Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)
.pdf202 |
змбœб 8. фептйс жетнй-цйдлпуфй |
пФНЕФЙН, ЮФП РТЙ κ p0 ПФОПУЙФЕМШОП НЕДМЕООП ХВЩŒБАЭЙК ЖТЙДЕМЕŒУЛЙК ŒЛМБД (8.67) ОЕ РТПФЙŒПТЕЮЙФ ЬЛУРПОЕОГЙБМШОПК ЪБŒЙУЙНПУФЙ (8.28). юФПВЩ Œ ЬФПН ХВЕДЙФШУС, ДПУФБФПЮОП ХУТЕДОЙФШ ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ РПФЕОГЙБМБ (8.64) РП ВПМШЫПНХ ЮЙУМХ ПУГЙММСГЙК. хУТЕДОЕООЩК РПФЕОГЙБМ УРБДБЕФ ЬЛУРПОЕОГЙБМШОП, Œ УППФŒЕФУФŒЙЙ У (8.28).
тЕЫЕОЙЕ 45 В. тБУУНПФТЙН ЪБДБЮХ ПВ ЬЛТБОЙТПŒЛЕ Œ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ, РПМШЪХСУШ РТЕДУФБŒМЕОЙЕН ПУГЙММСФПТПŒ (8.23), (8.24). œЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ У ŒОЕЫОЙН РПМЕН (8.30) МЙОЕКОП РП УНЕЭЕОЙСН ПУГЙММСФПТПŒ:
|
1 |
k |
|
Hext = |
2 |
V−(ext)k (2!p;k)1=2’p;k + h:c: |
(8.68) |
|
|
|
|
|
|
k p R |
|
оБН РПОБДПВСФУС УТЕДОЙЕ УНЕЭЕОЙС ПУГЙММСФПТПŒ, ЛПФПТЩЕ ОЕФТХДОП ОБКФЙ ЙЪ ХТБŒ-
ОЕОЙК |
p |
k |
|
|
|
|
!p2 |
;k’p;k + (!p;k)1=2Vk |
(!p ;k)1=2’p ;k = (2!p;k)1=2Vk(ext) |
: |
(8.69) |
||
|
R |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рПМШЪХСУШ ŒЩТБЦЕОЙЕН (8.16), ЪБРЙУЩŒБЕН ЗБТНПОЙЛЙ РМПФОПУФЙ |
|
|
||||
|
p k |
|
|
|
|
|
|
jk = |
(2!p;k)1=2’p;k |
|
|
(8.70) |
|
|
|
R |
|
|
|
|
Й, ТЕЫБС ХТБŒОЕОЙС (8.69), ОБИПДЙН |
|
|
p k |
|
|
|
jk(1 − ˝(k)Vk) = ˝(k)Vk(ext) ; |
ÇÄÅ ˝(k) = − |
|
|
|||
4=!p;k |
|
(8.71) |
||||
R
уПЗМБУОП ЪБДБЮЕ 44 Œ, ˝(k) ЕУФШ ОЕ ЮФП ЙОПЕ, ЛБЛ РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ ˝(!; k) РТЙ ! = 0. рПЬФПНХ ЪБЬЛТБОЙТПŒБООЩК РПФЕОГЙБМ
(tot) |
(ext) |
+ Vkjk = |
Vk(ext) |
Vk |
= Vk |
(8.72) |
|
|
|
1 |
− Vk˝(k) |
УПŒРБДБЕФ У (8.64).
