Деревья. Свойства деревьев. Двоичные деревья. Планарные графы. Формула Эйлера.
Дерево — связный граф без циклов (=> и без множественных рёбер, и без петель).
Каждый связный граф содержит в себе дерево покрытия.
Для дерева верно:
1) для каждой пары разл. вершин существует единственный путь, их соединяющий;
2) удаление любого ребра из T приводит к появлению 2-х компонент связности.
3) |E| = |V| - 1.
--------
Корневое дерево — дерево (T,V*), у к-рого есть особая вершина (V*), отличающаяся от остальных.
Лист в корневом дереве — вершина, валентность к-рой = 1, не совпадающая с V*.
Вершина решения или внутренняя вершина — вершина, отличная от листа и V*.
Уровень вершины v для корневого дерева — длина пути, соединяющего v с V*.
--------
Двоичные деревья (L,S,R), где L и R — двоичные деревья, а S содержит только V*.
Деревья юзают для сортировки (дерево сортировки заполняют, а потом считывают в список).
Планарные
Граф — плоский, если его вершины лежат на плоскости, а рёбра — линии или дуги на плоскости — не пересекаются.
Граф — планарный, если он изоморфен плоскому.
Ф-ла Эйлера: |F| = |E|-|V|+2
|E| — кол-во рёбер
|V| — кол-во вершин
|F| — кол-во граней
Очевидно выполняется для деревьев.
-P: (индукция по числу рёбер n)
1) Пусть n=0 — одна вершина v. Рёбер — 0; грань — одна.
2) Предположим, что верно для |E| < n;
3) Если Г — дерево (тогда выполняется);
Если Г — не дерево, то у него есть цикл. Уберём в этом цикле ребро. По шагу 2 выполняется |F| = |E|-|V|+2. Добавим ребро. Равенство сохранится, т.к. грань++, ребро++: |F+1| = |E+1|-|V|+2
--------
K_(3,3) и K_5 непланарны (идёт отдельным вопросом)
--------
Если граф Г имеет подграфом K_(3,3) или K_5, то он непланарен.
Для того, чтобы конечный граф Г имел планарную реализацию, необходимо и достаточно, чтобы любой его подграф не был гомеоморфен ни одному из графов K_(3,3) и K_5.
Графы Г1 и Г2 гомеоморфны, если существуют их подразделения, к-рые изоморфны.
Подразделение — построение нового графа, мн-во вершин к-рого = V U {v} и мн-во рёбер = {(vi,v),(vj,v)} U E \ {vi,vj}, v — новая вершина, vi,vj — старые.
Vi*-----*Vj ->
Vi*---*(v)----*Vj
--------
Для определения гомеоморфизма графов из них можно последовательно удалять 2-х валентные вершины.
--------
Св-ва:
1)Г — связный планарный граф, без петель и множественных рёбер =>
|E| <= 3|V| - 6.
-P:
3|F| <= 2|E|, но |F| = 2 - |V| + |E| => 3(2 - |V| + |E|) <= 2|E| => |E| <= 3|V| - 6.
2) В любом планарном графе существует вершина, валентность к-рой <= 5.
-P: (от противного)
Пусть для всех Vi € V. Сигма(валентность)(Vi) >= 6. => 6|V| <= SUM(Vi € V)(Сигма(Vi)) = 2|E|. => 3|V| <= |E|
Из св-ва (1) =>3|V| <= 3|V| - 6. Что неверно. => неверно предположение. => верно св-во.
K5, K3,3
Непланарность:
K33:
Предположим, что K33 — планарный. Разбивает пл-сть, на к-рой лежит, на |F| граней. Каждая грань отсечена замкнутой последовательностью рёбер, состоящей минимум из 4-х рёбер. С другой стороны, каждое ребро грани представляет собой часть границы раздела двух граней.
=> 2|E| >= 4|F|
По т. Эйлера, 2|E| >= 4(|E|-|V|+2)
2*9 >= 4(9-6+2)
18 >= 20 неверно => предположение неверно => K33 не является планарным
K5 (пентограмма в пентакле):
Предположим, что K5 — планарный. Разбивает пл-сть, на к-рой лежит, на |F| граней. Каждая грань отсечена замкнутой последовательностью рёбер, состоящей минимум из 3-х рёбер. С другой стороны, каждое ребро грани представляет собой часть границы раздела двух граней.
=> 2|E| >= 3|F|
2|E| >= 3(|E|-|V|+2)
2*10 >= 3(10-5+2)
20 >= 21 неверно => предположение неверно => K5 не является планарным.
Проблема разрешимости в алгебре высказываний. Алгоритмы проверки формул алгебры высказываний на тождественную истинность: составление таблицы истинности, выполнение равносильных преобразований. Преимущества и недостатки указанных методов.
В логике высказываний (ЛВ) рассматрив-ся предложения, отн-но к-ых м. однозначно сказать явл-ся ли они истинными или ложными. Такие предл наз-ся высказываниями.
X,y,z – переменные высказывания, они м. принимать значения истина или ложь.
Над высказываниями м .вып-ть разл. Логич. Операции и получать новые высказывания:
1. кконъюнкция (^) – операция, с пом кот м.построить новое высказывание х^y, из к-го истинность опр-ся след.образом:данное высказывание истинно только тогда, когда оба выск х и у б.истинны.
^ обычно наз-ся логическим умножением.
2. дизъюнкция (v, логич сложение) – логич оп, с пом к-ой для высказываний х и у м.построить новое высказ-е х v у, к-е принимает значение ложь только тогда, когда оба высказывания ложные.
3. импликация (→) – оп, с пом к-ой для высказываний х и у м. построить новое высказ х→у, к-е принимает значение ложь тогда, когда х – истина, а у – ложь.
