дискретка_все_практики / дискретка / Razdel_4_Praktika_9

Раздел 4. Элементы математической логики и теория алгоритмов

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №9

АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ТЬЮРИНГА

1. ЦЕЛЬ И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Цель работы - овладеть навыками написания машин Тьюринга.

Порядок выполнения:

• ознакомиться с описанием работы;

• согласно варианту задания,выданному преподавателем,

разработать алгоритмы решения поставленной задачи;

• отладить программу;

• оформить отчет

2. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

Машина Тьюринга состоит из:

1. внутреннего алфавита - совокупности состояний { q₁ , ... ,q_n } и команд для каретки.

2. внешнего алфавита А={а₁, ... ,а_m}, символы которого считываются и заносятся на ленту;

3. устройства обращения к ленте, каретки,которая в каждый момент обозревает ячейку ленты, в зависимости от символа в этой ячейке и состояния управляющего устройства записывает в ячейку символ ,который в соответствии с текущей командой , сдвигается на ячейку вправо или влево или останавливается на месте; при этом управляющее устройство переходит в новое состояние (или остается в старом).

Таким образом, память машины Тьюринга - это конечное множество состояний (внутренняя память) и лента (внешняя память). Лента бесконечна в обе стороны, но в начальный момент времени только конечное число ячеек ленты заполнено непустыми символами. Данные машины Тьюринга - это слова в алфавите ленты; на ленте записываются и исходные данные, и окончательные результаты. Детерменированность машины, т.е. последовательность ее шагов, определяется следующим образом: для любого внутреннего состояния q_i и символа a_J однозначно заданы:

а) следующее состояние q`_i ;

б) символ a` _J,который нужно записать вместо a_J в ту же ячейку;

в) направление сдвига карктки d_k, обозначаемое одним из трех символов: L(влево), R (вправо) , E (на месте).Это задание описывается в виде таблицы, строкам которой соответствуют состояния, столбцам - входные символы, а на пересечении строки q_i и столбца a_J записана тройка символов q`<sub>i</sub> a`_J d_k .

Функциональная схема:

aJ

q_i

a_J a`_J

(лево, право, на месте)

q`_i

Некоторые операции над машинами Тьюринга.

Теорема 1. Если f₁(x) и f₂(x) вычислимы по Тьюрингу то их композиция f₂(f₁(x)) также вычислима по Тьюрингу.

Пусть T₁ - машина, вычисляющая f₁ , а T₂ - машина, вычисляющая f₂ , и множества их состояний соответственно Q₁ =( q₁₁, ... , q_1n) Q₂ =( q₂₁, ... , q_2n)

Система команд машины T строится следующим образом: система команд T₂ приписывается к системе команд T₁ , при этом конечное состояние T₁ отождествляется с начальным для T₂ . Построенная машина T называется композицией машин T₁ и T₂ и обозначается T₂(T₁). Это определение остается в силе, если T₁ и T₂ вычисляют функции от нескольких перемнных. Важно лишь, чтобы данные для T₂ были в обусловленном виде подготовленны машиной T₁ .

Вычисление предикатов на машинах Тьюринга.

Машина Т вычисляет предикат Р(а) (а - выражение на ленте), если Р(а)=х, где х=И, когда Р(а) истино, и х=Л, когда Р(а) ложно. Если же Р(а) не определен, то машина Т, как и при вычислении функций, не останавливается. При обычном вычисленни предиката уничтожается а, что может оказаться неудобным, если после Т должна работать другая машина. Поэтому вводится понятие вычисления с восстановлением: машина Т вычисляет Р(а) с восстановлением, если Р(а)=ха. Вычисление с восстановлением можно представить следующей последовательностью: выполняется T_коп , каретка сдвигается до маркера *, затем вычисляется Р(а) , и наконец х переносится в крайнее левое положение. Машина Т является композицией указанных четырех машин. В конкретных случаях возможны и более простые способы восстановления а.

Пусть функция f(а) задана описанием: « если Р(а) истино, то f(а)=g₁(х) , иначе f(а)=g₂(х) ». Функция f(а) называется разветвлением или условным переходом к g₁(х) и g₂(х) по условию Р(а).

Теорема 2. Если g₁(x), g₂(x) и Р(а) вычислимы по Тьюрингу то разветвление g₁ и g₂ по Р(а) также вычислимо.

3. ЗАДАНИЕ

Написать машину Тьюринга в соответствии с номером варианта задания.

4. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

1) Вычислить выражение (a+b)/c.

2) Возведение чисел в квадрат.

3) Зеркально отбразить число.

4) Вычислить выражение a^(c+b).

5) Умножение нескольких чисел, записаных одно за другим через разделитель.

6) Определить остаток от деления двух чисел.

7) Определить частное от деления двух чисел.

8) Вычислить выражение (a+b)*c.

9) Вычислить a+b , если a и b четные, и a*b , если нечетные.

10) Умножение двух чисел.

11) Вычислить a-b , если a и b четные, и a/b , если нечетные.

12) Деление нескольких чисел нацело, записаных одно за другим через разделитель.

13) Вычислить выражение (a+b)^с.

14) Определение НОД.

15) Определить челую часть от выражения (a+b)/c.

5. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

При написании программ, осуществляюших операции над числами необходимо переводить их на ленте из позиционной системы в унарное представление. При этом число х представляется словом 1..1=1^х , состоящим из х однотипных знаков.

Перевод числа из позиционной системы в унарное представление .

1

2

3

4

5

6

8 9

0

*

_

$

Q1

q11R

q12R

q13R

q14R

q15R

q16R

q18Rq19R

Q10R

q1*R

q1_R

q2$L

Q2

q30L

q31L

q32L

q33L

q3 4L

q3 5L

q3 7Lq3 8L

Q3 9L

q4*R

q3_L

Q3

q31L

q31L

q31L

q31L

q31L

q31L

q31Lq31L

Q31L

q3*L

q1*R

Q4

q4_R

Q4_N

q4_N

q4_N

q4_N

Каретка слева от числа , справа от числа должен стоять знак $

Приложение 1

Ручной просчет:

Задание умножить два числа.

	1	_	*	0	~
q1	q2 0 R	q6 _ R	q 1* L	q1 1 L
q2	q2 1 R	q3 * R	q3 * R		q2 * L
q3	q 31 R	q4 1 L			q3 1 R
q4	q4 1 L		q4 * L	q1 0 R	q4 * L
q5	q6 _ R		q6 _ R
q6	q6 1 R	q4 * E	q7 1 L	q4 * L	q4 1 L
q7		q7 * L		q4 _L	q1 0 L
q8	q7 _ R	q3 1 R	q4 * L	q4 * L	q4 * R
q9	q10 * L		q5 * L		q4 * L
q10	q7 1 L	q7 _E		q4 * L

Перевод числа из однотипных знаков в десятичную смстему счисления.

1

2

3

4

5

6

8 9

0

*

_

Q1

q3 2 N

q3 3 N

q3 4 N

q3 5 N

q3 6 N

q3 7 N

q3 9 Nq1 0 L

q3 1 N

q1 *L

q3 1 N

Q2

q2 1 R

q2 2 R

q2 3 R

q2 4 R

q2 5 R

q2 6 R

q2 8 Rq2 9 R

q2 0 R

q1 _ R

q2 _ L

Q3

q3 1 R

q3 2 R

q3 3 R

q3 4 R

q3 5 R

q3 6 R

q3 8 Rq3 9 R

q3 0 R

q1 * R

q1 _ L

Сложение. Во введенном представлении сложить числа a и b - это значит слово 1^a*1^b переработать в слово 1^a+b, т.е. удалить разделитель * и сдвинуть одно из слагаемых, скажем первое, к другому. Это преобразование осуществляет машина T₊ со следующей системой команд:

	1	*	_
q1	q2 _ R	q2 _ R
q2	q2 1 R	q3 1 L
q3	q3 1 L		q3 _E

Начальное состояние : {q₁E} , каретка на левом числе.

Копирование ( перезапись слова ) слова, т.е. переработка слова а в а*а. Для чисел эту задачу решает машина T_коп, система команд которой приведена в таблице :

	1	_	*	0
q1	q2 0 R	q1 _ E	q 1* L	q1 1 L
q2	q2 1 R	q3 * R	q3 * R
q3	q 31 R	q4 1 L
q4	q4 1 L		q4 * L	q1 0 R

Начальное состояние : {q₁E} , каретка на левой единице левого числа.

