4.8 Линейные неоднородные ду второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Это уравнение вида:

,

(3)

где

– многочлены степениnиmсоответственно.

– постоянные величины.

Известно, что общее решение таких уравнений имеет вид

,

где – какое-либо частное решение неоднородного уравнения (3),

– общее решение соответствующего однородного уравнения

Частное решение уравнения (3) ищем в виде, подобном правой части:

,

(4)

где многочленыk-той степени с неизвестными коэффициентами, определяемыми в процессе решения,k=max{n,m}.

При этом следует составить число , где– коэффициент приxв показателе,– коэффициент приxв аргументе синуса или косинуса (если один из них отсутствует). Если это числоне является корнем характеристического уравнения, тов виде (4) оставляем без изменения, еслиесть корень кратностиs (повторяетсяsраз), то выбранныйдомножаем на.

Примеры

1) Если , то смотрим является ли корнем характеристического уравнения число,

8 – многочлен нулевой степени, в общем виде это некоторое число, т.е. выбираем .

2)

.

После предварительного выбора проверяем, является ли числокорнем характеристического уравнения. Далее находим первую, вторую производную, подставляем их в первоначальное уравнение и находимA, B, C.

Примеры (см. задание 5):

а) Найдем , решим соответствующее однородное уравнение

, составим характеристическое уравнение

,

(корень кратности 2 – повторяется 2 раза),

тогда -общее решение соответствующего однородного уравнения.

б) Найдем . Его будем искать в виде, подобном правой части. Там-это многочлен второй степени, в общем виде это, т.е.

.

Число не является корнем характеристического уравнения, значит,оставим в выбранном виде. Теперь найдем неизвестные коэффициенты. Так как– есть решение первоначального дифференциального уравнения, то оно обращает это уравнение в тождество. Найдеми подставим в первоначальное уравнение

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного. Приравняем коэффициенты при (свободный член) в обеих частях

тогда

.

Общее решение

.

,

а) -решаем соответствующее однородное уравнение. Составим его характеристическое уравнение.

б) ,

-является корнем характеристического уравнения, тогдадомножим наx , так как параповторяется один раз, тогда окончательно

.

Найдем AиB.

Подставим в первоначальное ДУ

Приравниваем коэффициенты при sin x и cos x

,

тогда .

Замечание.Если в правой части отсутствуюти, частное решение ищем все равно в виде суммы двух слагаемых.

4.9 Системы дифференциальных уравнений

Во многих прикладных задачах требуется определить сразу несколько функций, связанных между собой несколькими дифференциальными уравнениями. Совокупность таких уравнений называется системой ДУ

В дальнейшем ограничимся рассмотрением систем в нормальной форме (в таких системах правые части уравнений не содержат производных искомых функций).

Для интегрирования этой системы применим метод исключения, с помощью которого данная система двух уравнений относительно двух искомых функций сводится к одному уравнению второго порядка относительно одной неизвестной функции.

Пример

Запишем систему иначе:

Из первого уравнения, например, выразим y(можно выразитьx):

Найдем производную:

Подставим во второе уравнение системы yи y’, выраженные черезx(t).

, упростим:

,

.

Получили дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами относительно неизвестной функции x(см. предыдущий раздел). Решим его.

:

По теореме Виета:

Найдем другую неизвестную функцию:

=

=3С₁e^5t-C₂e^t,

т. е. решение системы имеет вид:

.

– произвольные постоянные.

5 Ряды

5.1 Ряд, сходимость, сумма.

Пусть дана последовательность чисел

Числовым рядомназывается выражение

. (1)

Сумма первых членов называется частичной суммой.

Частичные суммы образуют в свою очередь последовательность , которая для одних рядов сходится, для других – расходится.

Ряд (1) называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм.

Sназывается суммой ряда. Если этот предел не существует или равен бесконечности, то ряд называетсярасходящимся.

Расходящиеся ряды суммы не имеют.

5.2 Свойства сходящихся числовых рядов.

1. Если ряд сходится и имеет суммуS, то рядсходится и имеет суммуCS.

2. Если ряды исходятся и имеют суммыисоответственно, то сходятся и рядыи имеют суммы.

3. Добавление и отбрасывание конечного числа слагаемых не влияет на характер сходимости ряда.

5.3 Знакоположительные ряды. Необходимый признак сходимости.

Теорема. Если ряд сходится, то.

Обратное утверждение неверно: если , то ряд может и сходиться и расходиться.

Следствие(достаточный признак расходимости ряда):

Если , то рядрасходится.

Примеры.

1) – ряд расходится.

2) – ничего нельзя сказать о характере сходимости ряда. Нужны дополнительные исследования с помощью других признаков.

5.4 Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

1 Признак сравнения.

Даны два знакоположительных ряда и. Пусть, начиная с некоторогоn, может быть и сn=1, выполняется, тогда:

а) если сходится, то сходится и;

б) если расходится, то расходится и.

Следствие: если существует, конечное число, то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Для использования этого признака удобно выбирать ряд, составленный из членов геометрической прогрессии , который сходится прии расходится при, а также обобщенный гармонический ряд, который сходится прии расходится при.

2 Признак Даламбера.

Пусть и существует. Тогда приq<1 ряд сходится, при q>1 – расходится, приq=1 – сомнительный случай (нужно исследовать с помощью других признаков).

3 Радикальный признак Коши.

Пусть и существует. Тогда приp<1 ряд сходится, при p>1 – расходится, приp=1 – сомнительный случай.

4 Интегральный признак Коши.

Дан знакоположительный ряд

(1)

Пусть – непрерывная, положительная, монотонно убывающая функция, определенная прии такова, что члены ряда являются значениями функции при, т. е.,, …,,…, тогда ряд (1) и несобственный интегралсходятся или расходятся одновременно.

План исследования знакоположительных рядов

1. Находим . Если, то ряд расходится, исследование закончено.

2. Если , применяем один (подходящий) из достаточных признаков сходимости.

3. Делаем вывод о сходимости ряда.

Примеры.

1)

Напоминаем, что

; 0!=1;

.

– ряд, расходящийся по признаку Даламбера.

2) – ряд сходится по радикальному признаку Коши.

3) сравним с– сходящимся (как обобщенный гармоническийприk>1). Используем следствие из признака сравнения:– конечное, не равное нулю число, тогда ряды ведут себя одинаково, т. е. сходятся.