3. Тригонометрические функции:

Для тригонометрических функций сохраняются теоремы сложения, а следовательно, и остальные формулы, справедливые для тригонометрических функций действительного переменного. Они являются периодическими функциями с теми же периодами, что и соответствующие тригонометрические функции действительного переменного.

Однако в случае комплексного переменного функции sinz, cosz ограниченными не являются.

5. Логарифмическая функция.

Логарифмическая функция Lnz, при z определяется как обратная к показательной функции, причем

Так как показательная функция – периодическая с периодом 2i, то логарифмическая функция является многозначной. В каждой точке z она принимает бесконечно много значений.

Функция

где arg z – главное значение аргумента, называется главным значением логарифмической функции. Итак,

Известные правила о логарифме произведения и частного сохраняют свою силу и для многозначного логарифма, а именно: при z₁ и z₂, отличных от нуля, верны формулы

7. Функции, обратные к тригонометрическим и гиперболическим, являются многозначными и выражаются через логарифмическую.

Поясним сказанное на примере функций а) w= аrcsin z, б) w= аrth z.

a) Имеем по определению

Откуда

(Знаки ± в формуле решения квадратного уравнения можно опустить, если понимать корень как двузначную функцию).

Итак,

б) По определению w= аrthz  z= thw. Откуда получаем

Таким образом, .

Для остальных обратных тригонометрических функций выполняются формулы:

5. Предел переменной величины и его свойства. Бесконечно малая и бесконечно большая величины.

Число называется пределом последовательности, если для любого сколь угодно малого положительного числаможно указать такой номер, зависящий от, что для всехвыполняется неравенство

Переменная величина называется бесконечно малойпри, если для любого сколь угодно малого положительно числаможно указать такое, что

Предел бесконечно малой величины равен нулю, т.е.

Разность между переменной величиной и ее пределоместь бесконечно малая, т.е.

Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин и их произведение есть величина бесконечно малая. Произведение постоянной и ограниченной величины на бесконечно малую есть величина бесконечно малая. (Величина называется ограниченной, если существует числотакое, что для всех значенийвыполняется неравенство).

Переменная величина называется бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого положительного числаможно указать такой момент в изменении этой величины, начиная с которого.

Бесконечно большая величина предела не имеет, но иногда условно говорят, что предел ее есть бесконечность , причем если она, начиная с некоторого момента, принимает только положительные значения, то предел ее, если отрицательные, то.

6. Нахождение пределов. Замечательные пределы.

6.3. Замечательные пределы

К пределам 4-го типаотнесем примеры с неопределенностью вида. В этом случае выражение, стоящее под знаком предела, представляет собой степенно-показательную функцию, в основании которой необходимо выделить целую часть дроби (которая должна быть равна 1). Неопределенность устраняется при помощи выделения «второго замечательного предела» .

При нахождении пределов могут встретиться неопределенности вида

и .

Эти случаи путем преобразования функции приводятся к одному из двух рассмотренных случаев, т.е. к неопределенностям вида или. Покажем на примерах, как находятся такие пределы.

Примеры.

1. Найти .

При данная функция представляет разность двух бесконечно больших величин, принимающих положительные значения (случай). Умножив и разделив данную функцию на, получим