |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|||
|
ωСР |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωСР |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Для согласования реактивного фильтра нижних |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Z |
|
R |
|
L |
|
||||||||||||
частот с нагрузкой сопротивление нагрузки на частоте |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
= 0 выбирают равным характеристическому |
|
|
|
H |
|
|
H |
|
C |
|
|||||||||
|
сопротивлению звена фильтра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Недостатком фильтров типа «k» является медленное нарастание затухания (ослабления) в полосе задерживания
Этот недостаток в определенной степени устраняются в фильтрах типа «m» (которые строятся обычно на базе фильтров типа «k»)
mZ1/2 
(1-m2)Z1/2m 
2Z2/2
Г – образные схемы фильтров типа «m»
0 m 1
mZ1/2 |
|
2mZ2/(1-m2) |
2Z2/2 |
В таких фильтрах продольное или поперечное сопротивления изменяются таким образом, чтобы в в пределах полосы пропускания звена фильтра
одно из характеристических сопротивлений 0Т или 0П практически не зависело от частоты, а другое остается равным характеристическому сопротивлению исходного звена k типа
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
Z /2 |
|
|
|
|
Z /2 |
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
|
|
Z2 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2Z2 1 |
|
|
|
2Z2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Методика определения полосы пропускания классического фильтра
1.Найти операторные сопротивления ZXX(p) и ZКЗ (p) , а затем их нули р0k и полюса pk .
2.Размечают р0k и рk на мнимой оси и на каждом
частотном интервале между ними определяют характер реакции («реактивности») фильтра отдельно для ZXX(p)
и ZКЗ (p) ; зоны, где характер реакции ZXX и ZКЗ различен,
определяют полосу пропускания.
L1/2 L1/2
ZХХ = ? |
C2 |
ZH |
|
ZКЗ = ? |
|||
|
|
L1/2 |
L1/2 |
Определим сопротивление ХХ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ZXX ( p) |
pL |
|
1 |
|
p2 L C |
2 |
|
|
Z |
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
pC2 |
2 pC2 |
|
|
ХХ |
|
|
||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нули р01,02 j
2
(L1C2 ), полюса р1 0, р2 
Определим сопротивление КЗ
L1/2 L1/2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
C2 КЗ |
||
|
|
|||||||
|
|
|||||||
КЗ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ZКЗ ( p) pL2 1 ( рС2 pL2 1 ) 1
pL1( p2 L1C2 4) 2( p2 L1C2 2)
нули р03 0, p04,05 2 j
L1C1 , полюса р3,4 j
2
(L1C2 ), р5
|
ZXX |
j j |
Z |
L |
|
|
|
|
КЗ |
ZC |
|
L |
|
|
р04 |
|
|
|
|
C |
k |
||
р01 |
|
|
|||
C |
|
р |
L |
L /2 |
|
|
|
3 |
1 |
||
|
|
|
|||
|
р1 |
|
р03= 0 |
|
ПП |
C |
|
L |
|||
|
|
|
ПЗ |
||
|
р02 |
|
|
|
|
L |
|
р4 |
|
|
|
|
|
|
р05 |
L |
СР |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Характеристическое сопротивление ФНЧ существенно зависит от частоты
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L ( 2 L C |
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)2 |
|
|
|||||||
|
ZC ( ) ZXX ( ) ZКЗ ( ) |
|
|
k 1 ( |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
1 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4C2 |
|
CP |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
частота среза |
|
СР |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
ФНЧ |
имеет |
|
в |
|
ПП |
чисто |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
активный, а |
|
в |
ПЗ – |
чисто |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
L1C2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ФНЧ |
|
|
|
|
|
|
|
|
индуктивный характер ZC |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. Полиномиальные фильтры.
Электрические фильтры с передаточной функцией вида
|
|
|
|
|
|
|
|
K( p) |
|
|
1 |
|
|
|
b pn b |
pn 1 ... b p b |
|
|||
|
|
n |
n 1 |
1 |
0 |
|
принято называть полиномиальными
Фильтры, у которых на дополнительной резонансной частоте в полосе задерживания вблизи частоты среза СР АЧХ «проваливается» до
нуля, благодаря чему она «лучше приближается» к идеальной принято относить к фильтрам типа m.
L1/2 |
L1/2 |
2С1 |
2С1 |
|
С2 |
Фильтры Баттерворта
Фильтры, у которых квадрат АЧХ и рабочее ослабление описываются следующими зависимостями:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K 2 ( j ) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 2 2m |
1 2 B2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AP 10lg(1 2 2m ) 10lg 1 2 Bm2 ( ) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент неравномерности ослабления в |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
где |
|
100,1АР max |
1 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
полосе пропускания фильтра А |
,дБ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К2( ) |
|
|
|
Р max |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= СР – |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
m = 6 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
нормирующая частота |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
m = Bm( m) – полиномы |
|
|
|
|
|
|
|
m = 4 |
|
|
|||||||||||
|
|
Баттерворта |
|
|
|
|
|
|
|
ПП |
|
|
m = 2 |
|
|
||||||
Фильтры с максимально |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
плоской АЧХ m – го порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Чем больше степень m, тем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
выше крутизна характеристик |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фильтры Чебышева
Фильтры с равномерно-колебательными частотными характеристиками
|
|
|
|
|
|
вида |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
K 2 |
|
|
|
AP 10lg 1 2Тm2 ( ) |
|
|||
|
( j ) |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 2Тm2 ( ) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Тm( ) – полиномы Чебышева
Т0 ( ) 1, Т1( ) , Тm ( ) 2 Tm 1 ( ) Tm 2 ( )
1 
К2( )
|
m = 6 |
|
m = 4 |
10-0,1Арmax |
m = 2 |
|
ПП
1 |
|
|
При одинаковом значении mиз всех полиномиальных фильтров, ослабление которых в полосе пропускания не превышает Арmax, наибольшее
значение ослабления в полосе задерживания имеет фильтр Чебышева