тЕЫЕОЙЕ 46 Б. œ РЕТŒПН РПТСДЛЕ РП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА ЙНЕЕФУС ДŒБ ŒЛМБДБ Œ УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ, РПЛБЪБООЩИ ОБ ТЙУ. 8.4. œ УМХЮБЕ ЛПТПФЛПДЕКУФŒЙС ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП ŒОХФТЕООЙН ЮБУФПФЕ Й ЙНРХМШУХ ДБАФ РТПУФП РМПФОПУФШ ЮБУФЙГ, Œ РЕТŒПК ДЙБЗТБННЕ n↑ + n↓, Б ŒП ŒФПТПК | n↑ ÉÌÉ n↓, Œ ЪБŒЙУЙНПУФЙ ПФ УРЙОПŒПЗП ЙОДЕЛУБ ŒОЕЫОЕК МЙОЙЙ. рТЙ ЬФПН УХЭЕУФŒЕООП, ЮФП ЪОБЛЙ РЕТŒПЗП Й ŒФПТПЗП ŒЛМБДПŒ РТПФЙŒПРПМПЦОЩ, РПУЛПМШЛХ ŒП ŒФПТПК ДЙБЗТБННЕ ОБ ТЙУ. 8.4 ПФУХФУФŒХЕФ ЖЕТНЙПООБС РЕФМС. рПЬФПНХ
˚↑ = g(n↑ + n↓) − gn↑ = gn↓ |
|
˚↓ = g(n↑ + n↓) − gn↓ = gn↑ |
(8.73) |
œЕМЙЮЙОБ ˚ ЕУФШ УДŒЙЗ ИЙНРПФЕОГЙБМБ Œ ТЕЪХМШФБФЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. фП ПВУФПСФЕМШУФŒП, ЮФП ˚ ДМС ЮБУФЙГ У ПДОПК РПМСТЙЪБГЙЕК УРЙОБ ЪБŒЙУЙФ ФПМШЛП ПФ РМПФОПУФЙ
204 |
змбœб 8. фептйс жетнй-цйдлпуфй |
œ УФБФЙЮЕУЛПН РТЕДЕМЕ k; ! → 0, k !=vF , РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ ˝ = − 0. (œ ДБООПН УМХЮБЕ УХННЙТПŒБОЙС РП УРЙОБН Œ ˝ ОЕ РТПЙЪŒПДЙФУС, РПЬФПНХ ПФŒЕФ ДБЕФУС РМПФОПУФША УПУФПСОЙК 0 У ПДОПК РТПЕЛГЙЕК УРЙОБ.) рПДУФБŒМСС ˝ = − 0 Œ (8.80), РПМХЮБЕН ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ (8.32).
тБУИПДЙНПУФШ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ РТЙ g 0 → 1 ПЪОБЮБЕФ, ЮФП УЙУФЕНБ УФБОПŒЙФУС ОЕХУФПКЮЙŒПК РП ПФОПЫЕОЙА Л УРЙОПŒЩН ЖМХЛФХБГЙСН. ьФБ ОЕХУФПКЮЙŒПУФШ УŒСЪБОБ
У РЕТЕИПДПН Œ ЖЕТТПНБЗОЙФОПЕ УПУФПСОЙЕ.
лТЙФЕТЙК ЖЕТТПНБЗОЙФОПЗП РЕТЕИПДБ 0g > 1 ОБЪЩŒБЕФУС УППФОПЫЕОЙЕН уФПОЕТБ. пОП НПЦЕФ ВЩФШ РПМХЮЕОП ЬМЕНЕОФБТОЩНЙ УТЕДУФŒБНЙ. рХУФШ n↑ É n↓ | РМПФОПУФЙ ЬМЕЛФТПОПŒ УП УРЙОБНЙ ŒŒЕТИ Й ŒОЙЪ УППФŒЕФУФŒЕООП. фПЗДБ УТЕДОСС РМПФОПУФШ УРЙОБ ТБŒОБ m = n↑ − n↓, Б РПМОБС РМПФОПУФШ ЮБУФЙГ n0 = n↑ + n↓. œ ПУОПŒОПН УПУФПСОЙЙ ЖЕТНЙ-ЗБЪБ n↑ = n↓ = n0=2. рХУФШ Œ УЙУФЕНЕ ЛБЛЙН-ФП ПВТБЪПН ЮЙУМП ЬМЕЛФТПОПŒ УП УРЙОПН ŒŒЕТИ РТЕŒЩЫБЕФ ЮЙУМП ЬМЕЛФТПОПŒ УП УРЙОПН ŒОЙЪ. ьОЕТЗЙС ФБЛПЗП УПУФПСОЙС ПФМЙЮБЕФУС ПФ ЬОЕТЗЙЙ ПУОПŒОПЗП УПУФПСОЙС. œЩЮЙУМЙŒ ЬОЕТЗЙА ЙДЕБМШОПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ ЛБЛ ЖХОЛГЙА ЕЗП РМПФОПУФЙ Й ТБЪМПЦЙŒ ДП ŒФПТПЗП РПТСДЛБ РП ПФЛМПОЕОЙА РМПФОПУФЙ ПФ ТБŒОПŒЕУОПК, РПМХЮЙН
