1. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Схема вычислительного эксперимента. Требования к вычислительным методам. Виды погрешностей. Основные задачи теории погрешностей, способы их решения. Применение дифференци­ального исчисления при оценке погрешности. Обратная задача теории погрешностей. Оценка погрешностей вычислений, возникающих в ЭВМ.

   Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Схема вычислительного эксперимента.

1. Построение мат.мод. 2. Постр.алгоритма реш. 3. Реализация алгоритма на ЭВМ 4. Анализ рез-в.

Виды погрешностей.

При практических вычислениях обычно используют приближенные значения величин – приближенные числа.

Погрешность приближенного числа a, т.е. разность между ним и точным значением , как правило, неизвестна.

Под оценкой погрешности приближенного числа a понимают установление неравенства вида

(1.1)

Число называется абсолютной погрешностью (иногда употребляется термин «предельная абсолютная погрешность»). Это число определяется неоднозначно: его можно увеличить. Обычно указывают возможно меньшее число , удовлетворяющее неравенству (1.1).

Абсолютные погрешности записывают не более чем с двумя-тремя значащими цифрами (при подсчете числа значащих цифр не учитывают нулей, стоящих слева, например, в числе 0,010030 имеется 5 значащих цифр). В приближенном числе a не следует сохранять те разряды, которые подвергаются округлению в его абсолютной погрешности .

Относительной погрешностью приближенного числа a называется отношение его абсолютной погрешности к абсолютной величине числа a, т.е. .

Относительная погрешность обычно выражается в процентах, и ее принято записывать не более чем с двумя-тремя значащими цифрами.

Во многих технических приложениях принято характеризовать точность приближенных чисел их относительной погрешностью.

Формулы точного подсчета погрешностей результатов действий над приближенными числами

;

;

, где – абсолютная погрешность приближенного числа, – относительная погрешность приближенного числа, – рациональное число.

Формулы погрешности вычисления значений функции от одной переменной

– абсолютная погрешность дифференцируемой функции , вычисленная в точке , .

 – относительная  погрешность дифференцируемой функции , вычисленная в точке .

Рассмотрим правила вычисления без строгого учета погрешностей

Правило 1. Если число слагаемых невелико, то в алгебраической сумме приближенных значений чисел, в записи которых все цифры верны, следует оставлять столько десятичных знаков, сколько их имеет слагаемое с наименьшим числом десятичных знаков. Слагаемые с большим числом десятичных знаков следует предварительно округлить на один десятичный знак больше, чем у выделенного слагаемого.

Правило 2. Если число исходных знаков невелико, то в произведении (частном) приближенных значений чисел следует оставлять столько значащих цифр, сколько их имеет число с наименьшим количеством значащих цифр. Исходные данные с большим числом значащих цифр следует предварительно округлить, оставив на одну значащую цифру больше, чем у выделенного исходного данного.

Правило 3. При возведении приближенного значения числа в квадрат или куб, а также при извлечении квадратного корня или кубического корня в результате следует оставлять столько значащих цифр, сколько их имеет соответственно основание степени или подкоренное выражение.

Правило 4. При выполнении последовательно ряда действий над приближенными значениями чисел следует в промежуточных результатах сохранять на одну цифру больше, чем рекомендуют предыдущие правила. При округлении окончательного результата запасная цифра отбрасывается.

2. Приближенное решение нелинейных уравнений: постановка задачи, отделение корней, уточнение корней (методы половинного деления, Ньютона, хорд, простых итераций). Алгоритм и расчетные формулы, геометрическая интерпретация, сходимость методов, сопоставление методов.

Общие сведения о методах решения нелинейных уравнений

Нелинейные уравнения делятся на два класса – алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими называются уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.), называются трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений делятся прямые и итерационные. Прямые методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). На практике, как правило, уравнений не решаются такими простыми методами. Для их решения обычно используются итерационные методы, т.е. методы последовательных приближений. Алгоритм нахождения корня уравнения с помощью итерационного метода состоит из двух этапов: а) отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка; б) уточнения приближенного значения до некоторой заданной степени точности.

Пусть задано уравнение на множестве действительных чисел.

. (2.1.)

Приближенное значение корня (начальное приближение) уравнения (2.1) может быть найдено различными способами: из физических соображений, из решения аналогичной задачи при других исходных данных, с помощью графических методов. Если такие априорные оценки исходного приближения провести не удается, то находят две близко расположенные точки a и b, в которых непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков, т.е. f(a)f(b)<0. В этом случае между точками a и b находится, по крайней мере, одна точка, в которой f(x)=0. В дальнейшем будем предполагать, что и сохраняют знак на отрезке [a; b].

