пособие по физике формат pdf / Глава 5. Оптика
.pdf
Глава 5. Волновая оптика
Оптика (от др.-греч. ὀπτική - появление или взгляд) – раздел физики, изучающий явления, связанные с распространением электромагнитных волн преимущественно видимого и близких к нему диапазонов (инфракрасное и ультрафиолетовое излучение). Оптика описывает свойства света и объясняет связанные с ним явления.
§5.1. Электромагнитная природа света. Поляризация света
Электромагнитные колебания, которые человеческий глаз воспринимает как свет, лежат в диапазоне частот от 400 до 790 терагерц (1ТГц = 1012Гц), что соответствует участку шкалы электромагнитных волн с длинами λ приблизительно от 380 (фиолетовый) до 780 (красный) нанометров (1нм = 10-9 м).
Скорость электромагнитных волн (света) в среде меньше, чем в вакууме. Максвеллом было установлено, что скорость света в среде
n
c |
, где |
|
n |
||
|
||
|
||
c |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
||
|
|
|
||
показатель
299 792 458
преломления
м |
|
скорость света в вакууме; |
|||
с |
|||||
|
|
|
|
||
среды; |
, |
относительные |
|||
электрическая и магнитная проницаемости среды соответственно (в
вакууме они равны единице);
0 8,85418782... 10 12 Фм
постоянные соответственно.
|
|
1,25663706... 10 |
6 |
Гн |
; |
0 |
|
м |
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
магнитная и электрическая
Показатель преломления среды n |
c |
показывает – во сколько |
||
|
||||
|
|
в среде. |
||
раз скорость света c в вакууме больше скорости света |
||||
Электромагнитные колебания не являются колебаниями среды. Носителем электромагнитных волн является электромагнитное поле, а среда, сквозь которую эти волны «просачиваются», лишь оказывает сопротивление их распространению. Поэтому скорость света в среде может быть только меньше скорости света в вакууме: c и n 1.
Для большинства прозрачных сред |
1 n 2,5, в частности, |
показатель преломления изумруда 1,59, |
а белого алмаза 2,42. На |
175
показатель преломления прозрачных растворов и газов влияет и
температура среды. |
|
|
|
Как было отмечено в предыдущей главе, вектор скорости |
|
|
|
распространения электромагнитной волны перпендикулярен |
E |
|
|
вектору напряжённости электрического поля и вектору индукции |
B |
магнитного поля, а последние два вектора ещё и перпендикулярны друг другу. Следовательно, эти векторы образуют правовинтовую тройку взаимно перпендикулярных векторов (рис. 5.1) и связаны
соотношением векторного произведения |
|
|
|
|
|
E [B, ]. |
(5.1) |
|
|
В |
|
м |
E |
м |
|
с |
|
|
||
|
|
|
|
E |
|
|
|
0 |
|
|
|
О 
λ
x
B Тл
Рис. 5. Мгновенная фотография электромагнитной волны
Из (5.1) следует, что модули этих векторов
соотношением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E B sin |
|
B |
c |
B |
|
1 |
|
B |
. |
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
связаны
(5.2)
Следовательно, модули напряжённости электрического поля и магнитной индукции пропорциональны друг другу и их связь определяется выражением:
B |
|
0 |
E. |
|
|
0 |
(5.3)
Поскольку опытные данные свидетельствуют о преимущественном влиянии на вещества в основном электрической составляющей E электромагнитного поля, то свет в первом
176
приближении можно рассматривать как волну, в которой происходят |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
колебания только электрического вектора |
E. |
|
|
|
||||
|
|
Согласно (1.52) аргумент функции, описывающий волну, |
||||||
распространяющуюся вдоль оси |
x |
со скоростью |
, должен иметь вид |
|||||
t |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В случае гармонической |
волны (такими могут |
быть |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
монохроматические световые |
волны) |
модуль |
вектора |
E |
будет |
|||
