Garbage / Информатика / 3.4.5 - Недетерминированное вычисление и класс NP

Недетерминированное вычисление и класс NP.

Рассмотрим задачу КОММИВОЯЖЕР, описание которой приведено было ранее. В условии даны: множество городов, расстояния между ними и граница B; при этом спрашивается, существует ли проходящий через все города маршрут длины, не превосходящей B. Полиномиальный алгоритм решения этой задачи не известен. Предположим, однако, что относительно некоторой индивидуальной задачи кто-то получил ответ “да”. Если вы в этом сомневаетесь, то можно потребовать “доказательства” этого утверждения – предъявление маршрута, обладающего необходимыми свойствами. Имея предъявленное решение, нетрудно проверить, является ли оно на самом деле маршрутом, и если это так, то вычислить. Его длину, сравнить ее с границей B и тем самым проверить соответствующее утверждение. Более того, эту “процедур проверки” можно представить в виде алгоритма, временная сложность которого ограничена полиномом от Length[I].

Именно понятие полиномиальной “проверяемости” позволяет выделить задачи класса NP. Отметим, что проверяемость за полиномиальное время не влечет разрешимости за полиномиальное время. А именно, утверждая, что за полиномиальное время можно проверить ответ “да” для задачи КОММИВОЯЖЕР, мы не учитываем время, которое может понадобиться на поиск нужного маршрута среди экспоненциального числа всех возможных маршрутов. Мы лишь утверждаем, что по любому заданному маршруту для индивидуальной задачи I можно за полиномиальное время проверить, “доказывает” ли этот маршрут, что ответ на вопрос относительно индивидуальной задачи I есть “да”.

Неформально класс NP можно определить с помощью понятия, которое мы будем называть недетерминированным алгоритмом. Такой алгоритм состоит из двух различных стадий – стадии угадывания и стадии проверки. По заданной индивидуальной задаче I на первой стадии происходит просто “угадывание” некоторой структуры S. Затем I и S вместе подаются в качестве входа на стадию проверки, которая выполняется обычным детерминированным образом и либо заканчивается ответом “да”, либо заканчивается ответом “нет”, либо продолжается бесконечно без остановки.

Класс NP, определяемый неформально, - это класс всех задач распознавания П, которые при разумном кодировании могут быть решены недетерминированными

(N - nondeterministic) алгоритмами за полиномиальное (P - polynomial) время.

Пример, приведенный выше, показывает, что задача КОММИВОЯЖЕР принадлежит NP.

Имеется еще одно важное отличие “решения” задачи распознавания недетерминированным алгоритмом от решения детерминированным алгоритмом, а именно в первом случае отсутствует симметрия между ответами “да” и ”нет”. Если задача: “Дано I; верно ли что для I выполняется свойство X?” может быть решена полиномиальным (детерминированным) алгоритмом, то такое же утверждение справедливо и для дополнительной задачи; “Дано I, верно ли, что для I не выполняется свойство X?”.

Совершенно не очевидно, что то же самое верно для всех задач, разрешимых за полиномиальное время недетерминированными алгоритмами. Рассмотрим, например, дополнение задачи КОММИВОЯЖЕР: дано множество городов, расстояния между ними и граница B; верно ли, что нет маршрута, проходящего через все города и имеющего длину, не превосходящую B? Для выяснения, имеет ли поставленный вопрос ответ “да”, не известен способ, который был бы короче, чем проверка всех (или почти всех) возможных маршрутов. Другими словами, не известен полиномиальный недетерминированный алгоритм решения этой дополнительной задачи. Та же самая ситуация имеет место для многих других задач из NP. Таким образом, принадлежность задачи П классу P влечет принадлежность дополнительной задачи классу P, но не известно, имеет ли место аналогичное утверждение для класса NP.