Машина при каждом проходе исходного слова 1^а заменяет левую из его единиц нулем и пишет (в состоянии q₃) одну единицу справа от 1^а в ближайшую пустую клетку. При первом проходе, кроме того, в состоянии q₂ ставится маркер *. Таким образом, копия 1^а строится за а проходов. После записи очередной единицы машина переходит в состояние q₄ , которое передвигает каретку влево от ближайшего нуля, после чего машина переходит в q₁ и цикл повторяется. Он прерывается, когда q₁ обнаруживает на ленте не единицу, а маркер. Это значит, что все единицы 1^а исчерпаны, т.е. сделано а проходов. Тогда каретка возвращается влево в свое исходное положение, заменяя по дороге все нули единицами.

Пример 3

	1	_	*	0
q1	q2 0 R	q6 _ R	q 1* L	q1 1 L
q2	q2 1 R	q3 * R	q3 * R
q3	q 31 R	q4 1 L
q4	q4 1 L		q4 * L	q1 0 R
q5	q6 _ R		q6 _ R
q6	q6 1 R		q7 1 L
q7	q7 1 L	q7 _E

Начальное состояние : {q₁E} , каретка на левой единице числа.

Это система команд машины T₊(T_коп). Она вычисляет функцию f(x)=2х , при этом машина T_коп строит два числа на ленте, а T₊ складывает их.

Пример 4

	1	_
q1	q3 1 R	q1 И E
q2	q3 1 R	q4 1 L
q3	q2 1 R	q5 1 L
q4	q4 _ L	q4 И E
q5	q5 _ L	q5 Л E

Начальное состояние : {q₁E} , каретка на левой единице числа.

Машина вычисляет предикат « а - четное число » : каретка достигает конца числа в состоянии q₂ , если число единиц четно, и в состоянии q₃ , если число единиц нечетно, после чего она перемещается в исходное положение в состоянии q₄ либо q₅ и печатает И либо Л соответственно. Для того, чтобы этот предикат вычислялся с восстановлением, достаточно не стирать, а сохранять единицы, т.е. заменить команды q₄_L и q₅_L на команды q₄1L и q₅1L .

Пример 5

а)

	1	_	*
q1	q2 _ R		q4 _ R
q2	q2 1 R		q4 1 R
q3	q3 1 L	q1 _ R
q4	q4 1 R	q5 _ L	q3 * L
q5	q5 1 L	q5 _ E

Начальное состояние : {q₁E} , каретка на левой единице числа.

Система команд машины T₊₊ для сложения n чисел. Цикл состояний q₁ , q₂ , q₃ - это « зацикленная » машина T₊ , в которой заключительное состояние совмещено с начальным. Сумма, полученная на очередном цикле, является первым слагаемым следующего цикла. Состояние q₄ реализует разветвление. В нем проверяется условие - есть ли второе слагаемое. Если да ( о чем говорит наличме маркера * ), то происходит переход к следующему циклу; если нет ( о чем говорит пробел поосле единиц ) , то машина выходит из цикла.

б) Пусть машина Т с алфавитом А_т не является правильно вычисляющей и ее заключительная конфигурация на ленте стандартна, но может содержать любые символы А_т ( кроме проделов ) , а результат интерпритируется как число, равное числу единиц на ленте. Построим для Т машину T`<sub>++</sub> , которая работает как T<sub>++</sub> , а все символы , кроме 1 и пробела , она воспринимает как маркеры , т.е. команды для них - те же, что и для *. Тогда T`₊₊ соберет все единицы в один массив и, следовательно, T`₊₊ (T(а)) правильно вычисляет функцию, вычисляемую машиной T.

Аналогично тому как из машины T₊ была построена T₊₊ , можно построить машину T_хх , которая перемножает несколько чисел, и по схеме с использованием T`<sub>хх</sub> вместо T`₊₊ построить машину, осуществляющую возведение в степень.

6. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

Отчет должен содержать:

• наименование работы;

• текст программы машины Тьюрига по индивидуальному заданию.

7. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что представляет собой машина Тьюринга?

2. Что называют внутренним , а что внешним состоянием машины Тьюринга?

3. Для чего предназначена каретка?

4. Какие команды могут быть использованы в программе машины Тьюринга?

4. Тьюринга?

5. Каким образом осуществляется композиция машин Тьюринга?

6. Что является памятью машины Тьюринга?

7. Что представляет из себя условный переход в алгоритмической ситстеме Тьюринга

8. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кузнецов Дискретная математика для инженеров. 1-е изд. -.:Наука.2008.-86

2. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. – М.: “Наука”, 2010 – 368 с.: ил.