изменяться по синусоидальному закону: |
E |
E E |
cos t kx , |
0 |
|
0 |
cos |
|
t |
x |
|
|
|||
E |
|
|
||
|
|
|
или
(5.4)
где k |
|
|
2 |
|
волновое число, |
2 |
угловая частота; T |
|
|
|
|||||||
|
|
T |
||||||
|
|
|
|
|
||||
период; |
T |
длина волны (рис. 5.1). Такая одномерная волна |
||||||
является функцией двух переменных – координаты |
x |
и времени t. |
Если зафиксировать время (сделать мгновенную фотографию |
||
|
|
|
электромагнитной волны, на рис. 5.1 ось |
x |
совпадает с вектором ), |
то такая «застывшая» волна будет представлять собой синусоиду в |
||
|
|
|
плоскости xОE. |
|
|
|
|
|
В приведённом случае вектор |
E |
колеблется в одной плоскости, |
называемой плоскостью поляризации, а свет, соответствующий этому случаю, называют плоскополяризованным или линейно поляризованным, поскольку в сечении, перпендикулярном плоскости
поляризации вектор |
будет изменяться только в одном (вертикальном, |
|||||||||
рис. 5.2а) направлении. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
О’ |
E0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
E |
|
E |
E |
|
|
E0 |
E |
a |
|
О |
|
|
|
|
|
α |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
E |
|
|
|
О |
’ |
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
O |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
б) |
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.2 |
|
|
|
Рис. 5.3 |
|||
177
|
|
|
В обычном свете колебания вектора |
E |
хаотично и быстро |
меняют ориентацию с равной вероятностью по всем направлениям
(рис. 5.2б). Такой свет называется естественным. |
|
|
|||
Когда |
же имеет место преимущественно |
в каком-то одном |
|||
|
|
|
|
|
|
направлении |
ориентация вектора |
E |
(рис. 5.2в), |
то такой свет |
|
называют частично поляризованным. |
|
|
|
||
Устройства, которые позволяют |
получать |
из |
естественного |
||
света линейно поляризованный, называют поляризаторами света.
Некоторые кристаллы, в частности такие, как турмалин, обладают |
|
|
|
свойством пропускать световые волны с колебаниями вектора |
E |
только в одном направлении. Это направление называется осью поляризации.
Если на пути луча света, вышедшего из поляризатора, поставить ещё один поляризатор с осью поляризации, перпендикулярной оси поляризации первого поляризатора, то свет через него не пройдёт. Второй поляризатор называют анализатором. С помощью него можно проверять линейную поляризацию луча света, и определять направление его оси поляризации. Луч, выходящий из анализатора,
будет иметь максимальное значение амплитуды
E |
а |
, |
|
|
равное
амплитуде колебаний
E0
линейно поляризованного луча до его входа
в анализатор, если ось поляризации этого луча совпадёт с осью поляризации анализатора.
Амплитуда |
E |
а |
прошедшего через анализатор света зависит от |
|
амплитуды |
E |
падающего на него луча света и угла |
|
(рис. 5.3) |
0 |
|
между осями ОО поляризатора (П) и О’О’ анализатора (А):
E |
E cos . |
(5.5) |
a |
0 |
|
При наклонном падении света на границу раздела двух диэлектриков отражённый свет является частично поляризованным.
Пусть показатель преломления первой среды |
n |
|
c |
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(той, от граничной поверхности которой отражается луч) –
то закон Брюстера будет гласить: при угле
, |
а второй |
n |
|
c |
, |
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
падения,
удовлетворяющем условию
полностью поляризован.
|
n |
|
|
tg |
2 |
, |
|
n |
|||
|
|
||
|
1 |
|
отраженный луч будет
178
Вопросы для самоконтроля
1.Может ли скорость света в среде превышать скорость света в вакууме? Почему?
2.Какова связь между векторами напряжённости электрического поля, магнитной индукции в электромагнитной волне и скорости распространения электромагнитной волны?