‹Efree = |
1 |
‹n↑2 + ‹n↓2 = m2=(4 0) : |
(8.81) |
2 0 |
фЕРЕТШ ŒЩЮЙУМЙН ЬОЕТЗЙА ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ЬМЕЛФТПОПŒ. рПУЛПМШЛХ V (r −r ) = g‹(r − r ), ФП ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАФ МЙЫШ ЬМЕЛФТПОЩ У РТПФЙŒПРПМПЦОП ОБРТБŒМЕООЩНЙ УРЙОБНЙ (ЙВП ДŒБ ЬМЕЛФТПОБ У ПДЙОБЛПŒЩНЙ УРЙОБНЙ ОЕ НПЗХФ ПДОПŒТЕНЕООП ОБИПДЙФШУС Œ ПДОПК ФПЮЛЕ). рПЬФПНХ ЬОЕТЗЙС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ЬМЕЛФТПОПŒ ЕУФШ g n↑ n↓, ПФЛХДБ
‹Eint = g ‹n↑ ‹n↓ = −(g=4) m2 : |
(8.82) |
фБЛЙН ПВТБЪПН, ЬОЕТЗЙС УЙУФЕНЩ ЪБŒЙУЙФ ПФ НБЗОЙФОПЗП НПНЕОФБ УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:
‹Etot = (m2=4 0) (1 − g 0) : |
(8.83) |
фЕРЕТШ ŒЙДОП, ЮФП РТЙ g 0 < 1 РПСŒМЕОЙЕ ОЕОХМЕŒПЗП НБЗОЙФОПЗП НПНЕОФБ ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛЙ ОЕŒЩЗПДОП, Б РТЙ g 0 > 1 | ŒЩЗПДОП. œ ЬФПН Й УПУФПЙФ РТЙЮЙОБ ПВОБТХЦЕООПК ОБНЙ ОЕХУФПКЮЙŒПУФЙ.
тЕЫЕОЙЕ 47. œПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ (!; k) ДБЕФУС Œ ПВЭЕН ŒЙДЕ ДЙБЗТБННБНЙ МЕУФОЙЮОПЗП ТСДБ, ЙЪПВТБЦЕООПЗП ОБ ТЙУ. 8.5. уХННБ ЬФПЗП ТСДБ ЕУФШ
(!; k) = −2— |
2 |
˝↑↓(!; k) |
: |
(8.84) |
|
1 + g˝↑↓(!; k) |
ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ РПМХЮБЕФУС ФПЮОП ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ (8.80), РТЙЮЕН Œ ДБООПН УМХЮБЕ РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ ˝↑↓(!; k) ОХЦОП ОБКФЙ ДМС УПУФПСОЙС, РПМСТЙЪПŒБООПЗП ŒОЕЫОЙН РПМЕН.
йОФЕТЕУХАЭЙК ОБУ РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ ЕУФШ
˝↑↓(!; k) = i |
G↑("−; p−)G↓("+; p+) (2ıh—)4 ; |
(8.85) |
|
d3p d" |
|
8.5. теыеойс |
205 |
ÇÄÅ "± = " ± !=2, p± = p ± k=2, Б УППФŒЕФУФŒХАЭЙЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ВЩМЙ ОБКДЕОЩ Œ ЪБДБЮЕ 46 Б.
рПДУФБŒМСС Œ (8.85) ŒЩТБЦЕОЙС (8.74) ДМС G↑ É G↓, Й ЙОФЕЗТЙТХС РП ЮБУФПФЕ ",
ОБИПДЙН |
↑↓ |
|
|
! − kv − 2!B − ˚↑ + ˚↓ (2ıh—)3 |
|
|
|
˝ |
|
(!; k) = |
|
n↓(p−) − n↑(p+) |
d3p |
; |
(8.86) |
ÇÄÅ n↑(p) É n↓(p) | ТБУРТЕДЕМЕОЙС жЕТНЙ ДМС ДŒХИ РПМСТЙЪБГЙК УРЙОБ. œЕМЙЮЙОЩ ˚↑ É ˚↓ ДБАФУС ŒЩТБЦЕОЙСНЙ (8.73), ЛБЛ Й ТБОШЫЕ.
