Неопределенные интегралы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Учебно-методическое пособие для вузов

Составители: П. С. Украинский, Э. Л. Шишкина, Г. А. Виноградова

Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета

2013

Введение

В настоящем пособии приведены основные методы интегрирования. Каждый метод проиллюстрирован решением соответствующего примера. В пособии изложено решение 34 примеров. В §3 приведены задания для самостоятельной работы, которые сгруппированы по темам.

§1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисления

Определение 1 Функция F (x) в данном промежутке называется первообразной функцией для функции f(x), если во всем этом промежутке

F ′ (x) = f (x) .

Теорема 1 Если в некотором промежутке функция F (x) есть первообразная для f(x), то и функция F (x) + C, где C произвольная постоянная, также будет первообразной функцией для f (x) . Обратно, каждая функция, первообразная для f(x) представима в виде F (x) + C.

∫

Определение 2 Символ f(x)dx обозначает совокупность всех первообразных для функции f(x) и называется неопределенным интегралом для функции f(x).

Из определения неопределенного интеграла непосредственно вытекают

следующие свойства:

∫

1.d f (x) dx =f (x) dx,

∫

2.∫ F ′ (x) dx = F (x) + C,

3.dF (x) = F (x) + C.

Таблица основных неопределенных интегралов

∫

1.∫ 0dx = C,

2.∫ dx = x + C,

x +1

3.∫ x dx = +1 + C, α ≠ −1,

4.dx = ln |x| + C, на промежутке, не содержащем нуль,

5.∫ axxdx = lnaxa + C,

3

14. ∫ sh2x = −cth x + C, 15. dx = th x + C.

4

95

=4x9 4 + 4x5 4 + C.

= 2 sin x + tg x − x + C.

Тема 2. Внесение постоянной под знак дифференциала

Знак dx, стоящий под знаком интеграла, – это дифференциал переменной x. Вспомним, что для дифференцируемых функций f(x), u(x), v(x) и

постоянной c имеют место формулы

1.df (x) = f′(x)dx,

2.d (u + v) = du + dv,

3.d (cu) = cdu,

4.dc = 0.

На основе этих формул, если a и b – постоянные, имеем

dx = a1d (ax) = a1d (ax + b) .

5

В дальнейшем, по мере накопления опыта, вводить переменную t не

обязательно, просто выражение x + 2 рассматриваем как новую перемен-

6

Тема 3. Подведение функции под знак дифференциала

Если F (x) – первообразная для функции f(x), то

f (x) dx = dF (x) .

Приведем наиболее часто встречающиеся случаи:

1.xdx = 12 d(x2),

2.xndx = n+11 d(xn+1),

3.sin x dx = −dcos x ,

4.cos x dx = dsin x ,

5.x1 dx = dln x ,

( )

6. x12 dx = −d x1 ,

7. exdx = d ex.

Рекомендуется после подведения под знак дифференциала сделать проверку по формуле df(x) = f′(x)dx.

7

Тема 4. Метод замены переменной (метод подстановки)

Теорема 2 Если f(x) непрерывна и x = φ(t), где φ(t) непрерывна вместе со своей производной φ′(t), то

∫∫

f(x)dx = f(φ(t))φ′(t)dt.

Проблема состоит в том, как найти подходящую функцию φ(t) для конкретного интеграла. Для этого есть учебники, в которых интегралы разбиты на типы и указано как надо поступать. В нестандартных случаях выручает интуиция и метод проб и ошибок.

√

Обозначим 3 − x = t, найдем x и dx. Имеем, 3 − x = t2, x = 3 − t2,

8

=1 − 2x2 = t, x2 = 12(1 − t) = −18 ∫ (1 − t)t5dt = −18 ∫ (t5 − t6)dt =}{

§2. Специальные приемы вычисления неопределенных интегралов

Тема 5. Тригонометрические и гиперболические подстановки

Приведем для справки некоторые формулы для гиперболических функций:

Рекомендуются следующие подстановки (возможны и другие варианты):

∫√

1. R(x, a2 − x2)dx; x = a sin t или x = a cos t,

∫√

2. R(x, a2 + x2)dx; x = a sh t или x = a tg t,

∫√

3. R(x, x2 − a2)dx; x = a ch t.

9

Тема 6. Метод интегрирования по частям

Теорема 3 Пусть u(x) и v(x) некоторые дифференцируемые функции. То-

10