4.2 Дифференциальные уравнения 1 порядка

ДУ первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную:

или в явном виде

(1)

Теорема Коши. Если в уравнении (1) функции , определены и непрерывны в некоторой области изменения переменных x и y , то какова бы ни была внутренняя точка этой области, ДУ имеет единственное решение y=y(x) , удовлетворяющее начальным условиям

(2)

Геометрически это означает, что через каждую внутреннюю точку проходит единственная интегральная кривая.

Определение . Функция y=y(x, С), зависящая от аргумента и произвольной постоянной С, называется общим решением ДУ, если

1) при любых значениях С функция y =y(x, С) является решением уравнения (1);

2) Какова бы ни была точка , существует единственное значение постоянной такое, что – есть решение (1), удовлетворяющее начальным условиям (2).

4.3 Ду с разделяющимися переменными

ДУ называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде ,

где правая часть есть произведение сомножителей, каждый из которых является функцией только одной переменной.

Способ решения: разделение переменных по соответствующим дифференциалам (при dx должна стоять функция, зависящая от x, при dy – функция зависящая от y).

Пример:

1) ;

;

;

;

;

– общее решение ДУ.

2) Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Найдем общее решение

– общее решение. Выделим из него частное, удовлетворяющее начальным условиям , .

; С=-22, тогда

– из всего семейства интегральных кривых (парабол) выделили одну, проходящую через заданную точку (4; 2).

4.4 Однородные функции

Функция f(x,y) называется однородной k-ой степени однородности, если выполняется равенство:

.

В частности, если

– функция однородная нулевой степени однородности.

Примеры

1) .

– однородная функция второй степени однородности.

2) .

– однородная функция нулевой степени однородности.

4.5 Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

ДУ первого порядка называется однородным, если его можно представить в виде , где – однородная функция нулевой степени однородности. Однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y=xt, dy=xdt+tdx.

Примеры

1) ;

xdy=(x+y)dx, y=xt, dy=xdt+tdx

x(xdt+tdx)=(x+xt)dx

xdt+tdx=(1+t)dx

xdt+tdx=dx+tdx

xdt=dx

, вернемся к старой переменной

.

2)

Пусть y=xt, dy=xdt+tdx,

;

-е^-t=ln|x|+C.

Вернемся к старым переменным: .

4.6 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

ДУ первого порядка называется линейным, если его можно представить в виде , где P(x), Q(x) – заданные функции (функция y и ее производная или дифференциал dy входят в уравнение линейно, т.е. в первой степени и порознь друг от друга).

Один из способов решения – метод Бернулли (подстановка Бернулли).

Будем искать решение в виде y=UV, тогда Подставим в уравнение

.Выберем V так, чтобы , тогда .

Таким образом, решение данного линейного уравнения сводится к последовательному решению двух уравнений с разделяющимися переменными:

, решая его находим V, подставляем V во второе:

, из которого находим U.

Тогда решение первоначального уравнения имеет вид

Примеры (см. задание 4):

1) .

Пусть , тогда ,

, сведем его к двум уравнениям

1) ;

2) , решаем их последовательно.

а)

(ищем частный интеграл)

V = cos x.

б)

U = sin x + C,

Тогда решение первоначального уравнения имеет вид

.

2) , при .

;

; ;

а)

б)

– общее решение. Выделим частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: ; ;