Механика деформируемого твердого тела
.pdf
Механика
деформируемого твердого тела
Структура курса
1.Общие сведения
2.Основы теории упругости
3. Основы теории пластичности
4.Введение в теорию ползучести
5.Введение в механику разрушений
1. Общие сведения
Способы задания движения деформируемого твердого тела
Для описания положения произвольной материальной точки в трехмерном пространстве
введем три числа x1, x2 , x3, являющихся координатами этой точки в некоторой неподвижной декартовой системе координат. Движение точки относительно этой системы координат описывают системой трех уравнений
xi = xi (t) |
(1.1) |
которые называются законом движения точки.
Пусть ДТТ, представляющее собой непрерывную совокупность точек, занимает в пространстве некоторую область. Знать движение ДТТ – это значит знать движение всех
его точек. Обозначим координаты точек тела в начальный момент времени тремя числами |
||
ξ1 ,ξ2 ,ξ3. В произвольный момент времени закон движения области записывается в виде |
|
|
трех уравнений |
xi = xi (ξi ,t) |
(1.2) |
|
||
Одна из основных задач МДТТ заключается в определении этих уравнений. Из физических
соображений предполагается, чтоdet |
|
∂xi |
|
≠ 0 |
|
|
|
||||
|
|
∂xj |
|
|
|
В этом случае уравнения (1.2) обратимы и имеют вид |
|
ξi =ξi (xi , t) |
(1.3) |
Способ описания движения ДТТ, в основе которого лежат зависимости (1.2), называется способом Лагранжа, а координаты ξi - материальными координатами.
С другой стороны, если движение задается уравнениями (1.3), то такой способ описания называется Эйлеровым, а координаты xi - пространственными координатами.
Вектор перемещения
Вектор, соединяющий место нахождения точки в начальный и текущий момент времени, называется вектором перемещения. В координатной форме его можно записать в виде
ui = xi −ξi |
(1.4) |
|
|
|
|
Вектор перемещения
Деформированное состояние
Процесс геометрических изменений, происходящих в твердом теле за некоторый промежуток времени, называется деформацией. Будем
рассматривать локальные деформации. Рассмотрим две бесконечно близкие
точки тела, находящегося в недеформированном состоянии в начальный момент времени.
Квадрат расстояния между этими точками равен
dL 2 |
=δ |
dξ |
dξ |
j |
(1.5) |
( ) |
ij |
i |
|
Здесь δij - символ Кронекера. В деформированном состоянии квадрат расстояния между этими же точками будет равен
dl |
2 |
=δ |
dx |
dx |
j |
(1.6) |
( |
) |
ij |
i |
|
Разность (1.6) и (1.5) в ДТТ используется как мера деформации некоторой окрестности этих частиц между начальным и конечным состоянием.
Из закона движения (1.2) дифференциал расстояния в деформированном
состоянии имеет вид |
∂xi |
dξj |
dxi = |
||
|
∂ξj |
|
Аналогично, из (1.3) для недеформированного состояния
∂ξ |
|
dξi = ∂xij |
dx j |
|
|
Тензоры деформаций Грина и Альманси
Меру деформации можно представить в виде:
|
( ) |
|
( |
|
) |
|
|
ij |
|
i |
dξ |
j |
|
||||
|
dl |
2 − |
|
dL 2 = 2L |
|
dξ |
|
|
|
||||||||
где величины Lij |
являются компонентами тензора второго ранга |
||||||||||||||||
|
LIJ = |
1 ∂xk ∂xk |
−δij |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 ∂ξi ∂ξj |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
который называется тензором конечных деформаций Грина. |
|
||||||||||||||||
Этот тензор можно представить через перемещения в виде: |
(1.7) |
||||||||||||||||
|
LIJ = |
1 |
|
|
∂ui |
+ |
∂u j |
+ |
∂uk |
∂uk |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
∂ξj |
∂ξi |
∂ξi |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂ξj |
|
|||||||||
Ту же самую меру деформации можно представить в виде:
(dl)2 −(dL)2 = 2Aijdxi dx j
где величиныA являются компонентами тензора второго ранга ij ранга
AIJ = |
1 |
|
− |
∂ξk ∂ξk |
2 |
δij |
|
||
|
|
|
∂xi ∂x j |
который называется тензором конечных деформаций Альманси.