3.Какова связь между модулями напряжённости электрического поля и магнитной индукции в электромагнитной волне?
4.Запишите волновое уравнение для электромагнитной волны.
5.Что такое линейная поляризация света?
6.Что представляют собой поляризаторы и анализаторы светового луча?
7.От чего зависит величина амплитуды колебаний прошедшего через анализатор линейно поляризованного луча света?
8.Сформулируйте закон Брюстера.
§5.2. Энергетические характеристики электромагнитной волны. Характеристики света, воспринимаемые глазом
Электромагнитные волны несут в себе энергию, заключённую в электрическом и магнитном полях.
|
|
|
Объёмная |
плотность |
энергии магнитного поля |
w |
|
|
BH |
|
|||||||
|
|
|
м |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
2 |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
где |
H |
|
напряжённость магнитного |
поля. |
В |
||||||||
|
|
|
0 |
||||||||||||||
|
2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
вакууме магнитная проницаемость 1. |
Поэтому в нашем случае |
||||||||||||||||
|
|
|
|
B |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
. Объёмная плотность энергии электрического поля |
w |
||||||||||||
м |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
э |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
найдётся |
|
из |
(3.17) |
при |
а |
плотность |
энергии |
w |
|||||||||
электромагнитного поля определится |
как |
сумма w wэ wм |
|||||||||||||||
|
0 E 2 |
|
B2 |
0E |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 0 |
2 |
0 |
|||
использовалось соотношение при 1, и 1.
|
|
B |
|
|
|
|
|
0 |
2 |
0 |
|
|
|
||
|
B |
|
|
E |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
0 |
E, |
|
||
|
|
|
|
|
||
0 EB.
0
вытекающее
Здесь
из (5.3)
179
Введём понятие потока протекающей через площадку
|
S |
|
|
|
|
|
|
c |
|
α |
|
x |
|
n |
|
|
|
Рис. 5.4 |
|
|
энергии, как
S (рис. 5.4) в |
|||||
|
|
|
W |
. |
|
э |
t |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
количества W |
энергии, |
единицу времени: |
|
|
(5.6) |
|
|
|
n |
dΩ |
α |
|
ds |
R |
|
Рис. 5.5
Энергия
W wV wS x cos ,
где
x c t
смещение
фронта волны (рис. 5.4) за время
вакууме. Тогда из (5.6) получим
t;
c |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
0 |
0 |
||
|
|
|
||
скорость света в
|
|
|
wSc t cos |
|
wS cos |
|
|
0 |
EB |
S cos |
|||||||
э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Единицей измерения в СИ потока энергии |
|
э |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Вт).
EB S cos .
0
является ватт
Поток энергии, падающий на единицу площади поверхности, относительно которой вектор скорости волны нормален, называется
плотностью потока световой энергии. Он будет равен согласно последнему выражению
P |
|
э |
|
EB |
. |
|
|
||||
э |
S cos |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
(5.7)
по E,
|
Плотность потока энергии определяют как вектор, совпадающий |
|
направлению с вектором скорости |
волны. Поскольку векторы |
|
|
|
|
B |
и c попарно перпендикулярны, |
то вектор плотности потока |
энергии электромагнитной волны в вакууме будет определяться как векторное произведение
|
|
1 |
|
|
P |
|
[E, B]. |
(5.8) |
|
|
||||
э |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
180
Эту векторную величину называют вектором УмоваПойтинга. По (5.7) вычисляется мгновенное значение модуля этой
величины. Величины |
E |
|
и |
B |
изменяются во времени по |
|||||||||||||||||||
синусоидальному закону с периодом колебаний T. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Среднее за период |
|
значение |
|
плотности |
потока |
|
называется |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
э |
|
T |
э |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
интенсивностью электромагнитной волны: I |
|
|
|
P dt |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 T |
|
|
1 T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
E(t)B(t)dt |
|
|
|
|
E2 (t) |
|
0 0 dt |
|
|
|
|
|
|
|
E2 (t)dt. |
||||
T |
|
|
T |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
После подстановки E из (5.4), |
интегрирования и сокращений |
|||||||||||||||||||||
окончательно получим:
I |
|
|
1 |
|
0 E2. |
|
э |
|
|
||||
|
|
2 |
|
0 |
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
(5.9)
Следовательно, интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды напряжённости электрического поля и обратно
пропорциональна
|
|
|
|
Z |
0 |
|
|
|
|||
|
|
||
|
0 |
|
волновому сопротивлению. В СИ
интенсивность измеряется в ваттах на квадратный метр (Вт/м2).