тЕЫЕОЙЕ 47 Б. рХУФШ k = 0. œ ЬФПН УМХЮБЕ РПДЙОФЕЗТБМШОПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ Œ (8.86)
ЪБŒЙУЙФ ПФ p ФПМШЛП ЮЕТЕЪ n |
(p) Й n (p). рПЬФПНХ ЙОФЕЗТБМ РП d3p ÄÁÅÔ |
|
||||||
|
|
|
|
↑ |
↓ |
n↓ − n↑ |
|
|
|
|
|
|
˝↑↓(!; k) = |
; |
(8.87) |
||
|
|
|
|
|
|
! − 2!B − gn↓ + gn↑ |
|
|
ÇÄÅ n↑ É n↓ | РМПФОПУФЙ ЮБУФЙГ УП УРЙОПН ŒŒЕТИ Й ŒОЙЪ. |
|
|||||||
рПДУФБŒМСС (8.87) Œ (8.84), РПМХЮБЕН |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
n↓ − n↑ |
= 2—2 n↓ − n↑ : |
|
|
|
(!) |
k=0 |
= 2—2 |
! − 2!B − g(n↓ − n↑) |
(8.88) |
||
|
|
|
1 + g |
n↓ − n↑ |
! − 2!B |
|
||
|
|
|
|
|
! − 2!B − g(n↓ − n↑) |
|
|
|
фБЛЙН ПВТБЪПН, РТЙ k = 0 РПРЕТЕЮОБС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ УПŒЕТЫЕООП ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. œ ЮБУФОПУФЙ, ТЕЪПОБОУОБС ЮБУФПФБ ! = 2!B ПУФБЕФУС ФБЛПК ЦЕ, ЛБЛ Œ ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕК УЙУФЕНЕ.
оЕФТХДОП ХВЕДЙФШУС Œ ФПН, ЮФП ХФŒЕТЦДЕОЙЕ ФЕПТЕНЩ мБТНПТБ ПВ ПФУХФУФŒЙЙ УДŒЙЗБ ТЕЪПОБОУОПК ЮБУФПФЩ УРТБŒЕДМЙŒП ДМС РТПЙЪŒПМШОПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, ОЕ ЪБŒЙУСЭЕЗП ПФ УРЙОБ. зБНЙМШФПОЙБО ЖЕТНЙПОПŒ Œ НБЗОЙФОПН РПМЕ ЕУФШ УХННБ (8.1) Й (8.31). рТЙ ЬФПН ЮМЕОЩ (8.1) ЛПННХФЙТХАФ У ПРЕТБФПТПН РПМОПЗП УРЙОБ УЙУФЕНЩ
|
|
¸(r) ¸˛i |
ds |
= i [ |
total; s] = i [ |
|
B ; s] = |
2—B |
|
s |
|
(8.89) |
|
si = |
˛ (r)d3r, Б ЪЕЕНБОПŒУЛЙК ЮМЕО (8.31) | ОЕФ. рПЬФПНХ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
H |
|
H |
|
− |
× |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
РТЕГЕУУЙС s РТПЙУИПДЙФ У ЮБУФПФПК 2! |
|
, ËÁË ÒÁÚ |
|||||
фП ПВУФПСФЕМШУФŒП, ЮФП УŒПВПДОБС |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
B |
|
||||||
Й ПЪОБЮБЕФ, ЮФП РТЙ ŒПЪВХЦДЕОЙЙ ŒОЕЫОЙН РЕТЕНЕООЩН РПМЕН ТЕЪПОБОУ ЙНЕЕФ НЕУФП РТЙ ! = 2!B .
тЕЫЕОЙЕ 47 В. тБУУНПФТЙН ФЕРЕТШ (!; k) РТЙ k = 0. нЩ ИПФЙН ОБКФЙ ЪБŒЙУЙНПУФШ РПМПЦЕОЙС РПМАУБ (! − !(k))−1 ПФ k. лБЛ УФБОЕФ СУОП ОЙЦЕ, ЙОФЕТЕУ РТЕДУФБŒМСАФ ПФОПУЙФЕМШОП НБМЩЕ |k| ≈ g(n↓ −n↑)=vF . рПЬФПНХ Œ УМБВПН НБЗОЙФОПН
ÐÏÌÅ !B EF , ЛПЗДБ n↓ − n↑ ntot, Œ ЮЙУМЙФЕМЕ (8.86) НПЦОП УДЕМБФШ ЪБНЕОХ: |
|
|||||||||
n↓(p−) − n↑(p+) −→ ´n ‹(|p|=p0 − 1) ; |
|
|
(8.90) |
|||||||
ÇÄÅ ´n = n↓ − n↑. йОФЕЗТБМ РП РПŒЕТИОПУФЙ ЖЕТНЙ-УЖЕТЩ МЕЗЛП ŒЩЮЙУМСЕФУС: |
|
|||||||||
´n |
ı |
|
sin „d„ |
´n |
!~ + kvF |
|
|
|||
˝↑↓(!; k) = 2 |
|
!~ |
− |
kvF cos „ |
= 2kvF |
ln !~ |
− |
kvF |
; |
(8.91) |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
206 |
змбœб 8. фептйс жетнй-цйдлпуфй |
ÇÄÅ !~ = ! − 2!B − g´n.
