пособие по физике формат pdf / Глава 4. Электродинамика
.pdf
С использованием набла-оператора уравнения Максвелла в единицах СИ в дифференциальной форме будут иметь вид:
Название |
Запись уравнения |
Словесное выражение |
||||
уравнения |
|
|
|
|
|
физического смысла уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
Закон Гаусса |
|
|
|
|
|
Электрический заряд является |
для |
D |
|
|
источником электрической |
||
электрического |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
индукции D. |
|
поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Закон Гаусса |
|
|
|
|
|
|
для магнитного |
B 0 |
|
|
Магнитных зарядов не |
||
поля |
|
|
|
|
|
существует. |
Закон индукции |
|
|
|
|
Изменение магнитной индукции |
|
|
B |
|
||||
Фарадея |
E |
|
|
|||
|
|
|
||||
t |
|
|
B порождает вихревое |
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
электрическое поле E. |
|
|
|
|
|
|
|
Теорема о |
|
|
|
|
|
Электрический ток и изменение |
|
|
|
|
|
|
|
циркуляции |
j |
D |
электрической индукции D |
|||
магнитного |
H |
|
t |
порождают вихревое магнитное |
||
|
|
|
|
|||
поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поле H . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь D электрическая индукция (единицы измерения в СИ – |
|||
|
|
|
|
Кл/м2), чтобы связать её с напряжённостью E электрического поля в |
|||
вакууме, ввели 0 электрическую постоянную |
|
|
|
(D 0E); |
H |
||
напряжённость магнитного поля (единицы измерения в СИ – А/м), |
||||
|
|
|
|
|
чтобы связать её с индукцией B |
магнитного поля в вакууме, ввели |
|||
0 магнитную |
|
|
|
плотность |
постоянную |
(B 0 H ); |
|||
электрического |
заряда (в единицах СИ – |
Кл/м³); |
j плотность |
|
электрического тока (в единицах СИ – А/м2).
С применением формул Остроградского-Гаусса и Стокса эти уравнениям Максвелла можно проинтегрировать и получить уравнения Максвелла в интегральной форме. В единицах СИ они будут иметь вид:
172
Название
уравнения
Закон Гаусса для электрического поля
Закон Гаусса для магнитного поля
Закон
индукции
Фарадея
Теорема о циркуляции магнитного поля
Запись уравнения
DdS Q
S
BdS 0
S
|
d |
|
|
Edl |
BdS |
||
|
|||
l |
dt s |
||
|
d |
|
|
Hdl I |
dt |
DdS |
|
l |
s |
||
|
Словесное выражение физического смысла уравнения
Поток электрической
индукции D через замкнутую поверхность S равен величине Q
свободного заряда, находящегося в объёме V , который окружает поверхность S.
Поток магнитной индукции
B через замкнутую
поверхность |
S |
равен нулю |
(магнитных зарядов не |
||
существует). |
|
|
Изменение потока |
|
|
|
магнитной индукции |
B |
через незамкнутую поверхность S, взятое с обратным знаком,
пропорционально вихрю
электрического поля E на замкнутом контуре l, который является границей поверхности S.
Полный электрический ток I свободных зарядов и изменение потока
электрической индукции
D через незамкнутую поверхность S пропорциональны
циркуляции магнитного
поля H на замкнутом контуре l, который является границей поверхности S.
173
В общем случае в уравнениях Максвелла (как в
дифференциальной, так и в интегральной форме) векторные функции |
||
|
|
|
E, B, D, H |
являются равноправными неизвестными величинами, |
|
определяемыми в результате решения этих уравнений. Однако эта симметрия не всегда согласуется с опытом. Химическое, физическое и
другие действия электромагнитного поля на |
вещество вызваны |
|
|
|
|
главным образом электрической составляющей |
E, (D). |
|
Приведённые выше уравнения не учитывают свойств среды, в которой возбуждено электромагнитное поле, а эти свойства влияют на
связь между напряжённостью и индукцией как электрического, так и |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
магнитного поля. Например, в вакууме |
D 0 E |
и |
B 0 H , |
а в |
||
средах сторонние электрические и магнитные поля вызывают поляризацию и намагничивание среды, и эта связь существенно
изменяется: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
||||||
|
|
|
D 0 E P и |
B 0 (H M ), |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
P |
вектор |
поляризации |
(в |
СИ измеряется в Кл/м2) – |
|||
электрическая индукция, которая обусловлена смещением связанных
зарядов вещества во внешнем электрическом поле относительно их
расположения при отсутствии внешнего электрического поля; M вектор намагниченности – магнитный момент единицы объёма среды (в СИ измеряется в А/м).
|
В изотропных и однородных средах без дисперсии уравнения |
||||||
Максвелла принимают следующий вид: |
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Закон Гаусса для электрического поля: |
|
|
; |
|
||
E |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2. |
Закон Гаусса для магнитного поля: |
B 0; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
||
3. |
Закон индукции Фарадея: |
E |
; |
|
|||
|
|
|
|
t |
|
|
|
4. |
Теорема о циркуляции магнитного поля: |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
B 0 j E . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 t |
|||||
|
В оптическом диапазоне частот вместо диэлектрической |
||||||
проницаемости используется показатель |
|
|
|
|
|||
преломления n |
|
, |
|||||
показывающий отличие скорости распространения монохроматической световой волны в среде от скорости света в вакууме.
174
Ввакууме и диэлектрическая, и магнитная проницаемости равны единице: 1, 1.
Всамом начале прошлого века Пуанкаре1 постулирует принцип
инвариантности уравнений Максвелла относительно инерционных систем2. Этот принцип вошёл в противоречие с принципом относительности Галилея с одной стороны, а с другой явился математическим выражением принципа независимости скорости света от постоянной скорости движения его источника относительно выбранной системы координат, на основе которого возникла новая релятивистская физика.
Вопросы для самоконтроля
1. Найдите градиент функции |
xy z |
2 |
|
изобразите его в виде векторной диаграммы.
в точке (1,1,0),
2.Как определить, что векторное поле в некоторой заданной точке имеет сток?
3.Что такое ротор или вихрь векторного поля?
4.Сформулируйте закон Гаусса для электрического поля и запишите его в виде уравнения Максвелла в дифференциальной форме.
5.Сформулируйте закон Гаусса для магнитного поля и запишите его в виде уравнения Максвелла в интегральной форме.
6.Сформулируйте закон индукции Фарадея и запишите его в виде уравнения Максвелла в дифференциальной форме.
7.Запишите теорему о циркуляции магнитного потока в виде уравнения Максвелла в интегральной форме.
1 Жюль Анри Пуанкаре (Jules Henri Poincaré; 1854 – 1912) – фр. математик и физик, глава Парижской академии наук (1906), член более 30 академий мира, в том числе иностранный член-корреспондент Петербургской академии наук
(1895).
2 Ранее уравнения движения, используемые физиками, были не инвариантны относительно инерционных систем, но все они инвариантны относительно преобразований координат Галилея при переходе из одной инерционной системы в другую. Но для уравнений движения электрических зарядов искусственно физики ввели исключение, придав тем самым уравнениям Максвелла особый статус. Зачем?
175