Фракталы в комплексной динамике
Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу XX века и связаны с именами Фату и Жюлиа.
Пусть F(z) — многочлен, z0 — комплексное число и рассмотрим следующую последовательность:
.
Нас интересует
поведение этой последовательности при
.
Эта последовательность может:
Стремиться к бесконечности;
Стремиться к конечному пределу;
Демонстрировать в пределе циклическое поведение, то есть поведение вида
Демонстрировать более сложное поведение.
Множества значений z0, для которых последовательность демонстрирует один конкретный тип поведения, а также множества точек бифуркации между различными типами, часто обладают фрактальными свойствами.
Так, множество Жюлиа на картинке справа — множество точек бифуркации для многочлена F(z) = z2 + c, то есть тех значений z0, для которых поведение последовательности zn может резко меняться при сколь угодно малых изменениях z0.
Другой вариант
получения фрактальных множеств —
введение параметра в многочлен F(z)
и рассмотрение множества тех значений
параметра, при которых последовательность
zn
демонстрирует определённое поведение
при фиксированном z0.
Так, множество
Мандельброта
— это множество всех
,
при которых zn
для F(z)
= z2
+ c
и z0
= 0 не стремится
к бесконечности.
Ещё один известный пример такого рода — бассейны Ньютона.
Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путём раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Например, для дополнения множества Мандельброта можно раскрасить точки в зависимости от скорости стремления zn к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номер n, при котором | zn | превысит фиксированную большую величину A).
Биоморфы — фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.
Стохастические фракталы
Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:
траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;
граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельборта о том, что её размерность равна 4/3.
эволюции Шрамма-Лёвнера — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например в модели Изинга и перколяции.
различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма — пример использования такого фрактала в компьютерной графике.
Фрактальная монотипия, или стохатипия — направления в изобразительном искусстве, состоящие в получении изображения случайного фрактала.