Метод половинного деления

Метод половинного деления состоит в разделении отрезка [a; b] пополам точкой . Если (что практически наиболее вероятно), то возможны два случая: либо f(x) меняет знак на отрезке [a; c]; либо на отрезке [c; b].

Выбирая в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и, продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения.

Рассмотренный метод можно использовать как метод решения уравнения с заданной точностью. Действительно, если на каком-то этапе процесса получим отрезок [c; c'], содержащий корень, то, приняв приближённо , получим ошибку, не превышающую, значения .

Метод хорд

Предположим, что на отрезке [a; b] функция f(x) удовлетворяет следующим условиям:

. (2.2)

Последовательные приближения точного корня вычисляются по формулам:

. (2.3)

Если условие (2.2) не выполняется, а имеет место неравенство

, (2.4)

то последовательные приближения вычисляются по формулам:

. (2.5)

Метод касательных (Ньютона)

По методу касательных вычисления проводятся по формулам:

(2.6)

при выполнении условия (2.4).

При выполнении условия (2.2) используются расчетные формулы:

. (2.7)

Оценка погрешности метода хорд и метода касательных может быть вычислена по формуле:

, где , x^* – точный корень, а – приближенный корень уравнения (2.1).

Комбинированный метод хорд и касательных

Комбинированный метод основан на одновременном использовании методов хорд и касательных.

В результате получим две монотонные последовательности {x_п}, {x'_п}- приближенные значения корня по недостатку и по избытку соответственно.. Для нахождения корня ξ с заданной степенью точности достаточно ограничится теми значениями , для которых . Так как , то в качестве значения корня следует взять среднее арифметическое чисел , т. е. число . Легко видеть, что .

Расчётные формулы:

а) если на [a; b], то:

.

б) если на [a; b], то:

.

Пример 2.1. Дано уравнение . Исследовать вопрос о существовании и единственности корня ξ на отрезке [0,5; 1,5]. Вычислить три приближения корня уравнения по методу хорд и по методу касательных.

Вычисляем знак выражения , где . Т. к. и непрерывная функция на отрезке [0,5; 1,5], то уравнение имеет хотя бы один корень на заданном отрезке.

1. Для доказательства единственности корня вычисляем f '(x), f ''(x) и определим их знак на отрезке [0,5; 1,5].

, , f''(x)>0 на отрезке [0; 1], следовательно, f(x) монотонно возрастает, и корень уравнения на отрезке [0; 1] единственный; , следовательно, функция сохраняет на отрезке выпуклость. Т.к. , то для вычисления приближенных значений корня по методу хорд используются формулы (2.3), а по методу касательных (2.7).

Используя данные формулы, получаем ответ:

– приближенные значения корня по методу хорд; – приближенные значения корня по методу касательных.

Метод простой итерации

Для использования этого метода исходное нелинейное уравнение записывается в виде

. (2.8)

Пусть известно начальное приближение корня x=x₀

Подставляя это значение в правую часть уравнения (2.8), получаем новое приближение: c₁=f(c₀). Подставляя каждый раз новое значение корня в правую часть уравнения (2.8), получаем последовательность значений:

,                                                                (2.9)

Итерационный процесс прекращается, если результаты двух последовательных итераций близки .

Достаточным условием сходимости метода простой итерации является условие на множестве действительных чисел.

Достаточным условием сходимости метода простой итерации на отрезке [a; b] является условие , [a; b].

Для более точной оценки погрешности используются формулы:

,

где , на множестве [a; b].

Пример 2.2. Вычислить четыре приближения методом простой итерации для уравнения .

Для исследования выберем отрезок [0; 3].

1) Функция определена и имеет в каждой точке x из отрезка [0; 3] производную: .

2) Значения функции удовлетворяют неравенству:

, т. е. все значения функции содержатся в отрезке [0; 3].

3) Производная функции удовлетворяет неравенству:

, т. е. существует такое, что для всех x из отрезка [0; 3] имеет место неравенство: . Следовательно, выполнено достаточное условие применимости метода простой итерации на отрезке.

Выберем произвольно из отрезка [0; 3], например . Используя формулу (2.9), получаем четыре приближенных значения корня:

Оценим погрешность четвертого приближения:

.