12. Экономический смысл производной. Использование понятия производной в экономике.

1. Предельные величины. Применение производной в экономике позволяет получать так называемыепредельные характеристики экономических объектов или процессов. Предельные величины (предельная выручка, полезность, производительность, предельный доход, продукт и др.) характеризуютне состояние, а скорость изменения экономического объекта или процесса по времени или относительно другого исследуемого фактора.

Издержки производства. Если издержки производстварассматривать как функцию выпускаемой продукции, т.е., тобудет выражатьпредельные издержки производства и приближенно характеризовать прирост переменных затрат на производство дополнительной единицы продукции.Средние издержки являются издержками на единицу выпуска продукции:.

2. Производительность труда. Пусть функциявыражает объем произведенной продукцииза время. Тогда производная объема произведенной продукции по времениесть производительность труда в момент.

3. Функция потребления и сбережения. Если- национальный доход,- функция потребления (часть дохода, которая тратится), а- функция сбережения, то

. (7.33)

Дифференцируя, получим, что

, (7.34)

где - предельная склонность к потреблению;- предельная склонность к сбережению.

4. Эластичность.Эта мера реагирования одной переменной величины на изменение другой. Эластичность функции приближенно показывает, на сколько процентов изменится одна переменная в результате изменения другой переменной на 1%.

Эластичность функции определяется с помощью соотношения:

или ,(7.35)

где

(7.36)

– относительная скорость изменения (темп)функции.

Эластичность функции применяется при анализе спроса и предложения от цены (ценовая эластичность). Она показывает реакцию спроса или предложения на изменение цены и определяет, на сколько процентов приближенно изменится спрос или предложение при изменении цены на 1%.

Если эластичность спроса , то спрос считаетсяэластичным, если–нейтральным (с единичной эластичностью), а если–неэластичнымотносительно цены.

13. Дифференциал и его свойства. Приложение производной. Правило Лопиталя - Бернулли.

Дифференциалом функцииназывается произведение ее производной на приращение независимой переменной:

В частности, при , получаем

т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Формулу (21) можно, следовательно, написать так

откуда

Дифференциал функции равен приращениюординаты касательной, проведенной к графику этой функции в точке, когда аргумент получает приращение

Из определения производной и дифференциала вытекает, что

где , когда, т. е. дифференциал функции отличается от приращения на бесконечно малую высшего порядка, чем.

При малых справедлива приближенная формула

или

Если ,,-- дифференцируемые функции от, а-- постоянная, то верны следующие свойства дифференциалов:

, const;

, const;

const;

;

.

Глава 3. Приложения производной.

Понятие производной находит многочисленные приложения. С помощью производной можно найти касательную к кривой в данной точке, найти скорость и ускорение неравномерного движения в данный момент времени. Производная широко применяется при исследовании функций, являющихся переменными величинами. С переменными же величинами постоянно встречаются при изучении закономерностей природы.