4.9 Системы дифференциальных уравнений
Во многих прикладных задачах требуется определить сразу несколько функций, связанных между собой несколькими дифференциальными уравнениями. Совокупность таких уравнений называется системой ДУ
В дальнейшем ограничимся рассмотрением систем в нормальной форме (в таких системах правые части уравнений не содержат производных искомых функций).
Для интегрирования этой системы применим
метод исключения, с помощью которого
данная система двух уравнений относительно
двух искомых функций
сводится к одному уравнению второго
порядка относительно одной неизвестной
функции.
Пример
Запишем систему иначе:
Из первого уравнения, например, выразим y (можно выразить x):
Найдем производную:
Подставим во второе уравнение системы y и y’, выраженные через x(t).
,
упростим:
,
.
Получили дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами относительно неизвестной функции x (см. предыдущий раздел). Решим его.
:
По теореме Виета:
Найдем другую неизвестную функцию:
=
=3С1e5t-C2et,
т. е. решение системы имеет вид:
.
– произвольные постоянные.
5 Ряды
5.1 Ряд, сходимость, сумма.
Пусть дана последовательность чисел
Числовым рядом называется выражение
.
(1)
Сумма первых членов называется частичной суммой.
Частичные суммы образуют в свою очередь
последовательность
,
которая для одних рядов сходится, для
других – расходится.
Ряд (1) называется сходящимся, если
существует конечный предел последовательности
частичных сумм
.
S называется суммой ряда. Если этот предел не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся.
Расходящиеся ряды суммы не имеют.
5.2 Свойства сходящихся числовых рядов.
Если ряд
сходится
и имеет сумму S, то
ряд
сходится и имеет сумму CS.Если ряды и
сходятся и имеют суммы
и
соответственно, то сходятся и ряды
и имеют суммы
.Добавление и отбрасывание конечного числа слагаемых не влияет на характер сходимости ряда.
5.3 Знакоположительные ряды. Необходимый признак сходимости.
Теорема. Если ряд
сходится,
то
.
Обратное утверждение неверно: если , то ряд может и сходиться и расходиться.
Следствие (достаточный признак расходимости ряда):
Если
,
то ряд
расходится.
Примеры.
1)
– ряд расходится.
2)
– ничего нельзя сказать о характере
сходимости ряда. Нужны дополнительные
исследования с помощью других признаков.
5.4 Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.
1 Признак сравнения.
Даны два знакоположительных ряда
и
.
Пусть, начиная с некоторого n,
может быть и с n=1,
выполняется
,
тогда:
а) если сходится, то сходится и ;
б) если расходится, то расходится и .
Следствие: если существует
,
конечное число, то ряды сходятся или
расходятся одновременно.
Для использования этого признака удобно
выбирать ряд, составленный из членов
геометрической прогрессии
,
который сходится при
и расходится при
,
а также обобщенный гармонический ряд
,
который сходится при
и расходится при
.
2 Признак Даламбера.
Пусть
и существует
.
Тогда при q<1 ряд
сходится, при q>1
– расходится, при q=1
– сомнительный случай (нужно исследовать
с помощью других признаков).
3 Радикальный признак Коши.
Пусть
и существует
.
Тогда при p<1 ряд
сходится, при p>1
– расходится, при p=1
– сомнительный случай.
4 Интегральный признак Коши.
Дан знакоположительный ряд
|
(1) |
Пусть
– непрерывная, положительная, монотонно
убывающая функция, определенная при
и такова, что члены ряда являются
значениями функции при
,
т. е.
,
,
…,
,…,
тогда ряд (1) и несобственный интеграл
сходятся или расходятся одновременно.
План исследования знакоположительных рядов
Находим
.
Если
,
то ряд расходится, исследование
закончено.Если
,
применяем один (подходящий) из достаточных
признаков сходимости.Делаем вывод о сходимости ряда.
Примеры.
1)
Напоминаем, что
;
0!=1;
.
– ряд, расходящийся по признаку Даламбера.
2)
– ряд сходится по радикальному признаку
Коши.
3)
сравним с
– сходящимся (как обобщенный гармонический
при k>1). Используем
следствие из признака сравнения:
– конечное, не равное нулю число, тогда
ряды ведут себя одинаково, т. е. сходятся.