Этот тензор можно представить через перемещения в виде
AIJ = |
1 |
|
∂ui |
+ |
∂u j |
− |
∂uk ∂uk |
(1.8) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∂x j |
∂xi |
∂xi |
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
∂x j |
|
|||||
Линейный тензор деформаций
Если компоненты градиента перемещения в (1.7) малы по сравнению с единицей, то их произведением можно пренебречь. В результате получим лагранжев тензор малых деформаций (тензор малых деформаций Коши). Аналогично, если компоненты градиента перемещения в (1.8) малы по сравнению с единицей, то их произведения тоже можно отбросить. В результате получим эйлеров тензор малых деформаций. Если к тому же и компоненты самого перемещения малы по сравнению
с единицей, то разница между материальными и пространственными координатами
очень мала и тензоры считаются равными друг другу, а получившийся тензор
называется тензором линейных деформаций и имеет вид |
|
|||||
εij = |
1 |
|
∂ui |
+ |
∂u j |
(1.9) |
|
|
∂x j |
|
|
||
2 |
|
|||||
|
|
|
∂xi |
|
||
Скорость точки в лагранжевых координатах определяется через вектор
перемещения в виде |
∂ui |
|
vi = |
||
∂t |
||
|
а в эйлеровых координатах
vi = dudti
Функция vi = vi (xi ,t) представляет поле скоростей. Линией тока для поля скоростей в
некоторый момент времени называется кривая, касательная к которой в любой точке
совпадает по направлению со скоростью в этой точке. Движение называется установившемся, если поле скорости не зависит от времени. Для установившегося движения линии тока и траектории частиц совпадают.
Тензор скоростей деформаций. Тензор вихря
Тензором скоростей деформаций (формулы Стокса) называется симметричный
тензор второго ранга, компоненты которого имеют вид
vij = |
1 |
∂vi |
|
+ |
∂vj |
|
|
|||
|
|
|
|
∂ξj |
∂ξi |
|
|
|||
2 |
|
|||||||||
Антисимметричный тензор |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wij = |
1 |
|
∂vi |
− |
∂vj |
|
||||
|
|
|
|
∂ξ |
|
∂ξ |
|
|
||
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
j |
|
i |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
называется тензором завихренности, или вихря.
Можно показать, что компоненты тензора конечных деформаций Альманси связаны с компонентами тензором скоростей деформаций соотношениями
vij = dAdtij
а эйлеров тензор линейного поворота с вихрем
wij = ddtωij
называется тензором завихренности, или вихря.
Тензор деформаций вводят в результате сравнения двух состояний ДТТ, а введенный тензор скоростей деформаций является характеристикой данного состояния в данный момент времени.
Тензор линейного поворота
Дифференциал перемещения равен
dui = |
∂ui dx j |
|
∂x j |
Так как матрицу можно единственным образом разложить в симметричную и антисимметричную части, то дифференциал перемещения можно записать в виде
dui = |
1 ∂ui |
+ |
∂u j + ∂ui |
− |
∂u j dx |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
2 |
∂x |
j |
|
∂x |
|
∂x |
j |
|
∂x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
||||
Тензор
Wij = 1 |
|
∂ui − |
∂u |
j |
|
|
|
|
|||
|
|
||||
2 |
|
∂x j |
|
|
|
|
∂xi |
||||
называется тензором линейного поворота.
Если тензор (1.9) линейной деформации тождественно равен нулю, то перемещение будет бесконечно малым поворотом абсолютно твердого тела. Последняя формула определяет вектор линейного поворота в виде
ωi = 12 εijk Wkj
где εijk - тензор третьего ранга Леви-Чивита.