Lumf_p1&2(2010)

4.2Решение задачи о теплопроводности в бесконечном стержне методом Фурье

Будем рассматривать тонкий длинный теплопроводящий стержень, боковая поверхность которого теплоизолирована. Уравнение теплопроводности для него имеет вид

В случае если стержень очень длинный, то на процессы в средней его части условия на границе не будут сказываться в течение конечного времени. В таких задачах стержень считается бесконечным. В результате мы будем иметь только начальное условие

что соответствует задаче Коши. Сделаем замену переменных

= a2t

91

92

Так как левая часть этого уравнение зависит только от , а правая

– только от x, то мы можем сделать вывод, что равенство возможно только в том случае, если и левая и правая части равны одной и той же константе:

В результате для Т( ) получаем

T ( ) = Ce :

Так как температура стержня должна оставаться конечной при t ! 1, то должно быть < 0, т.е. мы можем положить

= 2:

и

T ( ) = e 2 :

Уравнение для X(x) принимает вид

X00(x) + 2X(x) = 0

93

Общее решение уравнения (180) записывается как суперпозиция

94

или

1

Неизвестные функции A( ) и B( ) подбираются так, чтобы удовлетворить начальному условию:

u(x; 0) = f(x)

которое примет вид

1

Z

1

Равенство (186) представляет собой разложение функции f(x) в интеграл Фурье, которое в общем случае имеет вид:

11

95

96

Подставляя (190) в (185) получаем

11

Т.о. мы получили решение задачи о теплопроводности в бесконечном стержне. Для его физической интерпретации, необходимо провести следующие преобразования. Сначала изменим порядок интегрирования:

97

результате получим

Для вычисления

1

Z

I(!) = e 2 cos ! d

1

найдем его производную

1

Z

I0(!) = e 2 sin ! d

1

98

и выполним интегрирование по частям

Отсюда находим

ln I(!) = !2 + ln C 4

I(!) = Ce !2=4

99

Т.к.,

100