рПМАУ (!; k) ПРТЕДЕМСЕФУС ХТБŒОЕОЙЕН g˝↑↓(!; k) = −1, ТЕЫЕОЙЕ ЛПФПТПЗП Œ ДБООПН УМХЮБЕ ОЕФТХДОП ŒЩРЙУБФШ Œ СŒОПК ЖПТНЕ:
!(k) = 2!B + g´n − kvF cth u ; u = kvF =(g´n) : |
(8.92) |
ъБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ УРЙОПŒЩИ ŒПМО (8.92) ПВМБДБЕФ УМЕДХАЭЙНЙ УŒПКУФŒБНЙ: РТЙ u 1
!(k) = 2!B − k2vF2 =(3g´n) ; |
(8.93) |
gТЙ u 1 ŒЩТБЦЕОЙЕ (8.92) УФТЕНЙФУС Л 2!B + g´n − kvF . рТЙ ЬФПН ЮБУФПФБ !(k) ŒЕЭЕУФŒЕООБ ДМС ŒУЕИ u, Ф. Е. ЪБФХИБОЙЕ ПФУХФУФŒХЕФ.
пРЙУБООПЕ РПŒЕДЕОЙЕ РТЙ ВПМШЫЙИ u ПРТЕДЕМСЕФУС УЙОЗХМСТОПУФША ŒЩТБЦЕОЙС (8.91) РТЙ !~ = −kvF . лБЛ НЩ ХВЕДЙМЙУШ Œ ЪБДБЮЕ 44 В, ЬФБ УЙОЗХМСТОПУФШ ЕУФШ УМЕДУФŒЙЕ РТЙОСФПЗП РТЙВМЙЦЕОЙС (8.90), УŒПДСЭЕЗП ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ Œ (8.86) РП ФПОЛПНХ ФТЕИНЕТОПНХ УМПА Л ЙОФЕЗТБМХ РП ДŒХНЕТОПК ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ. оБ УБНПН ЦЕ ДЕМЕ РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ (8.86) ОБ ЗТБОЙГЕ ЛŒБЪЙЮБУФЙЮОПЗП УРЕЛФТБ, Ф. Е. РТЙ !~ = ±kvF , РТЙОЙНБЕФ ЛПОЕЮОПЕ ЪОБЮЕОЙЕ. рП ФЕН ЦЕ РТЙЮЙОБН, ЮФП Й Œ ЪБДБЮЕ 44 В, МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛХА УЙОЗХМСТОПУФШ Œ (8.91) УМЕДХЕФ ПВТЕЪБФШ РТЙ |!~ ± kvF | ≈ k2=2m.
|
ω |
|
2ωB+∆ n |
|
|
2ωB |
ω(k) |
|
|
|
|
|
kmax |
k |
òÉÓ. 8.9
œ ТЕЪХМШФБФЕ ХТБŒОЕОЙЕ g˝↑↓(!; k) = −1, ДБАЭЕЕ ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ УРЙОПŒЩИ ŒПМО, ЙНЕЕФ ТЕЫЕОЙЕ ФПМШЛП РТЙ k НЕОШЫЙИ ОЕЛПФПТПЗП kmax. фПЮЛБ ПЛПОЮБОЙС ЪБЛПОБ ДЙУРЕТУЙЙ kmax ОБИПДЙФУС ЙЪ ХТБŒОЕОЙС
g´n ln p0 |
= 1 : |
(8.94) |
|
2kvF |
k |
|
|
у МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛПК ФПЮОПУФША kmax = (g´n=2vF ) ln (EF =g´n). ðÒÉ k > kmax ЮБУФПФБ УРЙОПŒЩИ ŒПМО ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒОХФТЙ ЛŒБЪЙЮБУФЙЮОПЗП ЛПОФЙОХХНБ |!~| < vF |k|
8.5. теыеойс |
|
|
209 |
ÒÁÚ. |
|
|
|
k + q |
|
k + q |
|
a: |
|
b: |
|
k |
|
|
|
q |
q |
k |
k |
|
|
||
k − q |
|
k − k + q |
q |
|
|
|
|
k |
|
k − q |
|
òÉÓ. 8.10 |
|
|
|
йНРХМШУЩ ОБ ТЙУ. 8.10 ŒЩВТБОЩ ФБЛЙН ПВТБЪПН, ЮФПВЩ ВЩМП ХДПВОП ПВ ЕДЙОЙФШ
ŒЛМБДЩ a Й b. уХННЙТПŒБОЙЕ РП " Й " ŒЩРПМОСЕФУС У РПНПЭША ФПЦДЕУФŒБ (7.85). œ |
||||||||||||||||
ТЕЪХМШФБФЕ РТЙИПДЙН Л ФБЛПНХ ŒЩТБЦЕОЙА ДМС ´˙(a)+(b): |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ËÏÒ |
|
|
|
|
|
|
|
|
´˙(a)+(b) = |
T |
! |
|
