Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Нов-ПМС-1

.pdf

Скачиваний:

120

Добавлен:

21.05.2015

Размер:

2.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 179 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

	n	1	n		1	n
S 2			(x j	x)2		(x j	x)2
S 2	n 1	n	(x j	x)2	n 1	(x j	x)2
	n 1	n	j 1		n 1	j 1
			j 1			j 1

Доказано.

Задача 21

Показать, что оценки Dx* и S 2 , полученные в задачах 19

и 20 соответственно, являются состоятельными оценками дисперсии генеральной совокупности.

Доказательство: По задаче 19

(xi

x )

((xi

) (x

))

, m .

n i 1

По теореме Чебышева:

M[(xi m)

]

, n

(xi

n i 1

m, n ( неравенство Чебышева)

0, n

является состоятельной

Т.о. Dx

, n , т.е.

оценкой дисперсии.

По задаче 20:

S 2

D* ,

n 1

, n , т.к. Dx

, n ,

P{|

1 | } P{|

| } 0

1, n .

n 1

Доказано.

Задача 22

Пусть x1 , x2 ,..., xn выборка из генеральной совокупности

с известным средним m и неизвестной дисперсией 2 . Показать, что несмещѐнной оценкой 2 будет статистика

(xi m)2

n i 1

Доказательство:

1) M 02

M (xi

m)2 2

n i 1

2) M 02 M (

xi 2

)

Mxi2

M xi m2

2 i 1

i 1

n i 1

Mx2

2m2 m2 Mx2

Dx 2

Таким образом, 02 является несмещѐнной оценкой 2 . Доказано.

Задача 23

Пусть (x1 , y1 ), (x2 , y2 ),..., (xn , yn ) - выборка из двумерной

генеральной совокупности. Методом подстановки найти оценку ковариации. Показать, что получаемая оценка является смещѐнной и состоятельной. Найти несмещѐнную оценку

Решение:

(xi x)( yi y) ,

xy kxy*

n i 1

(xi

kxy

x)( yi

y) - несмещѐнная оценка,.

n 1

i 1

xi x (xi

)

(xi

mx ) xi

xi .

n i 1

Аналогично yi y yi

yi .

n i 1

Тогда M[(x

x)( y

y)] k

n 1

так как kx y

при i j, kx y

kxy

i i

D[k *

]

D[(x

x)( y

y)] 0

i 1

Доказано.

Задача 24

Пусть

несмещѐнная

оценка параметра , D[ ] .

Показать,

что

является

смещѐнной оценкой

2 , и

вычислить смещение.

Решение:

- смещѐнная оценка

] D[ ] M

[ ] D[ ]

~ 2

равно

смещение

D[ ].

Доказано.

Задача 25

Показать, что выборочное среднее, вычисленное по выборке из генеральной совокупности, имеющей распределение Пуассона с параметром , будет несмещѐнной и состоятельной оценкой этого параметра.

Доказательство: ~ p0 ()

D , M , *

x, M *

M i – оценка является

n i 1

несмещѐнной,

D * D(

)

n i 1

i 1

оценка является состоятельной. Доказано.

Задача 26

Показать. что выборочное среднее является эффективной оценкой параметра распределения Пуассона.

Доказательство: по задаче 25 выборочное среднее является несмещѐнной и состоятельной оценкой.

* x 1 n i , n i 1

f ( ,) P{ } e , !

ln f ( , ) ln ln !,

ln f ( , )				3	1		3						,
ln f ( , )					1								,

M{ ln f ( , ) )2						M (			3					)2				1		M (3 )2				1			1	,
M{ ln f ( , ) )2						M (								)2						M (3 )2				2				,
																		2						2
2			1
											n .
		nM (	ln f ( , )				)	2			n .
		nM (					)

Так как			*			2		,				то				выборочное среднее											является
Так как			D					,				то				выборочное среднее											является
эффективной оценкой
Доказано.
													Задача 27
	Пусть x1 , x2 ,..., xn														-				выборка				из			нормального
распределения						генеральной										совокупности							N(m, ) . Найти
информацию Фишера										In( 2 ) .
										1							( x m)2
	Решение:					f (x)				1						e			2 2		,	Dx			2	.

