Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

относительно глобальных H-преобразований, плюс возможные слагаемые, сохраняющие G, но не G, с коэффициентами, пропорциональными двум или более множителям eαA.

Посмотим теперь, какого типа теорию возмущений можно построить из таких ингредиентов. Мы знаем, что калибровочные бозоны становятся безмассовыми в пределе eαA ® 0, когда они отщеп-

ляются от полей материи, испытывающих спонтанное нарушение симметрии. Попробуем поэтому предположить, что их масса при малых еαÀ — порядка еМ, где е — типичное значение еαÀ (генера-

òîðû ÒÀ нормированы так, что структурные константы порядка единицы), а М — шкала энергий, типичная для динамики, приводящей к спонтанному нарушению симметрии. Рассмотрим произвольную фейнмановскую диаграмму, которая включает калибровочные и голдстоуновские бозоны энергии или импульса Q ~< eM, а все частицы более высокой энергии или импульса и все

более тяжелые частицы материи похоронены в поправках к константам связи в эффективной теории поля. Наша теория возмущений будет разложением по степеням е и Q/M. Осуществляя тот же анализ, что и разделах 19.4–19.6, получаем, что полное число степеней е и/или Q/M в любой такой диаграмме равно

ãäå Vi — число вершин типа i, di è ei — число производных и множителей eaA, соответственно, во взаимодействии типа i, L —

сит один множитель е. Изучение формулы (21.4.15) показывает, что каждая ковариантная производная Daμ голдстоуновского бозона вно-

сит +1 в сумму di + ei, а из выражений (21.4.19) и (21.4.15) следует, что каждая дополнительная ковариантаня производная Daμ вносит +1 в di + ei. У всех допустимых членов в лагранжиане di + ei ³ 2,

так что доминирующими будут вклады от древесных диаграмм (L = 0), построенных исключительно на основе взаимодействий с di + ei = 2. Единственными такими взаимодействиями являются кинематический член голдстоуновского бозона

ab

434 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

янг-миллсовское слагаемое (21.4.26) и возможные нарушающие симметрию члены без производных второго порядка по eaA.

Чтобы понять физическое значение поля ξa, заметим, что линейное слагаемое в Daμ имеет вид

Как показано в приложении к этой главе, всегда можно выбрать «унитарную калибровку», в которой для всех α

в результате чего перекрестное слагаемое в (21.4.28) исчезает. Чтобы прояснить важность этого условия, заметим что в частном слу- чае, когда все нарушенные симметрии являются калибровочными, любое ξa можно записать как линейную комбинацию калибровоч-

ных генераторов и ненарушенных генераторов:

xa = å caα Tα + å caiti

αi

и поэтому

å caαeαb = δab .

α

Сворачивая условие (21.4.30) с cab, видим, что тогда ξa = 0: в такой

калибровке вообще нет голдстоуновских бозонов. В более общем случае условие (21.4.30) оставляет только те голдстоуновские бозоны, которые не соответствуют калибровочным симметриям. Некоторые из них связаны с элементами G, нарушающимися калибровочными взаимодействиями и поэтому имеющими массы второго порядка по калибровочным константам связи. Их называют псевдоголдстоуновскими бозонами.

Если выбрать ξ так, чтобы удовлетворялось условие уни-

тарной калибровки (21.4.30), то квадратичная часть лагранжиана (21.4.28) равна просто

Отсюда вытекают два важных вывода. Во-первых, заметим, что ξa можно выразить через канонически ортонормированное поле πa â âèäå

ãäå Fab — положительный квадратный корень из положительной матрицы Fab2 . Это показывает, что Fab−1 — множители, аналогичные Fπ−1, которые сопровождают испускание и поглощение голдстоуновских бозонов низкой энергии. Во-вторых, поскольку Aαμ áûëî

определено как канонически нормированное векторное поле, из выражения (21.4.31) следует, что μαβ2 — квадрат массовой матри-

цы векторного бозона. Выражение (21.4.32) является универсальной формой для квадрата массовой матрицы векторного бозона, справедливой до второго порядка по калибровочным константам связи, но при этом во всех порядках по всем остальным взаимодействиям. Используя выражение (21.4.1) в формуле (21.1.7), легко увидеть, что наш предыдущий результат (21.1.7) есть частный случай формулы (21.4.32), в которой

Fab2 = − å (xa )nm (xb )nl vmvl .

nml

Формулу (21.4.32) можно также понимать на основе соображений непрерывности, обрисованных (в несколько иных обозначе- ниях) в конце раздела 21.1. Она гарантирует, что эффекты обмена калибровочным бозоном, выживающие в пределе нулевой калибровочной константы связи, совпадают с эффектами, которые возникли бы от обмена голдстоуновским бозоном, если бы не было калибровочных констант.