Из (5.5) и (5.9) следует закон Малюса: интенсивность линейно поляризованного луча света после прохождения анализатора, ось
поляризации которого смещена на угол |
|
относительно |
||||||
первоначальной оси поляризации света, равна |
|
|
||||||
I |
|
I |
|
cos |
2 |
. |
|
(5.10) |
эа |
э0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Энергетические характеристики |
|
не |
достаточно полно |
|||||
описывают свойства световых волн. В пределах видимого диапазона чувствительность человеческого глаза к ним не одинакова. Около его границ она близка к нулю, а ближе к середине – максимальна. Такую
кривую чувствительности глаза |
( ) |
называют спектральной |
световой эффективностью или видностью. Область значений этой
величины |
0 ( ) 1. |
Наибольшее значение |
|
max |
1 |
она |
принимает при длине волны 555нм.
Световой поток, оцениваемый по зрительному ощущению и измеряемый в люменах (лм), не совпадает с потоком энергии. В узком
спектральном диапазоне |
[ , ] |
он будет пропорционален |
потоку энергии |
|
|
181
|
1 |
( ) |
, |
|
|||
|
A |
э |
|
|
|
|
(5.11)
где
А 1,466 |
Вт |
|
|
лм |
|||
|
|
переводной коэффициент, называемый
механическим эквивалентом света.
Силой света |
J |
называют величину светового потока, |
приходящуюся на единицу телесного угла. Единицей силы света в СИ является кандела (кд), старое название – свеча. Телесный угол измеряется в стерадианах (стер) и по определению равен (рис. 5.5):
d ds |
cos |
, |
(5.12) |
|||
|
R |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
при этом сила света |
|
|
|
|
|
|
J |
d |
. |
|
(5.13) |
||
|
|
|||||
|
|
d |
|
|
||
Поэтому
d Jd ,
и, следовательно, 1лм = 1кд·стер.
Освещённостью называют отношение светового потока, падающего на некоторую поверхность, к её площади:
|
d |
. |
(5.14) |
|
ds |
||||
|
|
|
Освещённость измеряется в люксах (1лк = 1лм/м2). Из (5.12), (5.13) и (5.14) следует, что
|
J |
cos . |
||
R |
2 |
|||
|
|
|||
|
|
|
||
(5.15)
Для источников света, размерами которых пренебречь нельзя, вводят понятия яркости и светимости. Отношение светового потока, исходящего от элемента поверхности, к площади этой поверхности называется светимостью:
M lim |
|
, |
(5.16) |
S 0 |
S |
|
|
где S площадь элемента источника света. |
|
|
|
Яркость определяют как отношение силы света J |
в заданном |
||
направлении, к площади проекции светящейся площадки на плоскость, перпендикулярную этому направлению:
L lim |
J |
, |
(5.17) |
|
|
||||
S cos |
||||
S 0 |
|
|
182
где
угол между нормалью светящейся поверхности и
направлением, в котором определяется яркость. В пределе и с учётом определения силы света (5.13) можно записать:
|
dJ |
|
d |
2 |
|
|
|
L |
|
|
. |
||||
dS cos |
d dS cos |
||||||
|
|
|
|||||
(5.18)
Единицей измерения яркости является кандела на квадратный метр (кд/м2). Именно яркость светящегося объекта является фотометрической величиной, на которую непосредственно реагирует орган зрительного восприятия – глаз.
