Lumf_p1&2(2010)
.pdf
3.5 Колебания прямоугольной мембраны
51
Рассмотрим мембрану, имеющую в состоянии покоя форму прямоугольника, ограниченного прямыми x = 0, x = l, y = 0, y = m. Уравнение колебаний мембраны
utt = a2(uxx + uyy); |
(108) |
начальные условия
u(x; y; 0) = f(x; y); |
(109) |
ut(x; y; 0) = F (x; y); |
(110) |
граничные условия
u(0; y; t) = 0; u(l; y; t) = 0; u(x; 0; t) = 0; u(x; m; t) = 0:
(111) Будем решать задачу методом Фурье. Для этого будем искать решение в виде произведения трех функций, каждая из которых
зависит только от одного аргумента: |
|
u(x; y; t) = X(x)Y (y)T (t): |
(112) |
52
Из граничных условий (111) следует
X(0) = 0; X(l) = 0; Y (0) = 0; Y (m) = 0: (113)
Подставляя (112) в (108), получим
XY T 00 = a2(X00Y T + XY 00T ):
Разделяя переменные, находим
|
|
|
|
|
T 00 |
= |
X00 |
|
+ |
Y 00 |
: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
a2T |
X |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|||||||
Анализируя последнее равенство, заключаем |
|
|
|
|
||||||||||||||
X00 |
2 |
|
|
Y 00 |
|
2 |
|
T 00 |
2 |
2 |
|
(114) |
||||||
|
|
= |
; |
|
|
|
= |
; |
|
|
= ( |
|
+ |
) |
||||
|
X |
|
Y |
T |
|
|||||||||||||
В результате, для функции X(x) получаем |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
X00 + 2X = 0; |
X(0) = X(l) = 0; |
|
(115) |
|||||||||||||
для функции Y (y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Y 00 + 2Y = 0; |
Y (0) = Y (m) = 0; |
|
(116) |
|||||||||||||
53
для функции T (t) |
|
T 00 + a2( 2 + 2)T = 0: |
(117) |
Решение (115) имеет вид |
|
X(x) = C1 cos x + C2 sin x; |
(118) |
решение (3.5) имеет вид |
|
Y (y) = D1 cos y + D2 sin y: |
(119) |
Из краевого условия X(0) = X(l) = 0 находим С1 = 0 и |
|
l = k; где k – целое число. |
|
Аналогично, из Y (0) = Y (m) = 0 находим D1 = 0 и
m = n; где n – целое число.
В результате получаем собственные числа и собственные функции
|
|
= |
k |
; |
X (x) = sin |
kx |
; |
(120) |
||||
k |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
l |
|
k |
|
l |
|
|
|
||
n = |
|
n |
; |
Yn(y) = sin |
ny |
: |
(121) |
|||||
|
m |
|
m |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
54
Уравнение для функции T (t) принимает вид: |
(122) |
||||
T 00 + 2a2 |
l2 |
+ m2 |
!T (t) = 0: |
||
|
k2 |
|
n2 |
|
|
Решение этого уравнения, зависящее от двух параметров k и n, имеет вид:
Tkn(t) = akn cos !knt + bkn sin !knt: |
(123) |
||||||||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|||
|
!kn = as |
|
|
|
|
|
|
|
(124) |
|
|
l2 |
+ m2 |
|
|||||
|
|
|
k2 |
|
n2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– собственные частоты колебаний мембраны.
Таким образом, частное решение уравнения колебаний прямоугольной мембраны имеет вид
ukn(x; y; t) = (akn cos !knt + bkn sin !knt) sin kx sin ny (125)
55
Оно может быть приведено к виду |
|
|
|||
ukn(x; y; t) = Fkn sin(!knt + 'kn) sin kx sin ny; |
(126) |
||||
где |
|
|
|||
|
|
|
akn |
|
|
Fkn = qakn2 + bkn2 ; tg'kn = |
: |
|
|||
bkn |
|
||||
Отсюда видно, что каждая точка мембраны с координатами (x; y) совершает простое гармоническое колебание с частотой !kn и амплитудой Fkn sin kx sin ny. Все точки колеблются в одной фазе. Точки, координаты которых удовлетворяют уравнениям
sin kx = 1; sin ny = 1
будут колебаться с наибольшей амплитудой называются пучностями. Линии, точки которых не колеблются (амплитуда равна нулю), называются узловыми линиями.
Общее решение нашей задачи о колебаниях мембраны представ-
56
ляется как сумма частных
1 1
XX
u(x; y; t) = (akn cos !knt + bkn sin !knt) sin kx sin ny
k=1 n=1
(127) Неизвестные коэффициенты a и b ищутся из начальных условий:
u(x; y; 0) = |
1 1 akn sin kx sin ny = f(x; y) |
(128) |
||||||||||||
|
|
XX |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
l |
m |
|
||||||
|
|
k=1 |
n=1 |
|
|
|
|
|
||||||
ut(x; y; 0) = |
1 1 |
!knbkn sin kx sin ny = F (x; y) |
(129) |
|||||||||||
|
XX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
k=1 |
n=1 |
|
|
|
l |
|
m |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Формулы (128) и (129) представляют собой разложение функции двух переменных в двойной ряд Фурье. Коэффициенты этого разложения находятся аналогично коэффициентам однократного ря-
57
да и имеют вид
|
|
|
|
l |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
Z Z |
|
k |
|
n |
(130) |
|||||||
akn = |
|
|
f(x; y) sin |
|
|
|
x sin |
|
|
|
y dxdy |
||||
lm |
|
l |
|
m |
|||||||||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
l |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
Z Z |
|
k |
|
|
n |
(131) |
||||||
bkn = |
|
F (x; y) sin |
|
|
x sin |
|
y dxdy |
||||||||
lm!kn |
|
l |
m |
||||||||||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
58
3.6 Колебания круглой мембраны
Применим метод решения задачи о колебаниях прямоугольной мембраны к колебаниям круглой мембраны. Пусть мембрана в состоянии покоя занимает круг радиуса R с центром в начале координат. Введем полярные координаты r и ':
x = r cos '; y = r sin ':
Выполняя замену переменных u(x; y; t) ! u(r; '; t) уравнение колебаний мембраны приводится к виду
utt = a2 |
urr + rur + r2u'' |
: |
(132) |
||
|
1 |
1 |
|
|
|
59
Граничное условие будет иметь вид
u(R; '; t) = 0
начальные условия
u(r; '; 0) = f(r; ');
ut(r; '; 0) = F (r; '):
Будем рассматривать только осесимметричные колебания мембраны, т.е. начальные условия не должны зависеть от угла '. Очевидно, что и в любой момент времени скорости и отклонения точек не будут зависеть от угла, поэтому наша задача упрощается:
utt = a2 urr + |
1 |
ur ; |
(133) |
|
r
граничные условия
u(R; t) = 0
начальные условия
u(r; 0) = f(r);
60