												2

								1									( x m)2														(x m)					2										(x m)	2
																			2 2
ln f (x) ln												ln e										ln						2										ln				2 ln						,
ln f (x) ln												ln e										ln						2										ln				2 ln				2 2		,
									2																								2 2													2 2
I ( ) M					ln f (xi , )											2
I ( ) M																,

In( ) nI ( ),
ln f (x)																	(x m)					2 1							1			(x m)					2
																						2 1															2
						ln					2																												,
			2			ln					2										2									2									,
			2																2		2								2	2			2	4
																			2						2				2				2

2 ln f (x)								1					(x m)2
																				,
( 2 )2							2 4								2					,
( 2 )2							2 4								2
	2							2 ln f (x)																1			(x m)2										1			2			1
I (		) M																M																											,
I (		) M							(			2	)	2				M					2			4				2					2				4		6		2	4	,
									(				)										2												2								2
In( 2 )									n		.
In( 2 )						2 4					.
						2 4
Ответ:					n					.

				2 4

Задача 28

Вусловиях предыдущей задачи при известном

математическом ожидании m оценивается дисперсия 2 . Показать, что статистика

S02 1n (xi m)2 является эффективной оценкой 2 .

Решение:

M[S02 ] 1n M (xi m)2 2 оценка является несмещѐнной.

D[S02 ] M [S02 ]2 M 2[S02 ]( )
M [S02 ]2 M [						1	( (xi m)2 )]2 М [			1	( (xi m)4			(xi		m)2 (x j m)2 )]
M [S02 ]2 M [							( (xi m)2 )]2 М [			2	( (xi m)4			(xi		m)2 (x j m)2 )]
						n				n					i j
															i j
	1		[ M (xi m)4					M (xi m)2 M (x j				m)2 ]		1	(3n 4	(n 1)n 4 )	2 4	4
	2		[ M (xi m)4					M (xi m)2 M (x j				m)2 ]		2	(3n 4	(n 1)n 4 )	n	4
	n							i j					n				n
								i j
( )		2 4		4		4		2 4	.
( )				4		4			.
S 2			n			(26)		n
S 2		2				(26)
					4

	0			n
				n
	2	D[S 2 ] оценка является эффективной
S	2	D[S 2 ] оценка является эффективной
	0				0

Доказано.

Лабораторная работа № 2

Целью лабораторной работы является получение точечных оценок параметров распределений в пакете

MATHCAD.

Точечная оценка математического ожидания

Доказано, что эффективной оценкой математического ожидания нормально распределенной случайной величины

является оценка ˆn =(x1+x2+…+xn)/n. Именно поэтому

последняя оценка так широко используется в математической статистике. Для оценки неизвестного математического ожидания случайной величины будем использовать

выборочное среднее, т. е: ˆn x x1 x2 ... xn . n

Точечные оценки дисперсии

Для дисперсии 2 случайной величины X можно предложить следующую оценку:

	1	n
DX	1	(xi x)2 , где	x – выборочное среднее.
DX		(xi x)2 , где	x – выборочное среднее.
	n i 1

Доказано, что эта оценка состоятельная, но смещенная.

В качестве состоятельной несмещенной оценки дисперсии используют величину

(xi

x )

n 1

n 1 i 1

i 1

Именно несмещенностью оценки s2 объясняется ее более частое использование в качестве оценки величины DX. Заметим, что Mathcad предлагает в качестве оценки дисперсии величину DX, а не s2: функция var(x) вычисляет величину:

1	n			i
	xi	mean(x) 2 , где mean(x) - выборочное среднее:
			1	n	x .
n
	i 1		n	i 1

Задание

Найдите состоятельные несмещенные оценки математического ожидания МX и дисперсии DX случайной величины X по приведенным в задании выборочным значениям x1, x2, .., xn.

Порядок выполнения задания

1.Прочитайте с диска файл, содержащий выборочные значения, или введите заданную выборку с клавиатуры.

2.Вычислите точечные оценки МX и DX.

Пример выполнения задания

Найдите состоятельные несмещенные оценки математического ожидания МX и дисперсии DX случайной величины X по выборочным значениям, заданным следующей таблицей.

