§ 3. Свойства вероятностей случайных событий. Условная вероятность. Стохастически независимые случайные события

Перечислим ряд свойств вероятностей случайных событий, которые являются фактически математическим отражением основных свойств частоты.

1. Вероятность достоверного события равна единице

Заметим, что в общей модели случайного опыта это утверждение является аксиомой нормировки.

2. Вероятность невозможного события равна нулю

3. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1

4.Свойство монотонности вероятностной меры: и

5.

6.

Условной вероятностью события при условии, что событиеВпроизошло, называется отношение вероятности совместного осуществления этих событий к вероятности того события, которое произошло

,

Можно показать, что вероятность одновременного осуществления псобытий(п= 1,2,...)

, если

События стохастически независимы, если для любого подмножестваимеет место равенство

Таким образом, для выяснения стохастической независимости событий необходимо проверить выполнение условий.

События попарно независимы, если стохастически независимы любые два события этой совокупности, т.е. необходимо проверить выполнениеусловий. Это означает, что попарная независимость является более слабым условием.

Пример.Понимая под надежностью некоторой электрической схемы вероятность безотказной работы этой схемы в течение контрольного промежутка времени и, учитывая свойства вероятностей случайных событий, решим следующую задачу.

Найти надежность электрической схемы, состоящей изидентичных элементов, которые выходят из строя независимо друг от друга, и надежность каждого равнав случае

а) последовательного соединения этих элементов;

b) параллельного соединения.

a), т.е. нанизывая последовательно даже очень хорошие элементы, мы можем загубить этот участок цепи.

b), т.е. мы можем повысить надежность данного участка цепи, имея достаточно большое количество элементов, возможно и не очень хороших.

Задачи для самостоятельного решения

1. Стрелок производит один выстрел в мишень, состоящую из центрального круга и двух концентрических колец. Вероятности попадания в круг и кольца соответственно равны 0,20; 0,15 и 0,10. Определить вероятность непопадания в мишень.

2. Вероятность выхода из строя k-гоблока вычислительной машины за времяT равна,k= 1,2,... ,. Определить вероятность выхода из строя за указанный промежуток времени хотя бы одного изблоков этой машины, если работа всех блоков взаимно независима.

3. В партии, состоящей из Nизделий, имеетсяМдефектных. Из партии выбираются случайным образомизделий. Если среди контрольных деталей окажется болеетдефектных, бракуется вся партия. Найти вероятность того, что партия будет забракована.

4. Разрыв электрической цепи может произойти вследствие выхода из строя элемента Кили двух элементови, надежности которых соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Определить вероятность разрыва электрической цепи, считая, что элементы выходят из строя независимо друг от друга.

5. Найти надежность электрической схемы, состоящей из нескольких идентичных элементов, которые выходят из строя независимо друг от друга с вероятностью,:

6. Предлагается два способа дублирования последовательно соединенных пяти элементов: дублируется вся схема или дублируется каждый элемент. Сравнить эффективности (надежности) этих способов дублирования. Заметим, что дублирование некоторой схемы (элемента) означает параллельное подключение аналогичной схемы (элемента), которая работает независимо от исходной.

7. События стохастически независимы и равновероятны. Найти вероятность: а) появления хотя бы одного из этих событий; b) не появления всех этих событий; с) появления только одного из них;d) появления только.

8. Выбирают наудачу один член разложения определителя п-гопорядка. Каковавероятность того, что он не содержит элементов главной диагонали? Найтипредел вероятностипри.

9. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее наудачу. Определить вероятность того, что ему придется звонить не более, чем в 3 места. Как изменится вероятность, если известно, что последняя цифра нечетная?

10. Брошены независимым образом две игральные кости. Положим -число очков, выпавшее на первой кости, делится на,-на второй кости делится на, -сумма очков, выпавших на первой и второй костях, делится на.Установить, являются ли стохастически независимыми события а)и;b )идля различныхи; с)и; d)и.

11. Вероятность того, что письмо в столе, равна р,причем с равной вероятностью письмо может находиться в любом из 8 ящиков стола. Было просмотрено 7 ящиков, но письмо не нашли. Какова вероятность того, что письмо в восьмом ящике?

12. Бросают три кости. Какова вероятность того, что хотя бы на одной из них выпадает одно очко, если на всех трех костях выпали разные грани?

13.Известно, что при бросании 10 костей появилась по крайней мере одна единица. Какова вероятность того, что появились две или более единицы?