§ 7. Случайные векторы

Задачи для самостоятельного решения

1. Производится один выстрел по мишени. Вероятность попадания в мишень равна . Рассмотрим случайный векторгде- число попаданий в мишень при этом выстреле, а- число промахов. Построить ряд распределения. Найти функцию распределения этого случайного вектора и маргинальные функции распределения. Проверить стохастическую независимость координат этого вектора. Найти числовые характеристики.

2. Случайный опыт - два независимых выстрела по мишени; вероятность попадания при каждом из выстрелов равна. Рассмотрим случайный вектор, где- число попаданий при j-ом выстреле Найти функцию распределения случайного вектора и маргинальные распределения. Проверить стохастическую независимость координат и найти числовые характеристики.

3. Случайный опыт G – два независимых бросания правильной игральной кости. Рассмотрим случайный вектор , где 1)- число очков при j-ом бросании, j=1,2; 2) -минимальное число очков при двух бросаниях, а- максимальное. Построить ряд распределения случайного вектора. Проверить стохастическую независимость, найти маргинальные распределения и числовые характеристики.

4.Случайный вектор - дискретного типа. Найти распределение суммыи произведения, если

а)

	0	1	2
-1	0,1	0,2	0,1
3	0,3	0,1	0,2

b)

1	1	3
-1	0,125	0,375
2	0,375	0,125

c)

	-1	1
1	0,03	0,07
3	0,15	0,35
5	0,12	0,28

Найти также числовые характеристики и маргинальные распределения.

5.Случайный вектор имеет независимые компоненты и~, k=1,2. Найти a) распределение вероятностей с.в. ;

b) ; c) найти распределение вероятностей с.в. , предполагая, что

6. Пусть случайный вектор имеет независимые компоненты и~ ,. Доказать, что с.в.~. Найти ,.

7. Случайный вектор имеет плотность распределения вероятностей 1),

2) Найти коэффициент , функцию распределения случайного вектора, найти маргинальные распределения и числовые характеристики. Проверить стохастическую независимость компонент данного вектора.

8. Случайный вектор . Найти плотность распределения вероятности случайного вектораи маргинальные плотности, если : 1)- квадрат с координатами вершин (-1;-1) , (-1; 1) , (1;-1) , (1;1); 2)- квадрат с координатами вершин (-1;0) , (0;1) , (1;0) , (0;-1); 3)- круг с центром в начале координат и радиусом равным 1.

9. Пусть случайный вектор имеет независимые компоненты иa) ; b). Найти функцию распределения и плотность распределения вероятностей с.в. . В случае распределенияb) найти и построить график плотности распределения вероятностей для

10. Пусть случайный вектор с независимыми компонентами имеет абсолютно непрерывное распределение вероятностей. Найти плотность распределения вероятностей с.в.a) ; b); c); d). Найти тип распределения, если и. Найти числовые характеристики полученных с.в..

11. Найти распределение суммы , еслиинезависимые с.в. иa) ; b) ;; c)

12. Может ли заданная функция быть плотностью распределения вероятностей многомерного нормального распределения? Если да, то найти соответствующие параметры и. Найти также маргинальные распределения.

1) ;

2) ;

3) .

13. Записать плотность распределения вероятностей случайного вектора и найти функцию распределения, если-диагональная матрица.

14. Дана плотность распределения вероятностей случайного вектора :. Найти маргинальные распределения. Проверить стохастическую независимость компонент этого случайного вектора.

15. Доказать, что если компоненты случайного вектора независимы, причемдля, то независимы с.ви.

16. Найти распределение вероятностей и числовые характеристики с.в., если случайный вектор, где

a) b)

17. Пусть случайный вектор имеет независимые компоненты, причемНайти:a) ; b)