nF (‰k) − nF (‰k+q) |
· |
nF (‰k ) − nF (‰k −q) |
× |
|||||||||
ËÏÒ |
2 |
i! |
− |
‰k + ‰k+q |
i! |
− |
‰k |
− |
‰k |
− |
q |
|||||
|
|
|
|
|
|
d3k d3k d3q |
− |
|
|
|
|
|||||
× 2Vq2 |
− Vq Vk−k +q |
; |
|
|
|
|
|
|
(8.105) |
|||||||
(2ı)9 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ЗДЕ РЕТŒЩК ЮМЕО Œ УЛПВЛБИ УППФŒЕФУФŒХЕФ ДЙБЗТБННЕ a), Б ŒФПТПК | ДЙБЗТБННЕ b). оБУ ЙОФЕТЕУХЕФ УМХЮБК ОХМЕŒПК ФЕНРЕТБФХТЩ. рПЬФПНХ ЪБНЕОЙН УХННЙТПŒБОЙЕ РП ! ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕН. рТЙ ЬФПН
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
= „(‰ ) − „(−‰) : |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2ı(i! |
|
d! |
|
|
‰ ) |
|
|
|
|
(8.106) |
|||||||
|
|
− |
‰)( i! |
|
‰ + ‰ |
|
|
|
|
|
||||||||||
рПМХЮБЕН |
−∞ |
|
|
− |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
´˙ËÏÒ(a)+(b) = |
1 |
nF (‰k) − nF (‰k+q) |
nF (‰k ) − nF (‰k −q) × |
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
„(‰k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k−k +q |
3 |
3 |
3 |
|
|
|
× |
|
‰k −q) |
|
„(‰k+q − ‰k) |
2V 2 |
− |
V |
q |
V |
d |
k d |
k d |
q |
: (8.107) |
||||||
‰k− |
‰k+q +−‰k |
− |
‰k |
−q |
|
q |
|
|
|
(2ı)9 |
|
|
||||||||
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рТПБОБМЙЪЙТХЕН ПВМБУФШ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС Œ (8.107). пДОБ ЙЪ ДŒХИ „-ЖХОЛГЙК Œ ЬФПН ŒЩТБЦЕОЙЙ ДПМЦОБ ВЩФШ ТБŒОБ 1, Б ДТХЗБС | 0. рХУФШ ПФ ОХМС ПФМЙЮОБ РЕТŒБС „-
ЖХОЛГЙС. фПЗДБ, РПУЛПМШЛХ Œ (8.107) ŒИПДЙФ ФБЛЦЕ НОПЦЙФЕМШ nF (‰k ) − nF (‰k −q), ÔÏ |k | > p0, Á |k − q| < p0. бОБМПЗЙЮОП РПМХЮБЕН |k| < p0, |k + q| > p0. еУМЙ ЦЕ ПФ ОХМС ПФМЙЮОБ ДТХЗБС „-ЖХОЛГЙС, ФП ПФŒЕФ РПМХЮБЕФУС ЪБНЕОПК k → k , q → −q. рПУЛПМШЛХ ŒЩТБЦЕОЙЕ УЙННЕФТЙЮОП ПФОПУЙФЕМШОП ЬФПК ЪБНЕОЩ, ДПУФБФПЮОП РТПУФП
ХДŒПЙФШ ПФŒЕФ. рПЬФПНХ |
= |
(‰k − ‰k+q + ‰k − ‰k −q) |
(2ı)9 |
(8.108) |
´˙ËÏÒ |
||||
(a)+(b) |
|
(2Vq2 − Vq Vk−k +q) |
d3k d3k d3q |
|
210 змбœб 8. фептйс жетнй-цйдлпуфй
(ЙОФЕЗТБМ ВЕТЕФУС РП ПВМБУФЙ k Rq , k −q Rq ). ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ УПŒРБДБЕФ У (8.33). пФНЕФЙН, ЮФП ЖПТНХМХ (8.33) НПЦОП РПМХЮЙФШ Й ВЕЪ ДЙБЗТБНН, ŒЩЮЙУМСС ЬОЕТЗЙА ПУОПŒОПЗП УПУФПСОЙС ЖЕТНЙ-УЙУФЕНЩ РП ПВЩЮОПК ЛŒБОФПŒПНЕИБОЙЮЕУЛПК ФЕПТЙЙ
ŒПЪНХЭЕОЙК ДП ЮМЕОПŒ ŒФПТПЗП РПТСДЛБ (УН. [6], § 6).
