8.2 Кручение прямоугольных стержней

При кручении прямоугольных стержней гипотеза плоских сечений не выполняется, так как сечения искривляются депланируют. Задача о кручении прямоугольных стержней решается в теории упругости.

Готовые формулы

h>b

Рис. 8.5 Эпюра касательных напряжений для некруглых стержней

В углах и центре тяжести 0

где W_k=b²h- момент сопротивления при кручении

I_k=b³h-

, ,-коэффициенты, зависят от соотношения

Некоторые значения коэффициентов , , .

	1	1,5	1,75	2	2,5	3	10
	0,208	0,231	0,239	0,246	0,256	0,267	0,313
	0,141	0,196	0,214	0,229	0,249	0,263	0,313
	1	0,869	0,82	0,795	0,766	0,753	0,742

Абсолютный угол закручивания вала, состоящего из nучастков -.

Пример (К-1)

Дано (рис. 8.6)

Решение

первый участок

второй участок

третий участок

так как мы приняли за диаметр трубки диаметр D₁, то пересчитаем момент сопротивления

найдем угол закручивания стержня

М

Рис. 8.6 Эпюра крутящих моментов

Рис. 8.7 Эпюра касательных напряжений для различных сечений стержня

9. Геометрические характеристики плоских сечений

Рассмотрим произвольное плоское сечение (рис. 9.1). Выделим элементарную площадку dFи определим ее характеристики.

dF

y

x

Рис. 9.1 Произвольное плоское сечение тела

Статистический момент инерции сечения.

Называется S_x иS_yотносительно осейxиy

интегральная сумма произведения элементарных площадок на их расстояние до оси.

=> [S]=м³

Используется для определения центра тяжести касательных напряжений при изгибе.

Координаты центра тяжести сечения

Если фигура состоит из нескольких простых

Осевой момент инерции сечения.

[м⁴]

[м⁴]

Главная характеристика при расчетах на изгиб.

Центробежный момент инерции скольжения – интегральная сумма произведения элементарных площадок на расстояние до осей.

[м⁴]

Полярный момент инерции.

[м⁴]

Радиус инерции.

Осевой момент сопротивления.

W_x,W_y[м²]

Для сечения, имеющего две оси симметрии:

Для сечения, имеющего одну ось симметрии:

полярный момент сопротивления

Пример

dF=bdy

I_x= ?

тогда

9.1 Геометрические характеристики простых сечений

Вид сечения	Координата ц.т.	Ixc	Iyc	Ixc,ycцентробежн момент ин-и	Примечания
				0
				0
				0

9.2 Параллельный перенос осей

y₁

y

x

b

y

x

a

x₁

Рис. 9.2 Параллельный перенос осей

Дано: F,a,b,I_x,I_y,I_xy; (рис. 9.2)

Найти: I_x1, I_y1, I_x1y1;

Решение:

Если оси xиyцентральные, тоSx=Sy=0 и формулы имеют вид:

В общем виде формулы параллельного переноса имеют вид:

nчисло составных частей

9.3 Поворот осей

Рис. 9.3 Поворот осей

Дано: I_x, I_y, I_xy,(рис. 9.3)

Найти:I_x1, I_x2, I_x1y1

Решение:

Исследуем на экстремум I_x1

- ось максимума

- ось минимума

- сумма осевых моментов инерции при повороте осей инвариантна (=const)

Оси, относительно которых центробежный момент равен 0, называются главными. Моменты инерции относительно этих осей принимают максимальные и минимальные значения:

, - главные моменты инерции

Главные оси, u,v, проходящие через центр тяжести сечения, называютсяглавными центральными.

Главные центральные моменты сечения:

Если сечение обладает симметрией, то оси симметрии и являются главными осями.