Имитационное моделирование. Клеточные автоматы. Моделирование случайных процессов. Компьютерное моделирование в экологии. Подходы к моделированию сложных систем.
Имитационное моделирование
Суть компьютерного моделирования состоит в следующем: на основе математической модели с помощью ЭВМ проводится серия вычислительных экспериментов, т.е. исследуются свойства объектов или процессов, находятся их оптимальные параметры и режимы работы, уточняется модель. Например, располагая уравнением, описывающим протекание того или иного процесса, можно изменяя его коэффициенты, начальные и граничные условия, исследовать, как при этом будет вести себя объект.
Имитационные модели - это проводимые на ЭВМ вычислительные эксперименты с математическими моделями, имитирующими поведение реальных объектов, процессов или систем.
Реальные процессы и системы можно исследовать с помощью двух типов математических моделей: аналитических и имитационных.
В аналитических моделях поведение реальных процессов и систем (РПС) задается в виде явных функциональных зависимостей (уравнений линейных или нелинейных, дифференциальных или интегральных, систем этих уравнений). Однако получить эти зависимости удается только для сравнительно простых РПС. Когда явления сложны и многообразны исследователю приходится идти на упрощенные представления сложных РПС. В результате аналитическая модель становится слишком грубым приближением к действительности. Если все же для сложных РПС удается получить аналитические модели, то зачастую они превращаются в трудно разрешимую проблему. Поэтому исследователь вынужден часто использовать имитационное моделирование.
Имитационное моделирование представляет собой численный метод проведения на ЭВМ вычислительных экспериментов с математическими моделями, имитирующими поведение реальных объектов, процессов и систем во времени в течении заданного периода. При этом функционирование РПС разбивается на элементарные явления, подсистемы и модули. Функционирование этих элементарных явлений, подсистем и модулей описывается набором алгоритмов, которые имитируют элементарные явления с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени.
Имитационное моделирование - это совокупность методов алгоритмизации функционирования объектов исследований, программной реализации алгоритмических описаний, организации, планирования и выполнения на ЭВМ вычислительных экспериментов с математическими моделями, имитирующими функционирование РПС в течении заданного периода.
Клеточные автоматы
Клеточный автомат – это объекты, которые функционируют в дискретном пространстве и времени. Пространство представляет собой регулярную решетку, ячейки которой могут находиться в одном из конечного числа состояний. Состояние клетки на след. временном шаге однозначно определяется ее текущим состоянием и ее окружением. Состояние всех клеток меняется одновременно.
Игра «Жизнь»
Джон Конуэй (1970). Клеточный автомат является квадратной регулярной решеткой. Каждая ячейка может находиться в одном из двух состояний – живая и мертвая. Состояние клетки на след. шаге определяется только ее ближайшим окружением (8 соседей). Если у пустой клетки ровно 3 живых соседа, то на след. шаге в ней появляется жизнь. Если у живой клетки меньше 2-х либо больше 3-х живых соседей, то на след. шаге она умирает.
Компьютерное моделирование в экологии
Математическое моделирование в экологии используется практически с момента возникновения этой науки. И, хотя поведение организмов в живой природе гораздо труднее адекватно описать средствами математики, чем самые сложные физические процессы, модели помогают установить некоторые закономерности и общие тенденции развития отдельных популяций, а также сообществ. Кажется удивительным, что люди, занимающиеся живой природой воссоздают её в искусственной математической форме, но есть веские причины, которые стимулируют эти занятия. Вот некоторые цели создания математических моделей в экологии:
- Модели помогают выделить суть или объединить и выразить с помощью нескольких параметров важные разрозненные свойства большого числа уникальных наблюдений, что облегчает экологу анализ рассматриваемого процесса или проблемы.
- Модели выступают в качестве «общего языка», с помощью которого может быть описано каждое уникальное явление, и относительные свойства таких явлений становятся более понятными.
- Модель может служить образцом «идеального объекта» или идеализированного поведения, при сравнении с которым можно оценивать и измерять реальные объекты и процессы.
- Модели действительно могут пролить свет на реальный мир, несовершенными имитациями которого они являются.
Эколого-биологическая область - одна из наиболее перпективных, прогресс в этой области зависит от применения методов математического моделирования, использования вычислительных технологий. Одной из центральных задач биомоделирования является моделирование биологических популяций. Моделирование используется для прогнозирования их численности, изучения миграций, планирования полевых исследований.
На данный момент накоплен обширный опыт имитационного моделирования популяций. Обычно модель представляет собой систему уравнений феноменологического типа, описывающими связи между макропоказателями (например, численностью популяции) и обобщенными экологическими характеристиками. Характерным примером такого подхода является хорошо известная модель "хищник-жертва" Лотки-Вольтерра, где численность популяции хищников и жертв описывается системой двух обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых наряду с численностью используются такие обобщенные показатели, как коэффициент размножения жертв, смертности хищников, обобщенный показатель мх взаимодействия. Во всех таких моделях описываются свойства популяции в целом.
В прикладных областях различают следующие виды абстрактных моделей:
1. Традиционное математическое моделирование без привязки к инф-ке.
