Матмодели. Лекции, литература, задание 1 лаба / Тема 5 матмоделей

. (1.22)

По справочным данным находится табличное значение этого критерия , который является функцией от двух степеней свободы и . Гипотеза об однородности дисперсий подтверждается, если расчетное значение критерия Кохрена не превышает табличного значения. Тогда можно усреднять дисперсии и пользоваться формулой (1.21).

На практике часто приходится сталкиваться со случаями, когда число повторных опытов различно. Это происходит вследствие отброса грубых наблюдений, неуверенности экспериментатора в правильности некоторых результатов. В таких случаях возникает желание еще и еще раз повторить опыт. Тогда при усреднении дисперсий вместо формулы (1.19) приходится пользоваться средним взвешенным значением дисперсий, взятым с учетом числа степеней свободы

(1.23)

Если гипотеза об однородности дисперсии воспроизводимости подтверждается, то вычисляются коэффициенты уравнения регрессии по методике, рассмотренной выше. И первый вопрос, который интересует после вычисления коэффициентов модели – это проверка пригодности этой модели. Будем называть такую проверку проверкой адекватности модели. Для этого необходимо вычислить расчетные значения отклика и сопоставить их с экспериментальными значениями. Для характеристики среднего разброса относительно линии регрессии вполне подходит остаточная сумма квадратов.

Остаточная сумма квадратов, деленная на число степеней свободы, называется остаточной дисперсией, или дисперсией адекватности . Она вычисляется по формуле

, (1.24)

где - разброс в -той точке относительно линии регрессии;

- число степеней свободы.

Число степеней свободы равно числу проведенных опытов минус число коэффициентов уравнения регрессии. Число коэффициентов уравнения регрессии больше на единицу числа факторов

. (1.25)

Например, если мы проводим полный трехфакторный эксперимент , то количество опытов и число степеней свободы равно

.

Для проверки гипотезы об адекватности можно использовать критерий Фишера или F-критерий. Для этого находим соотношение

. (1.26)

Найденное расчетное значение сравнивается с табличным значением, которые приводятся в справочной литературе. Таблица построена следующим образом. Столбцы связаны с определенным числом степеней свободы для числителя , а строки – для знаменателя . На пересечении соответствующих строки и столбца стоят критические значения F-критерия. Как правило, в технических задачах используется уровень значимости 0,05. Если рассчитанное значение F-критерия не превышает табличного, то с соответствующей доверительной вероятностью (не менее 95 %) модель можно считать адекватной. При превышении табличного значения эту модель приходится отвергать.

Если модель адекватна, то можно перейти к крутому восхождению для нахождения оптимума. Если нет – приходится преодолевать дополнительные трудности. Но во всех случаях целесообразно проверять еще значимость отдельных коэффициентов регрессии.

Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии проводится для каждого коэффициента уравнения. Для этого целесообразно использовать t-критерий Стьюдента. Для этого найдем среднее квадратическое отклонение для дисперсии воспроизводимости

. (1.27)

Затем определяется t-критерий Стьюдента по формуле

. (1.28)

Далее определяется число степеней свободы и для его полученного значения по справочной таблице находится табличное значение . Данное значение имеет уровень значимости 0,05. Если расчетное значение критерия Стьюдента больше, чем табличное, то данный коэффициент значим, в противном случае коэффициент не является значимым. Полученные выводы о значимости коэффициентов уравнения регрессии должны совпадать с выводами об адекватности модели.