Согласно формуле (21.4.32), квадрат массовой матрицы калибровочных бозонов имеет, таким образом, неисчезающие элементы

Чтобы продвинуться дальше, необходимо соотношение, связывающее FC è FN. Оно возникает при условии,1 что в пределе g = g′ = 0 теория инвариантна относительно большей, чем SU(2) × U(1),

глобальной группы симметрии G, которая спонтанно нарушается до подгруппы Н, включающей трехмерные вращения, относительно которых преобразуется как 3-вектор. Из наличия такой ненарушенной симметрии следовало бы, что пропорционально δab, è ïî-

этому

FC = FN.

Всякая подобная симметрия называется «скрытой». Следствием ее является то, что mZ/mW выражается через калибровочные константы связи обсуждавшейся в разделе 21.3 успешной формулой

Например, в отсутствие калибровочных констант связи, лагранжиан (21.3.28) для скалярного дублета ϕ в простейшей версии SU(2) × U(1) электрослабой теории может быть записан в виде

ãäå

ϕ1 ≡ Im ϕ+ , ϕ2 ≡ Re ϕ+ , ϕ3 ≡ Im ϕ0 , ϕ4 ≡ Re ϕ0 .

438 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

Этот лагранжиан автоматически инвариантен относительно «слу- чайной» SO(4) ≡ SU(2) × SU(2) глобальной группы симметрии, которая спонтанно нарушается средним по вакууму от Reϕ0 до прибли-

женной ненарушенной «скрытой» SO(3) подгруппы 29. Результат (21.4.36) остается в силе и при наличии более одного скалярного дублета, поскольку, хотя в общем случае массовый член и член с взаимодействием в скалярном лагранжиане не обладают скрытой симметрией, при выводе соотношения используется только кинематический член, который всегда обладает полной SO(4) симметрией.

Скрытые симметрии можно обнаружить и в других теориях. Рассмотрим, например, теорию без скалярных полей, но с новыми сверхсильными векторными калибровочными взаимодействиями 30, называемыми техницветовыми взаимодействиями, которые действуют на новый SU(2) × U(1) дублет (Ur, Dr) «техникварков» Ur è Dr, где r —индекс техницвета. До тех пор, пока левая и правая компоненты Ur è Dr преобразуются одинаково относительно техницветовой калибровочной группы, лагранжиан в пределе обращающихся в нуль электрослабых констант остается инвариантным относительно группы SU(2) × SU(2) независимых SU(2) преобразований левых и пра-

вых техникварковых дублетов. Согласно рассуждениям раздела 19.9, подгруппа SU(2)V, состоящая из одновременных SU(2) преобразований как левых, так и правых техникварковых дублетов, не будет спонтанно нарушена. Разумно предположить, что техницветовые взаимодействия порождают спонтанное нарушение SU(2) × SU(2)

äî SU(2)V, точно так же, как цветовые взаимодействия приводят к спонтанному нарушению киральной SU(2) × SU(2) симметрии кван-

товой хромодинамики (при равных нулю массах u- и d-кварков) до

r

r

ее изоспиновой подгруппы. Электрослабый генератор T èëè x ïðå-

образуется относительно ненарушенной SU(2)V симметрии как 3-вектор, что опять приводит к соотношению FC =FN и последующему успешному предсказанию соотношения между массами W- и Z-бозонов.

Идея техницвета привлекательна, поскольку она предлагает естественный механизм нарушения электрослабой симметрии на характерном масштабе энергий, намного меньшем, чем часто предлагаемый фундаментальный масштаб в физике, величина которого обычно (как в теориях струн) выбирается по порядку величины равной планковской массе или 1018 ГэВ. Единственное, что требуется предположить, это существование в области сразу ниже фун-

даментального масштаба ненарушенной калибровочной группы, состоящей из SU(3) × SU(2) × U(1) группы сильных и электросла-

бых взаимодействий, а также техницветовой калибровочной группы, причем со сравнимыми по величине малыми константами связи всех взаимодействий. Если техницветовые калибровочные взаимодействия асимптотически свободны, техницветовая константа связи, точно так же, как цветовая константа КХД, будет медленно расти с уменьшением энергии и станет сильной при энергиях, много меньших фундаментального масштаба. Та энергия, при которой техницветовая константа связи становится большой, будет устанавливать масштаб параметров Fab, входящих в формулу (21.4.32) для масс калибровочных бозонов, и поэтому предположительно должна быть порядка 300 ГэВ. Поскольку с уменьшением энергии константа растет логарифмически, небольшая разница в значении бета-функций для техницвета и цвета без труда может породить разницу в три порядка тех энергетических масштабов, при которых цветовые и техницветовые взаимодействия становятся сильными.