X	904.3	910.2	916.6	928.8	935.0	941.2
N	1	3	1	1	1	1
X	947.4	953.6	959.8	966.0	972.2	978.4
N	2	1	1	1	2	1

Для выборки, заданной таблицей такого типа (приведено выборочное значение и число, указывающее, сколько раз это значение встречается в выборке), формулы для состоятельных несмещенных оценок математического ожидания и дисперсии имеют вид:

	1	k	1	k	n
x		ni xi , s2		ni (xi	x )2 , n ni ,
	n		n 1
		i 1		i 1	i 1

где k – количество значений в таблице; ni – количество значений xi в выборке, n – объем выборки.

Фрагмент рабочего документа MATHCAD с вычислениями точечных оценок приведен ниже.

3.МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК

3.1.Метод максимального правдоподобия (ММП)

Одним из универсальных методов оценивания параметров распределения является метод максимального правдоподобия. Оценку параметра , получаемого с помощью

этого

метода,

будем

обозначать

оценку

(X) , а

параметрической функции (X) .

Пусть задана

выборка

=(X1,...,Xn) из

распределения

L( ) F={F(x; ); },

и L( x ; ) функция правдоподобия для

реализации x =(x1,...,xn) выборки

X .

По определению оценкой максимального правдоподобия

(о.м.п.)

параметра

называется

такая

точка

параметрического

множества

, в

которой

функция

достигает максимума.

правдоподобия L( x ; ) при заданном x

Таким образом

или

L( x ;

) L( x ; ),

L( x ; )= sup L( x ; ).

Замечание.

Если L( x ; 1)>

L( x ; 2), то говорят, что значение

параметра 1 более правдоподобно, чем

2. Таким образам,

оценка

максимального

правдоподобия

является наиболее

правдоподобным значением параметра .

Если для каждого

из выборочного пространства X

максимум L( x ; ) достигается во внутренней точке

и L( x ; )

дифференцируема по , то о.м.п.

удовлетворяет уравнению

L(x; )

или

ln L(x; )

0 .

Если векторный параметр: =(1,...,r), то это уравнение заменяется системой уравнений

ln L(x; )

i 0 , i=1,...,r.

Последние уравнения называются уравнениями правдоподобия.

3.2. Свойства оценок максимального правдоподобия

1. Эффективность.

Теорема 3.1. Если существует эффективная оценка Т( X )

для скалярного параметра , то = Т( X ).
Доказательство: Это очевидное следствие критерия
эффективности Рао-Крамера
							1	T(X) .
			ln L(x; )				1	T(X) .

							a( )

Приравняем к 0 и получим = Т( X ).
2. Достаточность.
Теорема	3.2. Если			имеется				достаточная статистика

Т=Т( X ), а о.м.п. существует и единственна, то она является
функцией от достаточной статистики Т.
Доказательство: Согласно критерию факторизации
справедливо разложение:

		L( x ; )=g(T( x ); ) h( x )

		ln L(x; )				ln g(T(x); )			0 .

Решаем уравнение относительно .

Получаем, = (Т( x )) – некоторая функция статистики, а это
есть оценка МП, что и требовалось доказать.
Следовательно,		зависит			от статистических данных через

Т( x ).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 179 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.03.2016349.58 Кб62Немецкие слова по теме компьютер и интернет.pdf
#
21.05.2015278.66 Кб19Неопределенные интегралы.pdf
#
19.03.20161.64 Mб37Неравновесные процессы в катализе.pdf
#
20.05.201577.82 Кб6никитина.doc
#
19.03.20161.21 Mб136никольсон дипломатия.doc
#
21.05.20152.5 Mб120Нов-ПМС-1.pdf
#
21.05.20152.83 Mб300Нов.ПМС-2.pdf
#
19.03.2016532.99 Кб19НовМетодичкаИКВ.doc
#
20.05.2015347.65 Кб15НормативнаяБазаСКД.doc
#
26.09.20191.59 Mб57Носс И. Н. Введение в технологию психодиагности...doc
#
19.03.20163.43 Mб50Ночь_2012.pdf