фЕРЕТШ ТБУУНПФТЙН РПŒЕДЕОЙЕ РПДЙОФЕЗТБМШОПЗП ŒЩТБЦЕОЙС Œ (8.108) РТЙ q → 0. пВМБУФЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП k Й k РТЕДУФБŒМСАФ УПВПК Œ ЬФПН УМХЮБЕ УМПЙ ФПМЭЙОЩ РПТСДЛБ q ОБ РПŒЕТИОПУФЙ ЖЕТНЙ-УЖЕТЩ (УН. ТЙУ. 8.1). у ДТХЗПК УФПТПОЩ, ЪОБНЕОБФЕМШ РТЙ ЬФПН ПЛБЪЩŒБЕФУС РПТСДЛБ qvF . рПЬФПНХ РЕТŒЩК ЮМЕО ПЛБЪЩŒБЕФУС РПТСДЛБ q−3, Б ŒФПТПК | РПТСДЛБ q−1. œ ТЕЪХМШФБФЕ ПЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП РТЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЙ РП q РЕТŒЩК ЮМЕО ДБЕФ МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛХА ТБУИПДЙНПУФШ ОБ НБМЩИ q, Б ŒФПТПК ПУФБЕФУС ЛПОЕЮЕО.
юФПВЩ РПОСФШ РТЙЮЙОХ ОБКДЕООПК ТБУИПДЙНПУФЙ, ТБУУНПФТЙН ЖЙЪЙЮЕУЛЙК УНЩУМ ДЙБЗТБНН ОБ ТЙУ. 8.7. рПМСТЙЪБГЙПООЩЕ РЕФМЙ ОБ ДЙБЗТБННЕ Б | ЬФП ЛПТТЕМСФПТ РМПФОПУФШ{РМПФОПУФШ. рПЬФПНХ ЬФБ ДЙБЗТБННБ ПРЙУЩŒБЕФ ŒЛМБД ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ЖМХЛФХБГЙК РМПФОПУФЙ Œ ЬОЕТЗЙА УЙУФЕНЩ. еЕ ТБУИПДЙНПУФШ РТЙ q = 0 ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ПУОПŒОПК ŒЛМБД ДБАФ ЖМХЛФХБГЙЙ РМПФОПУФЙ Œ ДБМЕЛЙИ ФПЮЛБИ. оП РПДУЮЙФЩŒБФШ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЖМХЛФХБГЙК Œ ФПЮЛБИ, ТБУРПМПЦЕООЩИ ОБ ТБУУФПСОЙЙ, ВПМШЫЕН ТБДЙХУБ ЬЛТБОЙТПŒБОЙС, ЙУРПМШЪХС ОЕЪБЬЛТБОЙТПŒБООЩК РПФЕОГЙБМ 1=r (ЛБЛ ЬФП Й РТПЙУИПДЙФ Œ (8.108)), УПŒЕТЫЕООП ОЕРТБŒЙМШОП. нПЦОП ПЦЙДБФШ, ЮФП РТЙ РТБŒЙМШОПН ХЮЕФЕ ЬЛТБОЙТПŒБОЙС МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛБС ТБУИПДЙНПУФШ ПВТЕЦЕФУС ОБ ПВТБФОПН ТБДЙХУЕ ЬЛТБОЙТПŒБОЙС, q ≈ κ.
