4.1. Свойства неопределенного интеграла.

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от слагаемых:

Таблица простейших неопределенных интегралов

18. Методы интегрирования: интегрирование разложением. Метод подстановки.

4.2. Интегрирование разложением.

Метод разложения основан на свойстве 4 неопределенного интеграла. Если

то

4.4. Метод подстановки.

Интегрирование путем введения новой переменной (метод подстановки) основано на формуле

где -- дифференцируемая функция переменной.

Примеры.

1. Найти интеграл .

Положим , тогда. Подставляя полученные значения в подынтегральное выражение, получим

19. Методы интегрирования: метод интегрирования по частям.

4.5. Метод интегрирования по частям.

Если ,-- дифференцируемые функции от, то из формулы для дифференциала произведения двух функций

получается формула интегрирования по частям

Эта формула применяется в случае, когда подынтегральная функция представляет произведение алгебраической и трансцендентной функции.

В качестве обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, в качестве-- оставшаяся часть подынтегрального выражения, содержащая, из которой можно определитьпутем интегрирования.

В некоторых случаях для сведения данного интеграла к табличному формула (18) применяется несколько раз. Иногда искомый интеграл определяется из алгебраического уравнения, получающегося с помощью интегрирования по частям.