Garbage / Информатика / 3.4.4 - Задачи труднорешаемость которых доказуема

Задачи, труднорешаемость которых доказуема

После того как мы обсудили формальное содержание понятия "труднорешаемая задача", уместно дать краткий обзор современного состояния наших знаний о существовании труднорешаемых задач.

Сначала охарактеризуем различия между двумя аспектами труднорешаемости, которые отражены в нашем определении Первый аспект, который обычно имеется в виду, состоит в том, что для отыскания решения требуется экспоненциальное время. Второй заключается в том, что искомое решение настолько велико, что не может быть представлено в виде выражения, длина которого была бы ограничена полиномом от длины входа.

Вторая ситуация возникает, например, если в задаче о коммивояжере в качестве дополнительного параметра фигурирует число В и требуется найти все маршруты длины, не превосходящей В. Легко построить индивидуальную задачу о коммивояжере, в которой имеется экспоненциальное число маршрутов длины, не превосходящей В, поэтому не существует алгоритма с полиномиальной временной сложностью, который все их перечисляет.

Труднорешаемостью этого вида нельзя ни в коем случае пренебрегать, и очень важно ее своевременно обнаружить. В большинстве случаев, однако, ее наличие ясно из постановки задачи. Этот аспект труднорешаемости обычно можно рассматривать как указание на то, что постановка задачи не реалистична, поскольку мы запрашиваем больше информации, чем когда-либо сможем использовать. В связи с этим с настоящего момента и до конца книги мы будем рассматривать только первый тип труднорешаемости. А именно будут изучаться только такие задачи, длина решения которых ограничена полиномиальной функцией от длины входной информации.

Первые результаты о труднорешаемости задач — классические результаты о неразрешимости—были получены А. Тьюрингом. Около 40 лет назад Тьюринг доказал, что некоторые задачи даже "неразрешимы" в том смысле, что вообще не существует алгоритма их решения. Он доказал, например, что невозможноуказать алгоритм, который по произвольной программе определял бы, остановится ли эта программа на произвольно заданном входе или нет. Известно большое число других неразрешимых задач. К ним относятся, в частности, задача выяснения тривиальности конечно-порожденных групп, десятая проблема Гильберта (разрешимость в целых числах полиномиальных уравнений), а также несколько задач о покрытии плоскости равными областями. Поскольку эти задачи не могут быть решены никаким алгоритмом, то тем более они не разрешимы и полиномиальным алгоритмом и, значит, действительно труднорешаемы в самом сильном смысле.

Первые примеры труднорешаемых "разрешимых" задач были получены в начале 60-х годов, как один из результатов работы Хартманиса и Стирнза по "иерархиям" сложности. Однако эти примеры включали только "искусственные" задачи, специально построенные, чтобы обладать соответствующими свойствами. Только в начале 70-х годов Мейеру и Сток-Мейеру, Фишеру и Рабину и нескольким другим авторам удалось показать, что некоторые "естественные" разрешимые задачи труднорешаемы.

В число этих задач вошло большое число изучавшихся ранее задач из теории автоматов, формальной теории языков и математической логики. На самом деле было показано, что эти задачи не могут быть решены за полиномиальное время даже с, помощью "недетерминированного" вычислительного устройства, обладающего способностью параллельно выполнять неограниченное количество независимых вычислений.

Все известные в настоящее время задачи, труднорешаемость которых доказана, попадают в один из перечисленных классов: они либо вовсе неразрешимы, либо труднорешаемы недетерминированной машиной. Однако большинство представляющихся труднорешаемыми практических задач в действительности разрешимы и, более того, могут быть решены за полиномиальное аремя с помощью недетерминированного вычислительного устройства. Таким образом, известные методы недостаточно сильны, чтобы установить труднорешаемость этих задач.