пособие по физике формат pdf / Глава 4. Электродинамика
.pdf
заряд, называется силой Лоренца1. Выражение для модуля этой силы следует из (4.10):
|
F |
q vBsin , |
(4.11) |
||
|
Л |
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
угол между вектором |
B |
и направлением |
скорости v |
||
движущейся частицы с зарядом q.
Поскольку сила Лоренца перпендикулярна перемещению заряда, она не может совершать работы, а изменяет лишь направление скорости движущегося заряда и действует как центростремительная сила, сообщая ему центростремительное ускорение. Радиус
окружности, по которой движется частица, зависит от её заряда q,
массыm, скорости v и индукции B магнитного поля. Это можно
использовать при экспериментальном определении (в ускорителях элементарных частиц) отношения заряда частицы к её массе. В магнитосфере Земли заряжённые частицы испытывают действие силы Лоренца, образуя радиационные пояса.
Вопросы для самоконтроля
1.Какие факты свидетельствуют о том, что магнитное поле создаётся движущимися зарядами и воздействует только на движущиеся заряды?
2.Что является силовой характеристикой магнитного поля? Какими единицами она измеряется в СИ?
3.Сформулируйте закон Ампера.
4.Как определяется направление силы Ампера.
5.Напишите формулу для определения модуля силы Лоренца.
§4.9. Закон Био-Савара-Лапласа. Магнитная индукция проводников разной формы
Этот физический закон даёт возможность определять величину
и направление вектор индукции B магнитного поля, порождаемого постоянным электрическим током. В современной формулировке он является следствием двух уравнений Максвелла для магнитного поля при условии постоянства электрического поля.
1 Хендрик Антон Лоренц (Hendrik Antoon Lorentz;1853 – 1928) — выдающийся голландский физик. В 1880 г. совместно с однофамильцем Людвигом Лоренцем (Ludvig Valentin Lorenz, 1829 – 1891, датский физик-теоретик) вывел формулу для данной силы.
142
На основании опытных данных Био1 и Савара2 по исследованию полей от проводников с током различной формы (1820 г.) Лаплас3 вывел формулу, названную впоследствии законом Био-Савара-
Лапласа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 [Idl , r ] |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
dB |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
(4.12) |
||
|
|
|
|
|
4 |
|
r3 |
|
|
|
|||||||
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
сила |
тока; |
dl |
элемент длины |
проводника (вектор, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определяющий направление тока в данной точке проводника); r |
|||||||||||||||||
радиус-вектор, |
проведённый в ту |
точку поля, где определяется |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 10 |
7 Гн |
магнитная постоянная, |
|||||||||
магнитная индукция |
B; |
0 |
|
м |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
измеряемая в единицах генри на |
метр |
(1 Гн/м = 1 Н/А2); |
|||||||||||||||
относительная |
магнитная |
|
|
проницаемость, |
характеризующая |
||||||||||||
магнитные свойства среды. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Из (4.12) следует, что направление вектора магнитной индукции |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
перпендикулярно векторам |
|
dl |
лежащим в плоскости чертежа |
||||||||||||||
|
и r , |
||||||||||||||||
(рис. 4.20), и магнитные линии пронизывают эту плоскость |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
т.е. нам виден хвост стрелки вектора |
B. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
R |
|
r |
dl |
|
|
|
||
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
dl |
r |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 4.20 |
|
Рис. 4.21 |
Рис. 4.22 |
|||||||
сверху,
B
R
1Жан-Батист Био (Jean-Baptiste Biot; 1774 –1862) — знаменитый французский учёный, физик, геодезист и астроном, член Парижской Академии наук (1803).
2Феликс Савар (Félix Savart, 1791 – 1841) — был врачом в Страсбурге (1816), затем преподаватель физики в одном частном учебном заведении в Париже. Хотя он и не был великим ученым, но благодаря своим исследованиям оставил в науке своё имя.