2. Инф-ионные модели и моделирование, имеющие приложения в ИС.
3. Вербальные (описательные).
4. Инф-ионные технологии.
Математическая модель – исследование математического объекта а′ реального объекта а, которое должно дать инф-ию о сов-ти свойств объекта а.
Компная модель – это математическая модель, перенесенная на комп и реализованная с его помощью.
А-м построения модели:
1) Исходный объект;
2) Цели моделирования: понимание устройства объекта, научиться управлять объектом, прогнозирование: прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект;
3) Построение содержательной модели;
4) Построение математической модели;
5) Выбор метода исследования;
6) Разработка программы для ПК;
7) Отладка программы;
8) Тестовые расчеты;
9) Анализ результатов (если нормально, то модель готова, если нет – пункт 3);
На практике все задачи обычно делятся на 2 большие группы:
1. Прямые задачи, направленные на достижение конкретной цели.
2. Обратные задачи. Пытаются по виду явления восстановить источник.
Классификация моделей. Все модели делятся на группы:
1. стр-рные (объекты, стр-ра которых известна) и функциональные (черный ящик).
2. Дискретные (время дискретно) и непрерывные (время непрерывно).
3. Линейные/нелинейные.
4. Детерминированные (объекты действуют по заранее определенным правилам).
5. Вероятностные (поведение может изменяться случайным образом).
Требования к моделям:
1. Адекватность модели (правильное качественное описание и правильное количественное описание);
2. Инф-ионная достаточность (существует минимальный набор сведений, необходимых для построения модели объекта);
3. Множественность и единство (м.б. построено несколько моделей для изучения одного объекта и м.б. построена одна модель для изучения различных объектов реального мира);
4. Достаточная простота (модель должна быть настолько простой, насколько это возможно);
5. Осуществимость (достижение цели за поставленное время);
6. Обезразмерование (при построении модели следует использовать относительные/безразмерные величины);
7. Параметризация – некоторые подсистемы в модели м.б. заменены const без описания функционирования этих систем.
8. Агрегирование – при построении всю изучаемую систему следует разделять на подсистемы (для каждой может быть своя модель);
9. Продуктивность – все необходимые исходные данные можно измерить;
10. Наглядность – все параметры модели имеют простой физический смысл.
Моделирование случайных процессов.
Моделирование случайных процессов – мощнейшее направление в современном математическом моделировании. Событие называется случайным, если оно достоверно непредсказуемо. В сложных вычислениях, когда искомый результат зависит от результатов многих факторов, моделей и измерений, можно сократить объем вычислений за счет случайных значений значащих цифр. Большинство значений случайных чисел выдают последовательность, в которой предыдущее число используется для нахождения последующего.
Конгруэнтный метод. Предложен Лемером. Очередное случайное число xn определяется через предыдущее по линейному закону: xn=(a*xn+1+c) mod m, где a,c,m – натуральные числа. Наибольший возможный период равен m. Количество неповторяющихся элементов, выдаваемых генератором, называется периодом. i≤T≤m.
Генератор Фибоначчи. Для задания 1-х семнадцати значений пользуются другим генератором. Значения сохраняются в массиве
A[1..17] of real;
i:=17; j:=5;
x:=a[i]-a[j];
if x<0 then x:=x+1;
a[j]:=x;
dec(i); dec(j);
if i=0 then i=17;
if j=0 then j=17;
Метод Монте-Карло. Метод используется при моделировании стохастических процессов. Одним из наиболее распространенных применений метода является вычисление многомерных интегралов.
Дано: пруд. Вычислить: площадь пруда.
Берем N0 камней и равномерно разбрасываем их по всей площади прямоугольника. Считаем всплески. N камней попало.
N0/N≈a*b/Sпруда→N*a*b/N0. При небольшом числе попыток, площадь пруда ≈ N*a*b/N0.
Реализация на компе: если точка под кривой, то N=N+1.
Метод фон Неймана. Нужно сгенерировать случайные числа с некоторой нормированной функцией распределения f(x) на интервале [a,b]. Метод фон Неймана – метод отбора отказов. Генерируются два случайных числа, определяющих равновероятные координаты в прямоугольнике с помощью датчика случайных чисел.
r:=random;
x:=a+(b-a)*r;
y:=f(max)*r.
Если точка не попадает под кривую f(x), мы ее отбрасываем, а если попадает – оставляем. Метод эффективен, когда f(max) близко к f(x).
Моделирование фрактальных объектов. Конструктивные, алгебраические и стохастические фракталы. Понятие о фрактальной размерности. Рекурсивный алгоритм построения конструктивных фракталов.
Моделирование фрактальных объектов.
Фрактал (лат. fractus — дробленый) — термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, строго большую топологической.
Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими-либо из перечисленных ниже свойств:
Обладает нетривиальной структурой на всех шкалах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.
Является самоподобной или приближённо самоподобной.
Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.
Может быть построена при помощи рекурсивной процедуры.
Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например побережья, облака, кроны деревьев, кровеносная система и система альвеол человека или животных.
Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.
Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».