Вопросы для самоконтроля
1.Чему равна объёмная плотность энергии электромагнитного поля в вакууме?
2.Что такое поток энергии электромагнитного поля?
3.Что определяет вектор Умова-Пойтинга?
4.Как изменится интенсивность световой волны при увеличении амплитуды электрических колебаний в два раза?
5.Сформулируйте закон Малюса.
6.Назовите характеристики света, ощущаемые человеческим глазом.
7.Какие характеристики света существуют, для случая, когда размерами источника света нельзя пренебречь?
§5.3. Интерференция света
В своих опытах Френель1 определил волновые свойства света задолго до появления электромагнитной теории.
Интерференция – это явление наложения одной волны на другую. Для света интерференция наблюдается при взаимодействии двух когерентных (т.е. одинаковой частоты и постоянной разностью фаз колебаний) световых волн. Когерентные световые лучи получаются от одного общего источника света путём деления его светового пучка на две части.
Пусть имеется два когерентных луча, волновые уравнения
которых согласно (5.4) имеют вид |
E1 E0 (cos t kx1) и |
|
|
|
|
1Огюстен Жан Френель( Augustin-Jean Fresnel; |
1788 - 1827), французский физик, |
|
один из создателей волновой теории света. |
|
|
183
E |
E |
cos( t kx |
). |
2 |
0 |
2 |
|
Тогда их сумма с использованием
тригонометрической формулы сложения косинусов даст такое волновое уравнение:
E12 E1 E2 |
E0[cos( t kx1) cos( t kx2 )] |
|||||||||
|
|
t k |
x |
x |
|
|
k |
x |
x |
|
E 2 cos |
1 |
2 |
|
cos |
1 |
2 . |
||||
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Выражение
cos t k |
x |
x |
|
1 |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
здесь можно заменить
единицей |
– его средним |
значением |
за |
период. |
Волновое число |
||||||
k |
2 |
, |
и окончательно искомое волновое уравнение интерференции |
||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
приобретёт вид |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
E |
2E |
2 |
1 |
(5.19) |
||||
|
|
|
cos |
|
|
. |
|||||
|
|
|
12 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
хода
Из (5.19) следует, что двух волн равна
если в какой-то точке экрана целому числу волн
разность
x |
x |
|
2 |
1 |
|
m
(m
0,1,2,...),
т.е. чётному числу полуволн
x |
x |
2m |
|
, |
|
||||
2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
то
в этой точке напряжённость |
E |
, |
а, следовательно, и интенсивность |
|
12 |
|
|
света, будет максимальной. И, наоборот, в тех точках экрана, где
разность |
хода |
|
равна |
нечётному |
|
числу |
полуволн |
||
x |
x |
(2m 1) |
|
, напряжённость E |
0. |
В этих точках волны |
|||
|
|||||||||
2 |
1 |
|
|
2 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
находятся в противофазах и гасят друг друга. Здесь происходит сложение двух одинаковых синусоид, сдвинутых по фазе на .
Таким образом, на экране будет наблюдаться чередование светлых и тёмных полос – интерференционная картина. Одной из схем её получения является интерферометр Юнга (рис. 5.6).
Свет от источника И (Юнг использовал солнечный свет) проходит сквозь светофильтр 1, пропускающий узкий диапазон длин волн [λ, λ+Δλ]. Это повышает степень монохроматичности волны. Затем, проходя через узкую щель S диафрагмы 2, свет собирается в световой пучок, направленный на преграду 3 с двумя близкими друг к другу узкими щелями S1 и S2. Проходя через эти щели, свет раздваивается на два когерентных луча. Лучи, встречающиеся в центре экрана 4 (точка О), имеют одинаковую длину пути
x2 x1 0, поэтому в центре интерференционной картины согласно
184