3 Пьер-Симон Лаплас (Pierre-Simon de Laplace; 1749 – 1827) — выдающийся французский математик, физик и астроном. Лаплас состоял членом шести Академий наук и Королевских обществ, в том числе Петербургской Академии (1802). Его имя внесено в список величайших учёных Франции, помещённый на первом этаже Эйфелевой башни.
143
Модуль от дифференциала магнитной индукции из (4.12) будет
равен |
|
|
|
|
|
dB |
|
0 |
Idl sin |
, |
(4.13) |
|
|
||||
4 |
r |
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
где угол между векторами B и dl |
(рис. 4.20). |
|
Рассмотрим в качестве проводника виток с током (рис. 4.21) и по формуле (4.13) вычислим модуль магнитной индукции в
центральной точке этого витка. Здесь |
|
|
, r R. |
Тогда |
после |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
интегрирования по кривой l |
формулы (4.13) получим |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
I sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
I |
|
|
|
I |
|
|
|||
B dB |
|
|
|
dl |
0 |
2 R 0 |
. |
(4.14) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4 R |
2 |
|
4 R |
2 |
2R |
||||||||||
l |
|
l |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Направление вектора магнитной индукции для витка с током определится по правилу буравчика: если вращать ручку буравчика (правого винта) по направлению тока, то его поступательное
движение будет |
совпадать с направлением силовых линий |
|
|
|
|
магнитного поля, т.е. с направлением вектора |
B (рис. 4.21). |
|
Аналогично |
находится выражение для |
магнитной индукции |
поля, создаваемого прямолинейным проводником бесконечной длины. Её модуль будет равен
|
|
|
B dB |
|
0 |
2I |
, |
(4.15) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
4 |
R |
||||
|
|
|
l |
|
|
|||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
где |
кратчайшее расстояние точки определения |
магнитной |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
индукции |
B |
до проводника (рис. |
|
4.22). Направление вектора |
||||
магнитной индукции для прямолинейного проводника определится по
правилу буравчика: если вращать ручку буравчика так, чтобы его поступательное движение совпало с направлением тока в проводнике
(на рис. 4.22 это направление – вверх), то направление движения ручки буравчика будет совпадать с направлением силовых линий.
Из выражений (4.14) и (4.15) следует, что магнитная индукция прямо пропорциональна току в проводнике и обратно пропорциональна кротчайшему расстоянию до него.
Если проводник намотать на катушку, то исходя из принципа суперпозиции магнитной индукции, её значение будет равно магнитной индукции одного витка (4.14), умноженной на число витков N катушки:
144
B |
|
IN |
. |
|
0 |
2R |
|||
|
|
|||
|
|
|
(4.16)
Магнитное поле ещё больше усилится, если внутрь такой катушки вставить железный и, тем более, ферромагнитный сердечник
(рис. 4.23).
Так можно создавать электромагниты любой магнитной силы. Обычно электромагнит состоит из обмотки, которую изготавливают из изолированного алюминиевого или медного провода, и ферромагнитного сердечника, который приобретает свойства магнита при прохождении по обмотке тока. Сила тока в электромагнитах преобразуется в силу притяжения магнитным полем.
+
I
|
Рис. 4.23. Электромагнит постоянного тока |
|
|
Вопросы для самоконтроля |
|
|
|
1. |
Напишите дифференциальную формулу закона Био-Савара- |
||
|
Лапласа. |
|
|
|
|
|
|
2. |
Как определить направление вектора магнитной индукции |
B |
|
|
в самом общем случае? |
|
|
|
|
|
|
3. |
Как определить модуль вектора магнитной индукции B и его |
||
направление для прямолинейного проводника с током
бесконечной длины?
4.Как определить модуль вектора магнитной индукции направление для круглого витка с током?
5.Как изменится величина магнитной индукции, если ток в проводнике увеличить в два раза?
6.Как изменится величина магнитной индукции, если расстояние до проводника с током уменьшить в два раза?B его
145
7.Как называется устройство, создающее сильное магнитное поле? Из чего оно состоит?
