6. Теория вероятностей

6.1 События. Операции над событиями

1. Событие, которое в результате данного испытания может произойти, а может и не произойти, называется случайным событием. Обозначаются события: A, B, ….

2. Событие называется достоверным в данном испытании, если оно в этом испытании непременно произойдет. Обозначается U.

3. Событие называется невозможным в данном испытании, если оно в этом испытании заведомо не произойдет. Обозначается V.

4. Два (или несколько) событий называются несовместимыми (или несовместными), если появление одного из них исключает возможность появления другого (других) в одном и том же испытании.

5. События называются единственно возможными, если в данном испытании одно из них непременно произойдет.

6. События называются равно возможными в данном испытании, если условия их появления одинаковые и нет оснований утверждать, что какое-нибудь имеет больше шансов появиться, чем другое в одном и том же испытании.

7. Суммой двух событий А и В называется событие С=А+В, состоящее в появлении или А, или В, или обоих вместе.

8. Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий, т. е. или , или , …, или , или какой-то их части, или всех вместе.

9. Суммой двух несовместных событий А и В называется событие, состоящее в появлении или А, или В.

10. Произведением или общей частью событий А и В называется событие , состоящее в появлении и А, и В одновременно.

6.2 Вероятность события

Вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всевозможных элементарных исходов испытания, т. е. , где m – число элементарных исходов, при которых наступает событие А (благоприятствующие исходы), n – число всех возможных исходов данного испытания. Это классическое определение вероятности события.

1) Пусть U – достоверное событие, тогда любой исход испытания благоприятен наступлению U, т. е. m=n, тогда

P(U)=1.

2) V – невозможное событие, тогда ни один исход испытания не будет благоприятствующим, т. е. m=0, тогда

P(V)=0.

3) А – случайное событие, 0<m<n, тогда , т. е.

0<P(A)<1.

Пример. Монету бросаем два раза. Определить вероятность того, что герб появится не менее одного раза.

Пусть А – событие, состоящее в появлении герба не менее одного раза. Элементарные исходы такие ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ, всего четыре исхода, из них благоприятствующих появлению события А – три, тогда .

6.3 Элементы комбинаторики

1. Пусть имеем три элемента a, b, c. Образуем из них комбинации (выборки) по два элемента: ab, ba, ac, ca, bc, cb – их шесть штук. Они отличаются друг от друга или элементами, или порядком следования элементов. Такие выборки называются размещениями, обозначаются .

.

2. Выборки, отличающиеся друг от друга только порядком расположения элементов, называются перестановками, обозначаются .

3. Выборки, отличающиеся одна от другой хотя бы одним элементом, называются сочетаниями, обозначаются .

,

или

.

Следует помнить, что .

Пример. Среди 20 студентов группы, в которой 6 девушек, разыгрываются пять билетов. Определить вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся две девушки.

Решение.

5 билетов среди 20 человек можно распределить способами. 3 билета среди 14 юношей можно распределить способами, 2 билета среди 6 девушек можно распределить способами. Каждая пара девушек может сочетаться с любой тройкой юношей, т. е. число благоприятных исходов , а число всех возможных исходов . Тогда

.