юФП ЦЕ ЛБУБЕФУС ДЙБЗТБННЩ В, ПОБ ПРЙУЩŒБЕФ ПВНЕООЩК ЬЖЖЕЛФ ŒФПТПЗП РПТСДЛБ. лБЛ Й ŒУЕ ПВНЕООЩЕ ЬЖЖЕЛФЩ, ЬФПФ ŒЛМБД Œ ЬОЕТЗЙА ПРТЕДЕМСЕФУС ТБУУФПСОЙСНЙ РПТСДЛБ ЖЕТНЙЕŒУЛПК ДМЙОЩ ŒПМОЩ 1=p0, Й РПФПНХ Œ ОЕН ОЕ ŒПЪОЙЛБЕФ ТБУИПДЙНПУФЙ ОБ НБМЩИ q.
тЕЫЕОЙЕ 49 Б. тБУИПДЙНПУФШ Œ ДЙБЗТБННЕ a ОБ ТЙУ. 8.7, ОБКДЕООБС Œ ЪБДБЮЕ 48, | УЕТШЕЪОБС ОЕРТЙСФОПУФШ. œ ТБНЛБИ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК ПВТЕЪБФШ ЬФХ ТБУИПДЙНПУФШ ОЕЗДЕ, Й РПЬФПНХ ŒПЪОЙЛБЕФ ОЕПВИПДЙНПУФШ УХННЙТПŒБФШ ДЙБЗТБННЩ ŒЩУЫЙИ РПТСДЛПŒ. у ЖЙЪЙЮЕУЛПК ФПЮЛЙ ЪТЕОЙС, ФТЕВХЕФУС ŒУЕЗП МЙЫШ ЛПТТЕЛФОП ХЮЕУФШ ЬЛТБОЙТПŒБОЙЕ (УН. ТЕЫЕОЙЕ ЪБДБЮЙ 48 В). ьФП ДПУФЙЗБЕФУС УХННЙТПŒБОЙЕН ĂРХЪЩТШЛПŒЩИĄ ДЙБЗТБНН, РПЛБЪБООЩИ ОБ ТЙУ. 8.8.
пГЕОЙН ЬФЙ ДЙБЗТБННЩ РП РПТСДЛХ ŒЕМЙЮЙОЩ. рТПЙЪŒЕДЕОЙЕ n ŒПМОЙУФЩИ МЙОЙК ЪБŒЙУЙФ ПФ РЕТЕДБŒБЕНПЗП ЙНРХМШУБ q ЛБЛ q−2n Й ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ РЕТЕДБŒБЕНПК ЮБУФПФЩ ! (q Й ! ПДЙОБЛПŒЩ ДМС ŒУЕИ МЙОЙК). рПМСТЙЪБГЙПООБС РЕФМС ˝(i!; q) ≈ ÐÒÉ ! qvF É ÕÂÙŒÁÅÔ ÐÒÉ ! > qvF . йОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП 0 < ! qvF ÄÁÅÔ qvF , Й Œ ТЕЪХМШФБФЕ ДЙБЗТБННБ n−ЗП РПТСДЛБ ТБУИПДЙФУС РТЙ НБМЩИ q ЛБЛ 0p0 (q2=q2n−1)dq. юЕН ŒЩЫЕ n, ФЕН УЙОЗХМСТОЕК ДЙБЗТБННБ. рТЙ n = 2 ТБУИПДЙНПУФШ МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛБС, Œ УППФŒЕФУФŒЙЙ У ТЕЫЕОЙЕН ЪБДБЮЙ 48 В. йЪ УДЕМБООПК ПГЕОЛЙ ŒЙДОП, ЮФП ЛПМШГЕŒЩЕ ДЙБЗТБННЩ, ЙЪПВТБЦЕООЩЕ ОБ ТЙУ. 8.8, ПВЕУРЕЮЙŒБАФ НБЛУЙНБМШОХА ТБУИПДЙНПУФШ Œ ЛБЦДПН РПТСДЛЕ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК. хЦЕ УБНП РП УЕВЕ, Й ВЕЪ БРРЕМСГЙК Л ЖЙЪЙЛЕ ЬЛТБОЙТПŒБОЙС, ЬФП ДБЕФ ДПУФБФПЮОЩЕ ПУОПŒБОЙС ДМС ТБУУНПФТЕОЙС ТСДБ ОБ ТЙУ. 8.8.
рТПУХННЙТХЕН РПУМЕДПŒБФЕМШОПУФШ ЛПМШГЕŒЩИ ДЙБЗТБНН. дМС ЬФПЗП, ЛБЛ ПВЩЮОП, РТПДЙЖЖЕТЕОГЙТХЕН ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛЙК РПФЕОГЙБМ РП ЛПОУФБОФЕ УŒСЪЙ e2. üÔÏ