§4.10. Электромагнитная индукция. Самоиндукция. Энергия магнитного поля
Если с помощью электрического тока можно создавать сильные магнитные поля, то нельзя ли решить обратную задачу – получить электрический ток с использованием магнитного поля? Эта задача была решена, когда Майкл Фарадей (1831 год) открыл явление электромагнитной индукции. Он установил, что ток в цепи катушки возникает: при движении постоянного магнита относительно катушки (рис. 4.24а); при изменении тока в цепи второй катушки (рис. 4.24б); при движении катушек относительно друг друга, когда в цепи второй катушки течёт постоянный ток.
S |
|
N |
|
а) |
б) |
Рис. 4.24. Опыты Фарадея
Вывод: в замкнутом контуре при изменении магнитного потока возникает электрический ток. Чем резче были движения магнита и катушки с током, тем на большую величину откланялась стрелка гальванометра в замкнутой цепи без источника ЭДС. Следовательно, величина импульса индуцированного в цепи тока пропорциональна скорости изменения магнитной индукции.
Магнитным потоком через поверхность площадью S |
называется |
|
|
скалярное произведение магнитной индукции B на эту площадь: |
|
|
|
|
(4.17) |
BnS BS cos , |
|
где угол между вектором к поверхности S.
B магнитной индукции и нормалью
n
146
Магнитный поток определяет густоту магнитных силовых линий поля. Единицей измерения магнитного потока в СИ является
вебер: 1 Вб = 1 Тл·м2.
ЭДС по закону Ома пропорциональна силе индуцированного тока, поэтому та ЭДС, которая возникает в замкнутой цепи, будет пропорциональна скорости изменения пронизывающего эту цепь магнитного потока. Эту ЭДС называют ЭДС индукции. Она равна производной по времени от магнитного потока:
u |
d |
. |
(4.18) |
|
|||
|
dt |
|
|
Знак минус отражает здесь правило Ленца: возникающий в замкнутой цепи ток своим магнитным полем противодействует тому изменению магнитного потока, которое его породило.
Итак, переменное магнитное поле порождает переменный (индуцированный) электрический ток в замкнутой цепи, собственное переменное магнитное поле которого противодействует изменению внешнего магнитного поля, а, следовательно, противодействует и изменению индуцированному в цепи току.
Явление возникновения ЭДС в проводнике с переменным током, создающим изменение собственного магнитного потока, называется самоиндукцией, а возникающая при этом ЭДС –
электродвижущей силой самоиндукции.
Из (4.14), (4.15), (4.16) и (4.17) следует, что магнитный поток, создаваемый магнитным полем любого проводника, пропорционален силе тока в проводнике:
LI , |
(4.19) |
где коэффициент пропорциональности L зависит от длины и формы проводника, называемый индуктивностью проводника.
Из (4.18) и (4.19) следует, что ЭДС самоиндукции
|
|
L |
dI |
. |
|
c |
dt |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
(4.20)
Индуктивность проводника с переменным током численно равна отношению его ЭДС самоиндукции к производной по времени
от этого переменного тока. В СИ индуктивность |
L |
измеряется в |
генри: 1Гн = 1В·с/А = 1Ом·с. Для увеличения индуктивности проводник наматывают на катушку. Из (4.16), (4.17) и (4.19) следует, что индуктивность катушки пропорциональна числу N витков.
Явление самоиндукции можно наблюдать при замыкании цепи последовательно соединённых ЭДС, лампочки и катушки индуктивности. Лампочка вспыхивает не мгновенно, а постепенно, её нить накаливания медленно увеличивает свою яркость. При
147
размыкании этой цепи лампочка гаснет не мгновенно, а тоже постепенно.
