§ 4. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть события образуют разбиение множества исходов: 1.;

2.,

т.е. в результате опыта одно и только одно из этих событий обязательно происходит. Тогда вероятность события Авычисляется по формуле полной вероятности

.

События часто называютгипотезами, а вероятности-априорными вероятностями гипотез. Формула Байеса

, где

дает возможность произвести пересчет вероятностей гипотез . Условные вероятностипринято называтьапостериорными вероятностямигипотез.

Условно задачи, решаемые по формулам, можно разбить на два типа. Задачи первого типа имеют дело с экспериментами, которые состоят из двух этапов и оба этапа случайны. Тогда в качестве событий, образующих разбиение , берут события, которые полностью описывают первый этап эксперимента.

Задача 1. Имеются три одинаковые с виду партии деталей. В первой, изготовленной заводом № 1, 5% брака, во второй, изготовленной заводом № 2, 3% брака, а в третьей (завод № 3) - 10% брака. Наугад выбирается одна из партий, а затем из этой партии наудачу выбирается одна деталь. Определить вероятность того, что она бракованная.

Решение. Первый этап опыта - выбор наудачу одной из трех партий деталей, второй - выбор наудачу детали из выбранной партии. Очевидно, что

события -выбрана партия деталей, изготовленная заводом,= 1, 2,3, образуют разбиениеи вероятностиТогда вероятность выбрать бракованную деталь (событие А) по формуле полной вероятности будет равна

Задача 2. Вероятность для изделий некоторого производства удовлетворять стандарту равна 0,96. Предлагается упрощенная система испытаний, дающая положительный результат с вероятностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих стандарту; а для изделий, которые не удовлетворяют стандарту, с вероятностью 0,05. Какова вероятность того, что изделие, выдержавшее испытание, удовлетворяет стандарту? Интересующая нас вероятность

Отсюда вывод: в том случае, когда упрощенная система испытаний дает положительный результат, деталь с вероятностью, близкой к единице, является стандартной. Другими словами, данная система контроля является хорошим "фильтром "для бракованных изделий.

В задачах второго типа появляются эксперименты, условия проведения которых точно не известны, но о них (условиях) можно сделать исключа- ющих друг друга предположений (гипотез).

Задача 3. Из сосуда, содержащего пшаров, берут наудачу один. Определить вероятность того, что он белый, если все предположения о первоначальном числе белых шаров равновозможны.

Решение. В задаче неизвестными для нас будут условия проведения выбора (число белых шаров в сосуде), относительно которых мы можем выдвинуть (п+ 1) гипотезу, гдеозначаетi белых шаров в сосуде,i= 0,1,... ,п.Так как по условию задачи гипотезы равновероятны, то, обозначив, получим

,

откуда . Тогда по формуле полной вероятности, вероятность со-

бытия (выбран белый шар из сосуда) равна

Задача 4. Из сосуда, содержащего пшаров, взяли наудачу один шар и он оказался белым. Какое предположение о количестве белых шаров наиболее вероятно, если до опыта все предположения о числе белых шаров были равновозможны?

Решение. Так же, как в задаче 3, априорные вероятности гипотез одинаковы и равны ,i= 0,1,... ,n. Известно, что опыт произвели и произошло событиеА(выбранный наудачу шар оказался белым). Очевидно, что появление события изменяет шансы осуществления каждой из гипотез. Так, например, если до опыта гипотезаимела положительную вероятность, то после опыта она имеет нулевые шансы к осуществлению, то есть

Для ответа на вопрос задачи вспомним, что

Тогда то есть наиболее вероятной будет гипотеза- все шары белые, что интуитивно также ясно.

Задачи для самостоятельного решения

1. Пересчитать вероятности гипотез в задаче 4 стр.14 при =5.

2. Из полного набора костей домино наугад одна за другой берутся две кости. Определить вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой.

3. Из сосуда, содержащего 5 белых и 4 черных шара, был потерян один шар. После этого из сосуда наудачу выбран шар. Найти вероятность того, что выбранный шар окажется белым.

4. В ящике находятся 15 теннисных мячей, из которых 9 новых. Для первой игры наугад берутся три мяча, которые после игры возвращаются в ящик. Затем для второй игры наугад выбираются три мяча. Найти вероятность того, что все мячи, взятые для второй игры, новые.

5. В сосуд, содержащий пшаров, опущен белый шар. Какова вероятность извлечь из этого сосуда белый шар, если все предположения о первоначальном числе белых шаров в сосуде равновозможны?

6. Имеется 10 карточек, на которых написаны числа 3,3,3,4,4,5,5,6,6,6. Две из этих карточек выбираются наугад одна за другой. Число, написанное на первой карточке, берется за числитель, на второй - за знаменатель дроби. Найти вероятность того, что дробь будет правильной.

7. Группа студентов, сдающих экзамен, состоит из 4 отличников, 10 хорошистов и 20 слабых студентов. Отличник всегда сдает экзамен на "5". Хорошист может получить "4" или "5" с равными вероятностями. Слабый студент может получить "4", "3" или "2" с равными вероятностями. Наудачу выбранный студент получил "4". Что вероятнее - это был хорошист или слабый студент?

8. Имеется n урн, в каждой из которых находитсяабелых иb черных шаров. Наудачу выбранный шар из первой урны перекладывается во вторую, затем из второй - в третью и т.д. После такого перекладывания из последней урны наудачу выбирается один шар. Найти вероятность того, что будет выбран белый шар.

9. По каналу связи может быть передана одна из трех последовательностей букв: АААА, ВВВВ, СССС, причем априорные вероятности каждой из последовательностей есть соответственно 0,3; 0,4; 0,3. Известно, что действие шумов уменьшает вероятность правильного приема каждой буквы до 0,6, а вероятность приема переданной буквы за любую другую становится равной 0,2 и 0,2. Предполагается, что буквы искажаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что была передана последовательность АААА, если на приемном устройстве было получено - АВСА.

10. Из 18 стрелков пятеро попадают в мишень с вероятностью 0,8; семеро - с вероятностью 0,7; четверо - с вероятностью 0,6 и двое - с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?

11. В техникуме студентов, из которых(k= 1,2,3) человек учатсяk-йгод. Среди двух наудачу выбранных студентов оказалось, что один из них учится больше второго. Какова вероятность того, что этот студент учится третий год?