К сожалению, хотя техницвет дает очень привлекательную картину спонтанного нарушения SU(2) × U(1), îí ñàì ïî ñåáå íå

предлагает механизма придания масс кваркам и лептонам. По этой причине предлагалось добавить дополнительные калибровочные взаимодействия «расширенного техницвета» с преобразованиями, связывающими кварки и техникварки 31. У таких теорий существуют потенциальные проблемы с меняющими аромат нейтральными токами слабых взаимодействий. Хотя эти проблемы можно преодолеть, дополнительные усложнения сводят на нет привлекательность модели. Вопрос о том, что лучше — элементарные слабо связанные скаляры или динамическое нарушение симметрии — остается открытым.

21.5.Объединение электрослабых и сильных взаимодействий

Âразделе 15.2 мы видели, что для каждой простой или U(1) подгруппы калибровочной группы в калибровочную теорию входит

независимая константа связи. Таким образом, электрослабая теория, основанная на калибровочной группе SU(2) × U(1), содержит две независимые константы g и g′. Для того, чтобы уменьшить

SU(3)-генератор 1gsλ3 имеет собственные значения: +1gs äëÿ

красных1 кварковых дублетов и белых антикварковых синглетов;

– gs для белых кварковых дублетов и красных антикварковых синглетов; нуль для всех остальных левых фермионов. Поэтому след от квадрата этого генератора равен

SU(2)-генератор t3 имеет собственные значения: 11g для красных, белых и синих кварков зарядом 2/3 и нейтрино; – g для красных, белых и синих кварков зарядом –1/3 и заряженных лептонов; нуль для всех остальных фермионов. Поэтому след от его квадрата равен

Наконец,1 U(1)-генератор y = t3 – q имеет собственные значения: g′ для нейтрино5 и заряженных лептонов;B –g′ для заряженных антиB- лептонов;2 – g′ для кварков; g2′ для антикварков зарядом – ;

– g′ для антикварков зарядом + , так что квадрат этого генерато-

ра имеет след

Из соотношения (21.5.1) вытекает, что следы (21.5.2)–(21.5.4) равны друг другу, поэтому в данном классе моделей погружение SU(3) × SU(2) × U(1) в простую группу Ли влечет за собой соотношения между

константами:

Соотношения (21.5.5) находятся в разительном противоречии с наблюдаемыми значениями констант связи. Из полученного отношения g′2 / g2 = 3 / 5 следует значение электрослабого угла смешива-

442 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

ния, для которого sin2 θ ≡ g′2 / (g2 + g′2 ) = 38 ,, в то время как экспериментальное значение равно sin2θ = 0,231. Хуже того, сильная константа gs2, конечно, много больше чем g2 èëè g′2.

Решение этой проблемы 36 состоит в том, что соотношения между константами связи типа (21.5.5) применимы только к константам, измеренным при масштабе энергий, сравнимом с типич- ной массой М калибровочных бозонов 47, которые становятся массивными при спонтанном нарушении простой калибровочной группы до группы SU(3) × SU(2) × U(1). Если энергия Е, при кото-

рой измерены константы связи, много меньше М, то возникнут большие радиационные поправки к значениям констант, пропорциональные ln(M/E).

Как подчеркивалось в гл. 19, в соотношение, связывающее константы связи, измеренные при близких энергиях μ è μ – dμ, íå

входят большие логарифмы, поэтому, интегрируя это соотношение от М на верхнем пределе до Е на нижнем, мы можем вычислить константы при энергиях Е n М, не сталкиваясь с большими логарифмами. Чтобы сделать это, необходимо лишь, чтобы константы оставались малыми во всем этом интервале. Для SU(3) × SU(2) × U(1) констант с ng фермионными поколениями из соотноше-

ния (18.7.2) следует *:

* Второе слагаемое в скобках в уравнениях (21.5.6) и (21.5.7) определяется уравнениями (18.7.2) и (18.7.3) как равное –nf/6, ãäå nf — число фермионов в фундаментальном представлении соответствующих SU(N) калибровочных групп. Однако это было вычислено при предположении, что левые

èправые фермионы находятся в одном и том же представлении калибровочной группы. Если подсчитать только левые фермионы (и антифермионы), то второе слагаемое в скобках в (21.5.6) и (21.5.7) должно равняться –

nf/12. В случае SU(3) в каждом поколении имеются два левых кварковых и два левых антикварковых триплета, так что nf = 4ng, в то время, как в случае SU(2) в каждом поколении имеются три левых кварковых дублета

èодин левый лептонный дублет, так что опять nf = 4ng. Для U(1) бетафункция равна произведению g'/24π2 на сумму квадратов U(1) зарядов для

левых фермионов и антифермионов (ср. с (18.2.38)), что согласно (21.5.4) равно (g'/24π2) × (10ngg'2/3).