smagina-belousova-method

5. Гильбертовы пространства. Ортогональность.

Основные определения. Векторное пространство H над полем комплексных чисел называется предгильбертовым (или пространством со скалярным произведением), если в нем введено скалярное произведение, т. е. x, y H определено комплексное число (x, y) , удовлетворяющее аксиомам:

1. (x, x) ≥ 0, (x, x) = 0 x = 0 ;

−−−−−

2. (x, y) = ( y, x) ; 3. (αx, y) =α(x, y) ;

4. (x + z, y) = (x, y) + (z, y) ,

и, кроме того, скалярное произведение порождает норму по формуле

1

x = (x, x) 2 . Пространство Н называется гильбертовым , если оно является

полным относительно указанной нормы.

Справедливо неравенство Коши-Буняковского-Шварца

{fk }∞k =1 называется ортонормированной, если ( fk , fn ) = δkn , где δkn - символ

Кронекера. Оказывается,что по любой линейно независимой стстеме {xk }∞k =1

Пример 1. Доказать, что в неравенстве Шварца знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда x и y линейно зависимы, т.е. x = λy, λ R

и

22

Решение. Пусть x = λy, λ R . Тогда

(x, x)( y, y) = (λy, λy)( y, y) = (λy, y)( y, λy) = (λy, y) 2 = (x, y) 2 .

Пусть теперь выполнено равенство (1). Покажем, что x = λy . Допустим противное, что x ≠ λy ни при каком λ R . Тогда

(x −λy, x −λy) > 0

или

0 < λ2 ( y, y) − 2λ(x, y) + (x, x) .

Из положительности данного квадратного трехчлена при любом λ следует отрицательность его дискриминанта, т. е.

4(x, y)2 − 4(x, x)( y, y) < 0 ,

что противоречит условию (1). Следовательно, наше предположение неверно и (x, x)( y, y) = (x, y) 2 .

Примерами гильбертовых пространств являются пространство R2n со скалярным произведением

2

(x, y) = ∑xk yk

k=1

ипространство L2 [a,b] со скалярным произведением

b

(x, y) = ∫x(t) y(t) dt .

a

Задания для самостоятельного решения

1.Доказать непрерывность скалярного произведения.

2.Доказать, что в пространстве со скалярным произведением имеют место:

а) тождество параллелограмма

x + y 2 + x − y 2 = 2(x 2 + y 2 ) ;

б) тождесто Апполония

23

x L . Расстоянием от точки до подпространства L называется число

ρ(x, L) = inf x −u .

u L

∞

∑ckϕk называется рядом Фурье элемента x по ортогональной системе

k =1

n

{ϕk }n= . Многочлен ∑ckϕk называется многочленом Фурье элемента x .

k 1

k =1

n

dn2 = x 2 − ∑ck 2 ϕk 2 , k =1

24

Задания для самостоятельного решения

1. Показать, что в пространстве R∞2 расстояние от элемента x0 = (1,0) до подпространства L = {(0,α),α R} имеет вид U = {(0, β), β [−1,1]}.

2.В пространстве R12 найти расстояние от элемента x0 = (0,2) до подпространства L = {(α,α),α R}.

3.Найти, при каких значениях параметра β расстояние от элемента x0 = (β,1) до подпространства L = {(0,α),α R} в пространстве R32 не

превосходит ln 3 .

элементов наилучшего приближения.

5.В пространстве C[0,1] найти расстояние:

а) от элемента x(t) = t до подпространства многочленов нулевой степени;

б) от x(t) = t 2 до подпространства многочленов степени не более 1.

6. В пространствах а) L2 [0,1] ; б) L2 [−1,1] найти проекцию элемента x(t) = t 3 на подпространство многочленов степени не более n , если n = 0,1,2 .

7. Линейные ограниченные операторы. Норма оператора

оператор непрерывен в любой точке пространства, то он называется просто непрерывным.

26

Нормой A оператора A называют наименьшую из констант, для которых выполнено условие (1).

Имеют место равенства

замечание

Пример 1. Пусть ϕ - непрерывная на отрезке [a,b] функция. Рассмотрим отображение A : C[a,b] → C[a,b], определяемое соотношением

( Ax)(t) =ϕ(t)x(t) .

Доказать, что A - линейный ограниченный оператор и найти его норму.

Решение. Линейность следует из соотношения

( A(αx + βy))(t) =ϕ(t)(αx(t) + βy(t)) =α( Ax)(t) + β( Ay)(t) .

Покажем , что A - ограниченный оператор. Имеем

27

Ax = ( x21 , 23x2 ,..., kkx+k1 ,...) ,

линеен, ограничен в l2 и найти его норму.

Решение. Линейность вытекает из правила сложения и умножения на число в пространстве l2 . Для доказательства ограниченности покажем оценку (1), когда X = Y = l2 . Имеем

элемент, на котором бы в (2) достигался знак равенства, не удается.