3.1. Правило Лопиталя-Бернулли.

Правило Лопиталя-Бернулли является эффективным средством нахождения предела функции в тех случаях, когда аргумент неограниченно возрастает или стремится к значению, которое не входит в область определения функции.

I. Раскрытие неопределенностей вида и.

Пусть функции идифференцируемы при, причем производная одной из них не обращается в нуль.

Если и-- обе бесконечно малые или бесконечно большие при, т.е. если частноепредставляет в точкенеопределенность типаили, то

при условии, что предел отношения производных существует.

Последняя формула и выражает правило Лопиталя-Бернулли: предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных, если последний существует или равен бесконечности.

Правило это применимо и в случае, когда . Если частноев точкевновь дает неопределенность одного из указанных типов,и, удовлетворяют требованиям, раннее сформулированные дляи, то можно перейти к отношению вторых производных и т.д.

Замечание 1.Предел отношения функций может существовать в то время, когда отношения производных не стремятся ни к какому пределу.

II. Раскрытие неопределенностей вида ,,,,.

1. Для раскрытия неопределенности вида необходимо преобразовать соответствующее произведение, где,, в частности

2. В случае неопределенности вида необходимо преобразовать соответствующую разность, где,, в произведение

и раскрыть сначала неопределенность ; если, то следует привести выражение к виду

3. Неопределенности видов ,,раскрываются с помощью предварительного логарифмирования и нахождения предела степени. Эти неопределенности сводятся к случаю неопределенности, при этом используется тождество

Замечание 2.Выражение "раскрыть неопределенность типа" означает найти пределпри условии.

В некоторых случаях правило Лопиталя-Бернулли полезно комбинировать с нахождением пределов элементарными способами.

14. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Н. И д. Условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функций.

2.Точкаx₀называется точкоймаксимума (минимума) функцииy = f(x), если существует интервал, содержащий точкуx₀, такой, что для всехxиз этого интервала имеет место неравенствоf(x₀)≥ f(x),(f(x₀)≤ f(x)). Точки максимума и точки минимума называются точкамиэкстремума.

3. Необходимое условие экстремума: в точке экстремума функции ее производная либо равна нулю(f ′(x)=0), либо не существует.

4.Первое достаточное условие экстремума: если в точке x₀функцияy = f(x) непрерывна, а производная f ′(x)при переходе через точкуx₀меняет знак, то точкаx₀– точка экстремума: максимума, если знак меняется с «+» на «-», и минимума, если с «–» на «+».

Если при переходе через точку x₀производная не меняет знак, то в точкеx₀экстремума нет.

5.Второе достаточное условие экстремума: если в точкеx₀, а, тоx₀является точкой максимума функции. Если, а, тоx₀является точкой минимума функции.

Функция называется возрастающейв некотором промежутке (рис.2, а), если для любыхи, принадлежащих этому промежутку, из неравенстваследует неравенство

Функция называется убывающей(рис. 2, б) в некотором промежутке, если для любыхи, принадлежащих этому промежутку, из неравенстваследует неравенство

Достаточное условие возрастания (убывания) функции:если в данном промежутке производная данной функции положительна, то функция в этом промежутке возрастает; если производная данной функции в данном промежутке отрицательна, то функция в этом промежутке убывает.

Максимумомфункцииназывается такое ее значение, которое больше всех других ее значений, принимаемых в точках, достаточно близких к точкеи отличных от нее (рис. 3), т.е.

где -- любая точка из некоторого интервала, содержащего точку.

Минимумомфункцииназывается такое ее значение, которое меньше всех других ее значений, принимаемых в точках, достаточно близких к точкеи отличных от нее, т.е.

где -- любая точка из некоторого интервала, содержащего точку.

Максимум или минимум функции называется экстремумомфункции. Точки, в которых достигается экстремум, называются точками экстремума.

Функция может иметь экстремум только в тех точках области ее определения, в которых производная равна нулю или не существует. Такие точки называются критическимиточками аргумента функции.

Наименьшееи наибольшеезначения непрерывной функциина данном отрезкедостигаются или в критических точках аргумента функции или на концах отрезка.

Достаточное условие экстремума. Первое правило. Если в точкепроизводная функцииобращается в нуль и меняет знак при переходе через эту точку, то-- экстремум функции, причем:

1) функция имеет максимум в точке , если знак производной меняется с плюса на минус (т.е. при, при);

2) функция имеет минимум в точке , если знак производной меняется с минуса на плюс (т.е.при,при).

Второе правило. Если в точкепервая производная функцииравна нулю, а вторая производная отлична от нуля, тобудет точкой экстремума, причем:

1) -- точка максимума, если;

2) -- точка минимума, если.

Замечание. Пусть первая из неравных нулю в точкепроизводных функцииимеет порядок. Тогда, если-- четное, то точкаявляется точкой максимума, если, и точкой минимума, если. Если же-- нечетное, то точкане является точкой экстремума.