5.4 Знакопеременные ряды
Это ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены. Частным случаем таких рядов являются знакочередующиеся ряды: ряды, в которых за каждым положительным членом следует отрицательный и за каждым отрицательным членом следует положительный:
или
.
Признак Лейбница.
Если в знакочередующемся ряде
1) абсолютные величины членов ряда
убывают
;
2) ,
то знакочередующийся ряд сходится и его сумма не превосходит модуля первого члена.
Следствие. Пусть знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница. Если сумму этого ряда заменить суммой n первых членов, то погрешность, допускаемая при этом не превосходит модуля первого отброшенного члена.
Рассмотрим знакочередующийся ряд
и ряд, составленный из абсолютных его
величин. Если ряд, составленный из
абсолютных величин, сходится, то
знакопеременный ряд называется абсолютно
сходящимся рядом. Если знакопеременный
ряд сходится, а ряд, составленный из
абсолютных величин, расходится, то
знакопеременный ряд называется условно
сходящимся.
Пример. Исследовать на условную и абсолютную сходимость ряд.
Это знакочередующийся ряд. Применим признак Лейбница.
1)
;
2)
.
=> ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем ряд на условную и абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда.
– это обобщенный гармонический ряд, он
сходится, так как k=3>1,
тогда знакочередующийся ряд
является абсолютно сходящимся рядом.
5.5 Степенные ряды
Степенным рядом называется ряд вида:
,
где
– постоянные величины, коэффициенты
ряда, число a – центр
ряда.
При a=0 имеем
|
(1) |
При
степенной ряд (1) принимает вид
|
(2) |
Это уже числовой ряд. он может сходиться или расходиться.
Если ряд (2) сходится, то
– точка сходимости степенного ряда
(1). Если ряд (2) расходится, то
– точка расходимости. Совокупность
точек сходимости называется областью
сходимости степенного ряда.
Теорема Абеля. Для любого степенного
ряда (1) существует интервал
,
внутри которого ряд сходится абсолютно,
вне его расходится, а на границах может
иметь различный характер сходимости.
– радиус интервала сходимости.
– интервал сходимости.
Если R=0, то точка x=0 – единственная точка сходимости.
Если R=, то ряд сходится на всей числовой оси.
Пример.
1) Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала.
.
Тогда (-5; 5) – интервал, внутри которого ряд сходится абсолютно. Исследуем характер сходимости ряда на границах.
1) x=–5, тогда степенной ряд примет вид
.
Это знакочередующийся ряд. Для него применим признак Лейбница:
1)
– не выполнено первое условие признака
Лейбница, тогда ряд
расходится, точка
– точка расходимости.
2) x=5;
– ряд расходится по следствию из
необходимого признака, тогда x=5
– точка расходимости.
(-5; 5) – область сходимости данного степенного ряда.
2)
.
– интервал сходимости данного степенного
ряда. Исследуем на границах:
1)
,
тогда степенной ряд примет вид:
– это знакочередующийся ряд. Проверим
два условия:
1)
;
2)
,
тогда ряд
сходится по признаку Лейбница, точка
– есть точка сходимости первоначального
степенного ряда, она входит в область
сходимости.
2)
.
Сравним этот ряд с гармоническим
,
который, как известно, расходится.
– конечное число, тогда по следствию
из признака сравнения ряды ведут себя
одинаково, т. е. оба расходятся, поэтому
точка
– точка расходимости начального
степенного ряда.
– область сходимости степенного ряда.