Для создания в проводнике с индуктивностью |
L |
силы тока |
I |
источник тока должен совершать работу против ЭДС самоиндукции. Из закона сохранения энергии следует, что при этом энергия источника тока превращается в энергию магнитного поля. Эту энергию определяют по формуле:
E |
LI 2 |
. |
(4.21) |
cu |
2 |
|
|
За счёт этой энергии ток не исчезает мгновенно после |
|
размыкания цепи, а какое то время существует. |
|
Вопросы для самоконтроля
1.В чём суть открытия Фарадея?
2.Что такое магнитная индукция?
3.Что такое магнитный поток? Как он связан с ЭДС индукции?
4.Сформулируйте правило Ленца.
5.Что такое самоиндукция, и какова связь ЭДС самоиндукции с током в проводнике?
6.Что такое индуктивность, в каких единицах в СИ она измеряется?
7.Чему равна энергия магнитного поля проводника с током?
§4.11. Магнитная проницаемость. Ферромагнетики. Петля гистерезиса. Парамагнетики и диамагнетики
Электроны в атомах вещества (материальной среды) представляют собой замкнутые токи и, создающие собственные магнитные моменты. Хаотическое направление этих магнитных
моментов дают в сумме нулевое собственное поле вещества. Но при |
|||
|
|
|
|
наличии внешнего магнитного поля |
B0 электронные поля частично |
||
|
|
|
|
ориентируются и создают ненулевое собственное магнитное поле Bв |
|||
|
|
|
|
вещества, а индукция общего поля |
B в веществе будет равна их |
||
|
|
|
|
векторной сумме: B B0 |
Bв . |
|
|
Магнитной проницаемостью вещества (среды) называют отношение:
148
|
B |
, |
(4.22) |
|
B |
||||
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
которое показывает во сколько раз общее поле в веществе (среде) B |
||||
|
|
|
|
|
больше внешнего магнитного поля B . |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Ферромагнетики – это вещества, в которых |
существуют |
|||
области размером порядка 0,01 мм с сильными магнитными моментами (домены). Эти домены при температурах выше
критической (точки Кюри) под действием внешнего магнитного поля |
||||
|
|
|
|
|
B |
ориентируются |
в |
направлении |
его усиления (вещество |
0 |
|
|
|
|
намагничивается), и |
эта |
ориентация |
(намагниченность) будет |
|
сохраняться при температурах ниже критической даже при отсутствии внешнего магнитного поля. Так образуются постоянные магниты. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков положительна, они усиливают внешнее поле в тысячи раз, и их магнитная проницаемость значительно больше единицы.
Процесс намагничивания ферромагнетика при изменении внешнего магнитного поля описывается петлёй гистерезиса (рис.
4.25).
Р
Рис. 4.25. Петля гистерезиса процесса намагничивания ферромагнетика
Здесь показано изменение модуля |
магнитной индукции |
B |
||
|
|
|
|
H |
общего поля B |
внутри |
ферромагнетика |
от напряженности |
|
|
|
|
|
|
внешнего магнитного поля |
Bвнеш . Напряжённость – это ещё одна |
|||
силовая характеристика, которая связана с магнитной индукцией в СИ
соотношением: |
|
|
|
|
|
||
|
B 0 |
H , |
(4.23) |
149
где
|
|
4 10 |
7 |
H |
|
|
0 |
|
A |
2 |
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
магнитная постоянная. В СИ
напряжённость магнитного поля измеряется в амперах на метр: А/м. На данном графике (рис. 4.25) ось абсцисс представлена
модулем напряжённости внешнего магнитного поля
|
B |
|
|
|
H |
внеш |
. |
||
|
|
|||
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
Пусть
размагничен
отсутствует
в |
|
начальный |
момент |
ферромагнетик |
полностью |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(B(0) B(0) 0) |
и |
внешнее |
магнитное |
поле |
||||
( H (0) 0 |
точка |
О |
на рис. |
4.25). |
При |
росте |
||
напряжённости |
H внешнего поля магнитная индукция |
B |
поля внутри |
ферромагнетика будет сначала резко расти, а потом этот рост замедлится и полностью прекратится (кривая ОD на рис. 4.25). Намагничивание ферромагнетика дойдёт до полного насыщения, и дальнейшее его намагничивание станет невозможным.