4. эквиваленция(↔) – оп, с пом к-ой м.построить новое выск-ние х↔у, истинность к-го опр-ся сл.образом: оно истинно только тогда, когда х и у принимают одинакове зна-я истинности.
5. отрицание(⌐,−) – оп, с пом к-ой строится новое выск х (с чертой)(отрицание х), истинность к-го опр-ся сл.образом: если х – истина. То новое выск – ложно. И наоборот
С пом лог операций из 2-х выск-ний м.построить новое высказывание. С ноыми выск-ями м. также вып-ть лог оп и т.д.
Т.о. приходим к понятию формулы высказываний(ФЛВ)
Исп-ся сл. Договоренности:
1 по силе лог оп будут вып-ся в след.порядке, если нет скобок: ^,v,→,↔
2 внешние скобки в формуле м.опускать
3 если в формуле есть отрицание, то сначала вып-ся все оп под знаком отрицания, а потом – само отрицание.
Алгебра высказываний – это сов-ть формул, сведенных к логич-м оп-ям. Для к-ых вып-ся список законно основных равносильностей на мн-ве данных формул. (2 формулы равносильны, если они принимают одинак значения истинности на одних и тех же наборах переменных высказываниях, от к-ых зависит формула).
Такие формулы наз-ся законами АВ:
1 х≡х (х равносилен сам себе)
2 x(c двойным отрицанием)≡х
3 x v л≡х, х^и≡х, x v и≡и, х^л≡л
4 переместительный закон: х^у≡ у^х, x v у≡ у v х
5 (х↔у)≡(х→у)^(у→х)
С пом законов AИ м.переходить от одной формулы к др, делая при этом равносильные преобразования.
Проблема разрешимости в АВ формулируется сл.образом: можно ли указать а-м для любой формулы АВ, с пом к-го м.опр-ть явл-ся ли ф-ла тождественно истинной, тождественно ложной или только выполнимой.
Опр. Ф-ла тожд-но истинна, если она принимает зн-е истинна на любом наборе переменных высказываниих х1,х2, …, хn
Опр. Ф-ла тожд-на л, если она принимает зн-е ложь на любом наборе пер-ys[
Опр. Ф-ла выполнима, если существует хотя бы один набор зн-ний пер-ys[? От к-ых щависит ф-ла. На к-ом ф-ла принимает зн-е и.
Проблема разрешимости решается в АВ положительно. М.указать неск-ко таких а-мов:
1) построение таблицы истинностей
2) связан с равносильными преобразованиями (СДНФ, CRYA)
Опр. Элементарная ^ - ф-ла АВ, к-ая предст собой ^ переменных или их отрицаний
Опр. ДНФ (диз.нормальная форма) – ф-ла АВ, к-ая предст.собой дизъюнкцию элем-х ^.
Опр. Элементарная дизъюнкция - ф-ла АВ, к-ая предст собой диз. переменных или их отрицаний.
Опр. КНФ - – ф-ла АВ, к-ая предст.собой ^ элем-х дизъюнкций.
Пр-р: (х v у) ^ (z v t)
Среди мн-ва ф-л выд-ют:
СДНФ – ф-ла, к-ая обладает след.св-ми:
явл ДНФ
элемент. ^ различны
элем-ная ^ сод-ит ровно n элементов
Смысл: любая ф-ла АВ, если она не явл-ся тожд-но л, м.б. однозначно приведена к СДНФ.
По аналогии CКНФ
СКНФ – ф-ла, к-ая обладает след.св-ми:
явл КНФ
элемент. диз различны
элем-ная диз сод-ит ровно n элементов
Смысл: любая ф-ла АВ, если она не явл-ся тожд-но и, м.б. однозначно приведена к СКНФ.
Рассмотрим построение СДНФ и СКНФ по таблице истинностей(на пр-ре F(x,y,z))
А-м построения СДНФ:
1) Выбираем в таблице строки, в к-ых ф-ла принимает зн ИСТИНА (1,2,4,7)
2) Для каждой из выделеннх строк строим элем ^
1 – x^y^z 2 – x^y^⌐z 4 - ⌐x^y^z 7 – ⌐x^⌐y^z
3) Построенные элем. ^ объединяют операцией дизъюнкция.
Получаем СДНФ:
(x^y^z)v(x^y^⌐z)v(⌐x^y^z)v(⌐x^⌐y^z) – СДНФ
А-м построения СКНФ:
1) Выбираем в таблице строки, в к-ых ф-ла принимает зн ЛОЖЬ (3,5,6,8)
2) Для каждой из выделеннх строк строим элем диз (если переменная истинна, то с отрицанием)
3 – ⌐x v y v ⌐z 5 – ⌐x v y v z 6 – x v ⌐y v z 8 – x v y v z
3) Построенные элем. диз строим КНФ. Получаем СКНФ:
(⌐x v y v ⌐z)^( ⌐x v y v z)^( x v ⌐y v z)^( x v y v z) – СКНФ
С пом.СДНФ ф-лу м.исследовать на проблему разрешимости: если ф-ла от n переменных явл СДНФ, то ф-ла не явл тожд-но Л. Если она сод-т 2n элем-х ^, то ф-ла тожд.И. Если сод-т < 2n - ф-ла выполнима
С пом CКНФ м. исследовать на проблему разрешимости : если CКНФ построена, то ф-ла не явл тожд-но И. Если она сод-т 2n элем-х диз, то ф-ла тожд.И. Если сод-т < 2n - ф-ла выполнима
Исчисление высказываний. Выводимость формулы в исчислении, выводимость формулы из гипотез. Теорема дедукции, ее следствие. Автоматическое доказательство теорем. Метод резолюций в исчислении высказываний: правило резолюций, понятие резолютивного вывода.