15. Выпуклость и вогнутость функций. Н. И д. Условия выпуклости и вогнутости. Асимптоты функции.

1. Функцияназываетсявыпуклой вверх (вниз)на промежутке, если для любых двух значенийx₁,x₂из этого промежутка выполняется неравенство

.

Точки, разделяющие интервалы выпуклости, называются точками перегиба.

2. Если вторая производнаяf"(x) функции положительна (отрицательна) на промежутке, то функция являетсявыпуклой вниз (вверх)на этом промежутке.

3. Еслиx₀– точка перегиба функциииf"(x₀)существует, тоf"(x₀) = 0.

4. Если вторая производнаяf"(x)меняет знак при переходе через точкуx₀, то точкаx₀ является точкой перегиба функции.

Таким образом, функция выпукла вниз на всем интервале (- ∞; 1), и точка х = 0 не является точкой перегиба. Не­трудно увидеть, что это точка экстремума (максимума) функции. Точках = 1 является точкой перегиба. На интервале (1; + ∞) функ­ция является выпуклой вниз.

1. Прямаяl называетсяасимптотой графика функцииу = ƒ(х), если расстояние от точки(х, ƒ(х)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклон­ными.

2. Прямаях = x_о являетсявертикальной асимптотой графика

функции у= ƒ(х), если хотя бы один из пределовƒ(х) (правосторонний или левосторонний) равен.

Прямая х = x_о может быть вертикальной асимптотой функцииy= ƒ(х) в том случае, еслиx_о – точка разрыва или граничная точка области определения.

3. Прямаяу = b являетсягоризонтальной асимптотой, еслиlimƒ(х) =b.

Если limƒ(х) =b, тоу = b — правосторонняя горизонтальная асимптота,

если limƒ(х) =b, то у =b—левосторонняя горизонтальная асимптота.

4.Если=k0 и=b, то прямаяy = kx + bявляетсянаклонной асимптотой графика функцииy = ƒ(х).

16. Общая схема исследования функции.

Исследование функции можно проводить по следующей схеме:

1. Найти область существования функции.

2. Исследовать изменения функции при , стремящемся к концам промежутков области существования.

3. Найти промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума.

4. Вычислить значения экстремумов.

5. Определить интервалы выпуклости и вогнутости графика, найти точки перегиба.

6. Найти точки пересечения графика с координатными осями.

7. Найти асимптоты графика функции.

По результатам исследования можно построить математически грамотный эскиз ее графика.

Если исследуемая функция четная или нечетная, достаточно исследовать функцию и построить ее график для положительных значений аргумента из области определения.

Иногда порядок исследования целесообразно выбирать, исходя из конкретных особенностей данной функции.

17. Неопределенный интеграл и его свойства.

Неопределенным интегралом от непрерывной функции или от дифференциального выражения называется общее выражение для всех первообразных функций .Обозначение: (1)

где.Функция называетсяподынтегральной функцией, а выражение - подынтегральным выражением.

Свойства неопределенного интеграла.

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

. (2)

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: .(3)

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

(4)

4. Неопределенный интеграл от алгебраический суммы непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от слагаемых:

Таблица простейших неопределенных интегралов

(5)(10)

(5а)(11)

(5б)(12)

(6)(13)

(7)(14)

(8)(15)

(9)