При уменьшении напряжённости |
H |
индукция |
B |
начнёт |
убывать, но кривая этого убывания будет |
выше кривой ОD. В точке С |
|||
напряжённость внешнего поля равна нулю, но поле ферромагнетика
не равно нулю: |
B B |
|
получили постоянный магнит с магнитной |
|
С |
|
|
индукцией, численно равной отрезку ОС. Чтобы его размагнитить, необходимо создать внешнее магнитное поле с полюсами, противоположными полюсам постоянного магнита. В точке М ферромагнетик полностью размагнитится. Отрезок ОМ определяет величину так называемой коэрцитивной силы, под которой понимают такое размагничивающее внешнее магнитное поле
напряженностью |
, |
которое |
необходимо |
приложить |
к |
|
ферромагнетику, |
предварительно намагниченному до насыщения, |
|||||
чтобы довести до нуля его намагниченность. |
|
|
|
|||
При дальнейшем |
росте напряжённости |
H |
ферромагнетик |
|||
начнёт перемагничиваться до полного насыщения (точка Р), а при снятии внешнего поля будет вновь иметь место постоянный магнит, но полюса в нём поменяются местами. Чтобы его размагнитить, надо приложить коэрцитивную силу, величина которой численно равна длине отрезка ОА. Дальнейший рост напряжённости H приведёт к повторному намагничиванию ферромагнетика до полного насыщения,
ив точке D петля гистерезиса замкнётся.
Кферромагнетикам относятся железо, кобальт, никель, ряд редкоземельных элементов и их соединений.
Кпарамагнетикам (кислород, алюминий, платина и др.)
относятся вещества, атомы (молекулы) которых обладают
150
собственным магнитным моментом. Однако вследствие теплового движения молекул их магнитные моменты ориентированы беспорядочно в отсутствие внешнего магнитного поля, и намагниченность вещества в этих условиях равна нулю. При внесении парамагнетика во внешнее магнитное поле устанавливается преимущественная ориентация магнитных моментов атомов (молекул) в направлении поля. Таким образом, парамагнетик намагничивается, создавая собственное магнитное поле, совпадающее по направлению с внешним полем и усиливающее его. Диамагнитный эффект наблюдается и в парамагнетиках, но он значительно слабее парамагнитного и поэтому остаётся незаметным. Магнитная восприимчивость парамагнетиков положительна, но очень слабая. В слабом магнитном поле намагниченность пропорциональна напряжённости внешнего поля. В очень сильном магнитном поле (и при достаточно низкой температуре) магнитные моменты всех молекул располагаются практически параллельно полю. При этом намагниченность парамагнетика достигает максимального значения, но существенно меньшего по сравнению с ферромагнетиками. Магнитная проницаемость парамагнетика чуть больше единицы:
1,000036.
К диамагнетикам относятся вещества, магнитные моменты атомов, молекул или ионов которых в отсутствие внешнего магнитного поля равны нулю. При внесении диамагнетика во внешнее магнитное поле атомы (молекулы) вещества приобретают наведенные магнитные моменты, направленные в сторону, противоположную внешнему полю (диамагнитный эффект). Поэтому магнитная восприимчивость диамагнетиков отрицательна – они ослабляют, хотя и незначительно, действие внешнего магнитного поля. Для них магнитная проницаемость меньше единицы: 0,999864.
Вопросы для самоконтроля
1.Что такое магнитная проницаемость вещества (среды)?
2.Какие вещества называются ферромагнетиками?
3.Что такое напряжённость магнитного поля, какие единицы измерения она имеет в СИ?
4.Каким графиком описывается процесс намагничивания и размагничивания ферромагнетика?
5.Что такое коэрцитивная сила? Покажите на петле гистерезиса (рис. 4.25) отрезок, определяющий величину коэрцитивной силы.
151