Garbage / Информатика / 3.3.3 - Машина Тьюринга

Машина Тьюринга.

Концепция этой машины возникла в середине 30-х гг. 20 в. у А.Тьюринга в результате произведенного им анализа действий человека, выполняющего в соответствии с заранее разработанным планом те или иные вычисления, т.е. последовательные преобразования знаковых комплексов. Например, производя вычисления согласно избранному плану, математик, рассматривая к.-л. место в своих записях и находясь в определенном “умонастроении”, делает необходимые изменения в написанном, проникается новым “умонастроением” и переходит к рассмотрению дальнейших записей.

Машина Тьюринга состоит из:

1) управляющего устройства, которое может находиться в одном из состояний, образующих конечное множество Q = {q1, q2,…, qn }; 2) ленты, разбитой на ячейки, в каждой из которых может быть записан один из символов конечного алфавита А = {а1, …, am}; 3) устройства обращения к ленте, т. е. считывающей и пишущей головки, которая в каждый момент времени обозревает ячейку ленты, в зависимости от символа в этой ячейке и состояния управляющего устройства записывает в ячейку символ (быть может, совпадающий с прежним или пустой, т. е. стирает символ), сдвигается на ячейку влево или вправо или остается на месте; при этом управляющее устройство переходит в новое состояние (или остается в старом). Среди состояний управляющего устройства выделены начальное состояние q1 и заключительное состояние, которое будем обозначать qz (z здесь понимается не как числовая переменная, а как мнемонический знак конца). В начальном состоянии машина находится перед началом работы; попав в заключительное состояние, машина останавливается.

Таким образом, память машины Тьюринга - это конечное множество состояний (внутренняя память) и лента (внешняя память). Лента бесконечна в обе стороны, однако в начальный момент времени только конечное число ячеек ленты заполнено непустыми символами, остальные ячейки пусты, т. е. содержат

пустой символ λ (пробел). Из характера работы машины следует, что и в любой последующий момент времени лишь конечный отрезок ленты будет заполнен символами. Поэтому важна не фактическая (как говорят в математике, актуальная) бесконечность ленты, а ее неограниченность, т. е. возможность писать на ней сколь угодно длинные, но конечные слова. Данные машины Тьюринга - это слова в алфавите ленты; на ленте записываются и исходные данные, и окончательные результаты. Элементарные шаги машины — это считывание и запись символов, сдвиг головки на ячейку влево и вправо, а также переход управляющего устройства в следующее состояние. Детерминированность машины, т. е. последовательность ее шагов, определяется следующим образом: для любого внутреннего состояния qi и символа аj однозначно заданы: а) следующее состояние qi’ , б) символ aj' , который нужно записать вместо аj в ту же ячейку (стирание символа будем понимать как запись

пустого символа λ); в) направление сдвига головки dk, обозначаемое одним из трех символов: L (влево), R (вправо), Е (на месте). Это задание может описываться либо системой правил (команд), имеющих вид

либо таблицей, строкам которой соответствуют состояния, столбцам—входные символы, а на пересечении строки qi и столбца аj, записана тройка символов qi ' aj ' dk , и, наконец, блок-схемой, которую будем называть диаграммой пере-

ходов. В этой диаграмме состояниям соответствуют вершины, а правилу вида (1)

—ребро, ведущее из qi в qi', на котором написано aj → aj ' dk . Условие

однозначности требует, чтобы для любого j и любого i ≠ z в системе команд имелась одна команда, аналогичная (1), с левой частью состояние qz в левых

частях команд не встречается. На диаграмме переходов это выражается условием, что из каждой вершины, кроме qz, выходят ровно т ребер, причем на разных ребрах левые части различны; в вершине qz нет выходящих ребер.

Возможно ли для всех процедур, претендующих на алгоритмичность, т.е. конструктивных процедур, строить реализующие их машины Тьюринга? Согласно тезису Тьюринга всякий алгоритм может быть реализован машиной Тьюринга.

Доказать тезис Тьюринга невозможно, поскольку само понятие алгоритма (или эффективной процедуры) является неточным. Подтверждением тезиса Тьюринга является, во-первых, математическая практика, а во-вторых, то обстоятельство, что описание алгоритма в терминах любой другой известной алгоритмической проблемы может быть сведено к его описанию в виде машины Тьюринга.

Тезис Тьюринга позволяет, с одной стороны, заменить неточные утверждения о существовании эффективных процедур (алгоритмов) точными утверждениями о существовании машин Тьюринга, а с другой стороны, утверждениям о несуществовании машин Тьюринга истолковать как утверждения о несуществовании алгоритмов вообще.

Большой теоретический интерес представляет задача о построении универсальной машины, которая для любого алгоритма и любых исходных данных может определить, приведет ли работа этого алгоритма к результату или нет (проблема остановки). Можно доказать теорему, что не существует машины Тьюринга T0, решающей проблему остановки для произвольной машины Тьюринга T. Поэтому данная теорема дает первый пример алгоритмически неразрешимой проблемы. Речь здесь идет об отсутствии единого алгоритма, решающего некоторую проблему; при этом вовсе не исключается возможность решения этой проблемы в частных случаях, но различными средствами для каждого случая. Т.е. поиск доказательства сходимости предлагаемых алгоритмов нельзя полностью автоматизировать.

Неразрешимость проблемы остановки можно интерпретировать как несуществование общего алгоритма для отладки программ, точнее, алгоритма, который по тексту любой программы и данным для нее определял бы, зациклится ли программа на этих данных или нет. Тем не менее, благодаря опыту и искусству программиста большинство программ в конце концов удается отладить.